三角形的四心试题分析

三角形的四心习题及剖析一、单项选择题1.（）△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，G为△ABC的重心，则△GAB面积：△GBC面积：△GAC面积＝(Ａ)1：2：3(Ｂ)1：3：2(Ｃ)2：1：3(Ｄ)1：1：1。答案：(Ｄ)剖析：∵G为△ABC的重心∴△GAB面积：△GBC面积：△GAC面积＝1：1：12.（）如图，△ABC中，AB＝AC，两腰上的中线订交与G，若∠BGC＝90°，且BC＝2，则BE的长为多少？(Ａ)2(Ｂ)22(Ｃ)3(Ｄ)4。答案：(Ｃ)剖析：∵AB＝AC，且G为△ABC的重心∴BE＝CD∴BG＝CG又∵∠BGC＝90°，BC＝22∴BG＝BC＝22＝2∴BE＝3BG＝3×2＝33.（2222）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝13，BD＝CD＝5，O为△ABC的外心，则OD＝?????(Ａ)117(Ｂ)119(Ｃ)121(Ｄ)123。24242424答案：(Ｂ)??，AD＝22??????剖析：∵△ABC为等腰三角形，∴AD⊥BC13－5＝12，连接OB，令OD＝x,则OB＝OA＝AD－OD＝12－x（12－x）2＝x2＋52x＝119应选(Ｂ)24（）如图，D、E分別为A?B、A?C中点，?BE、CD?交于F，若斜线部分的面积为7，则△ACD的面积为多少？(Ａ)21(Ｂ)24(Ｃ)28(Ｄ)35。答案：(Ａ)剖析：连接BC?，则△BDF＝1△ABC而△ACD＝1△ABC△ACD＝3×7＝21平方公分应选(Ａ)625.（）直角三角形ABC中，∠A＝90°，O为外心，G为重心，若AC＝6，AB＝8，则???24573333答案：(Ｃ)剖析：BC?＝62＋82＝10???1533（）如图，△ABC中，?AB＝8，A?C＝6，B?C＝10，M为?BC中点，则A?M＝？(Ａ)5(Ｂ)5(Ｃ)10(Ｄ)5。233答案：(Ｄ)剖析：△ABC直角三角形∴M为外心，BM?＝M?C＝A?M＝10＝5应选(Ｄ)27.（）由尺规作图得知正三角形的外心、內心、重心均在同一点，请问正三角形外接圆的面积是內接圆面积的几倍？(Ａ)2(Ｂ)3(Ｃ)3(Ｄ)4。2答案：(Ｄ)2＝22剖析：外心、內心、重心皆在O点OAπ＝4应选(Ｄ)2ODπ1（）如图，△ABC中，G为重心，在AD上取一点G'，使得GD?＝G'D?＝4，若?CG＝6?(Ａ)24(Ｂ)36(Ｃ)48(Ｄ)72。，BG＝10，則△ABC的面积为何？答案：(Ｄ)剖析：△GG'B＝681＝24△ABC＝24×3＝72应选(Ｄ)2??9.（）如图，G为為△ABC的重心，現分別从A及G作垂线交BC于於A'及G'，则AA'?GG'＝？(Ａ)2：1(Ｂ)3：1(Ｃ)4：1(Ｄ)3：1。2答案：(Ｂ)1??应选(Ｂ)3二：填空题如图，G是直角△ABC的重心，∠ABC＝90°，且AB＝12，BC＝8，则△ABG的面积为【】。答案：16剖析：△ABC面积＝1∵G为△ABC之重心1△ABC面积＝1×8×12＝48∴△ABG面积＝×48＝23316G为正△ABC的重心，AD为BC之中线，BG＝16，则：(１)AC＝【】。(２)△CDG面积＝【】。答案：(１)163；(２)323剖析：(１)∵G为正△ABC的重心，BG＝16∴BE＝3×16＝24＝3AC∴AC＝24×2×3＝×2233163113×（1613×768＝323(２)△CDG面积＝△ABC面积＝×〔3）2〕＝×664643.有一正三角形其內切圆的面积为

5π，則其外接

圆的面积＝【

】。答案：

20π剖析：∵正△的三心共点可推得外接圆面积＝內切圆面积＝4：1

外接圆面积＝5×4＝20π如图，G为重心，在AD上取一点G'，使得?GD＝G'D?＝2，且?CG＝3，B?G＝5，则△GG'B是直角三角形吗？答：【】。答案：是????∴四边形BGCG'为平行四邊形??剖析：∵GD＝GD'，BD＝DC故BG'＝CG＝3又?BG＝5，GG'?＝2×2＝4△GG'B边长为3、4、5，故为直角三角形?】。5.正△ABC的边长为10，在△ABC內找一点P至三极点等距离，則AP＝【答案：1033剖析：∵正△的外心和重心同一点∴?AP＝2×高，又A?B＝10∴高＝10×3＝53故A?P＝2×53＝3231033如图，△PQR中，∠Q＝90°，又∠QPR＝45°，已知G为△PQR的重心，若OG?＝a，则△PQR的周长＝【】。（以a表示）答案：6a＋62a剖析：OG?＝a，则?QO＝?PO＝?OR＝3a，?PR＝6a?PQ＝QR?＝6a＝32a2则△PQR周长＝32a＋32a＋6a＝6a＋62a7.如图，AB＝BC，CD＝DE，若△ABF的面积为18，则△BCE的面积为【】。答案：54剖析：连接AE∵AB＝BC，CD＝DE∴F为△AEC的重心∴△BCE面积＝3△ABF面积＝3×18＝54如图，△ABC中，D、E、F为各边中点，∠A＝30°，AB＝8，AC＝6，则阴影部分面积为【】。答案：4剖析：BH＝1AB＝1×＝4∴△ABC面积＝1××＝∴斜线部分面积＝1△ABC面积＝1×＝2282641233124三、计算题如图，△ABC为正三角形，G为重心，若AG＝20，请问：(１)AB＝？(２)△ABC面积为多少？答案：(１)∵AD＝3AG∴AD＝3×20＝30∵△ABC为正三角形∴AD＝223∴30＝3×，AB＝2×30＝60×3＝20323332(２)正△ABC面积＝3×2＝3×（203）2＝3×1200＝30034AB44答：(１)203；(２)3003如图，△ABC中，A?B＝5，BC?＝12，A?C＝13，且G为重心，O为外心，试求GO?。?2?2222?2?∴△ABC为直角三角形，且AC为斜边又O为外心∴外接圆半径?OB＝1A?C＝1．13＝13222又G为重心∴GO?＝1?OB＝1．13＝133326如图，△ABC中，G为重心，若GA?＝5，GB?＝12，GC?＝13，试求△ABC的面积。【????△GDC与△G'DB，答案：延长AD至G'，使得GD＝G'D，故GG'