2020年初中数学《斜边中线、中位线》重难点整理

33斜边中线、中位线》重难点整理最近的中位线学习，很多同学掌握不到位，遇到题目中有直角三角形斜边上的中点，经常视而不见，从而想不到斜边中线处理线段之间数量关系时的妙用；而有时出现多个中点，想不到再找中点，从而也就看不见隐藏的中位线了，本讲就精选几道例题帮助同学们突破难点．一、想不到的斜边中线例1：如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且ZAFB=90°,若AB=6,BC=8,则EF的长为.分析：根据DE是中位线，可知DE长是第三边BC长的一半，点D是AB的中点•由ZAFB二90°,则RfABF中，可知DF作为斜边中线，长度等于斜边AB长的一半，将DE的长减去DF的长，即可得到EF的长.解答：DE为直的中位线，厶肝=9呼M=lxS=4s心宀EF=DE—DF=4T=1.例2：如图，在△ABC中，点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点，AH是边BC上的高.求证：四边形ADEF是平行四边形；求证：ZDHF二ZDEF•分析：根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，可得DEIIAC,EFIIAB，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．D，F分别作为RfABH，RfACH斜边AB，AC上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得DH二AD,FH二AF,ZBAH二ZAHD,ZCAH二ZAHF，即ZBAC二ZDHF，由平行四边形对角相等可得ZDEF二ZBAC，等量代换即可得证.解答：证明：(1)•••点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点，.•.DE、EF是△ABC的中位线，.•.DEIIAC,EFIIAB,•••四边形ADEF是平行四边形.⑵VAH是边BC上的高,D,F分别是AB,CA中点.•.R3ABH中,DH二AD,Rt^ACH中,FH二AF,.•.ZBAH二ZAHD,ZCAH二ZAHF,.•.ZDHF二ZBAC,•••四边形ADEF是平行四边形，.ZDEF二ZBAC,.ZDHF二ZDEF.本题也可连接DF，证明ADEF竺AFHD小结：许多题目中，会出现多个中点，有的中点与另一中点相连，作为中位线；而有的中点与直角顶点相连，就成了斜边中线，而这都涉及到线段长度之间的倍数关系，尤其是后者，不能忽视.二、看不见的中位线

(1)补全三角形例1：在^在^ABC中，CD平分ZACB,AD丄CD于D,E是AB中点，AC=15,BC=27,求DE的长.分析：本题中，点E已经是AB的中点，由CD平分ZACB,AD丄CD,想到可以构造等腰三角形，利用三线合一，使点D成为另一个中点，从而让ED变成"看得见"的中位线.解答：延长且◎交占匸于尸.'：CD平分ZACS,ADLCD,ZACD=ZFCD,ZADC=Z5DC=0C°,^CA]J=ZCFD.'■AC=CF,AD=FD又TE是■曲的中点，。杲El的中点「■DE是hABf的中位线‘.'.DE=^=訥C-CF)=訥C-AQ=6例2：如图^ABC中,ZB,ZC的平分线BE,CF相交于0,AG丄BE于G,AH丄CF于H.(1)求证:GHIIBC；⑵若AB=9,AC=14,BC=18，求GH.⑶若将条件"ZB,ZC的平分线"改为"zb的平分线及zc的夕卜角平分线"（如图2所示），或改为"ZB,ZC的外角平分线"（如图3所示），其余条件不变，求证：结论GHIIBC仍成立.分析：与上例类似，有角平分线，有垂直，延长构造等腰三角形，利用三线合一．解答：(1)证明：分别延长AG,AH交BC于M,N,在^ABM中•••BG平分ZABM,BG丄AM,.•.ZABG二ZMBG,zBGA二ZBGM二90°.•.zbam二ZBMA..BA二BM,G是AM的中点.同理CA二CN,H是AN的中点，.GH是^AMN的中位线，HGIIMN,HGIIBC.(2)由(1)知，△ABG^^MBG,^ACH^^NCH,.•.AB二BM=9,AC二CN=14..•.MN二BM+CN-BC二AB+AC-BC=9+14-18=5(3)无字证明如下，相信同学们都能看懂.'HGCB•w—HCR(2)找边的中点例1：Dr~如圏四边形扭中，ASWCD、E,F枷角线和川2的中点.求证：kcD-^<EF<[CD-^-AB).分析：根据要证明的结论，我们可以发现这与三角形三边关系有关，因此，要构造一个以CD长的一半，AB长的一半，EF长为三边的三角形，自然想到中位线，取BC边的中点即可.解答：证明：取月匸的中点G连接EGFG•疋是*D的中点‘G是占C的中点..EG是ABCD的中位無，EG=^CD变式：已知在四边形ABCD中，AC二BD,E、F分别是AB、DC的中点•求证：0M=ON.£>

分析：要证OM=ON，可以从等角对等边入手，证Z0MN二Z0NM，考虑到对角线AC二BD，能不能再来一次等边对等角呢？构造AC，BD的一半即可，则需要构造中位线，自然想到BC的中点.解答：解答：(3)找对角线的中点例1：如图，四边形ABCD中，E为AD中点，F为BC中点.求证：AB+CD>2EF.B分析：B分析：根据要证明的结论，，似乎又与三角形三边关系有关，将不等式两边同除以2，则只需构造以EF,AB长的一半，DC长的一半为边的三角形，想到连接对角线取中点.解答：解答：证明;连接卫&取卫C的中点.G.连接EG、FG,'点E是詁D的中点，点.<?是』C的中点卞•EG量氐ADC的中位线，CD=2EG•点•EG量氐ADC的中位线，CD=2EG•点F是的中点，点.G是灵C的中点.，.FG是A45C的中位线，.4S=2FG•.期+CD=2（FC汁EG）,在中，FG+EQEFd・■•曲+CDA2EF.变式：如图，在四边形ABCD中，AD二BC,E、F分别是DC、AB边的中点，FE的延长线分别与AD、BC的延长线交于H、G点.求证：ZAHF二ZBGF.AFB分析：与例1的变式类似，要借助其他两个相等的角转化，考虑到对边相等，则构造AD,BC的一半即可，则需要构造中位线，自然想到对角线AC的中点.解答：

GZ>证阴:连接且G取中点连接価TE是CD的中島」』是討GZ>证阴:连接且G取中点连接価TE是CD的中島」』是討匸的中歳■J.Mf是也丄DC的中位线，EM^AD,Ehd=-.~.D杲卫C的中点「尸是一拯的申点,•；FU是虫一抵C的中超，\1PJJBC,S.MF=：3CVAE}=SC,.'：.EM=^艺临F=8FE.；血川讯：.Z^1EF=ZAHFJFWEG,：-^\^E=r^GFg/.ZAHF=Z3GF.小结：对于以上4题，我们都需要找中点，构造中位线，但方法各异，有取四边形边的中点，有取四边形对角线的中点，能否找到一些规律呢？其实不难！例1，例2，最后证明的结论都与一组对边有关．例1，要证明的一组对边必作为第三边，已经给出对角线的中点，那么必然要再取另一对边中的一条的中点．例2，要证明的一组对边必作为第三边，已经给出另一组对边的中点，，那么必然再取一条对角线的中点．例1的变式，例2的变式，最后要证明的结论都是角等，也就是边等．例1的变式中，对角线相等，必作为第三边，给出一对边的中点，那么必然再取另一组对边中的一条的中点．例2的变式中，一组对边相等，必作为第三边，给出另一组对边的中点，那么必然再取一条对角线的中点．H由此可见，关键在于选择谁作第三边．有些结论比较明显的，直接以结论中涉及的边为第三边，对于不明显的，则需要转换，但一般如果题目中有两条线段相等的条件，则这两条相等的线段必然作第三边．思考题如图，边长为2的正方形EFGH在边长为6的正方形ABCD所在平面上