专题06 考前必做难题30题（第01期）高考数学走出题海之黄金30题系列（江苏版）

2015年高考数学走出题海之黄金30题系列专题04考前必做难题30题第一期1．设角的终边在第一象限，函数的定义域为，且，当时，有，则使等式成立的的集合为．【答案】【解析】试题分析：令得：，令得：，由得：，又角的终边在第一象限，所以因而的集合为.2．中，角所对的边分别为，下列命题正确的是________（写出正确命题的编号）.①若最小内角为，则；②若，则；③存在某钝角，有；④若，则的最小角小于；⑤若，则.【答案】①④⑤【解析】对①，因为最小内角为，所以，，故正确；对②，构造函数，求导得，，当时，，即，则，所以，即在上单减，由②得，即，所以，故②不正确；对③，因为，则在钝角中，不妨设为钝角，有，故,,③不正确；对④，由，即，而不共线，则，解得，则是最小的边，故是最小的角，根据余弦定理，知，故④正确；对⑤，由得，所以，由②知，，即，又根据正弦定理知，即，所以，即.故①④⑤正确.3．设全集，用的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：表示的是第2个字符为1，第4个字符为1，其余均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000．①若，则表示的6位字符串为；②若,集合表示的字符串为101001，则满足条件的集合的个数是．【答案】100110；4【解析】试题分析：由题意表示的6位字符串为011001，故表示的6位字符串为100110；若,集合表示的字符串为101001，则集合B中必含有4，且至多含有1,3，故满足的集合B有，，，4．已知函数的定义域为，部分对应值如下表，的导函数的命题：0451221①函数的极大值点为，；②函数在上是减函数；③如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4；④当时，函数有个零点。其中正确命题的个数有个.【答案】2.【解析】试题分析：①由函数的导函数的图像知，函数的极大值点为，，所以①正确；②因为在上的导函数为负，所以函数在上是减函数，所以②正确；③由表中数据可得当或时，函数取最大值2，若时，函数的最大值是2，那么，故的最大值为5，即③错误；④由知，因为极小值未知，所以无法判断函数有几个零点，故④不正确.综上所述，正确命题的个数为2.5．设定义域为的函数若关于的函数有个不同的零点,则实数的取值范围是____________．【答案】【解析】试题分析：由可知,设,当且仅当时对应的x值有4个,因此问题可转化为在上有两个不同实根,结合二次函数图像可得.6．关于方程，给出下列四个命题：①该方程没有小于的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在内有且只有一个实数根；④若是方程的实数根，则，其中所有正确命题的序号是.【答案】②③④【解析】试题分析：①若为方程的一个解，则满足当为第三、四象限教师，存在，因此该方程存在小于0的实数解，①不正确，②，当时，，而，因此与在上有无数多个交点，因此方程有无数个实数解，②正确；③当时，如时，，函数与的图象不可能相交，如时，存在唯一一个满足，③正确；④通过上面的分析函数与的图象在不可能有交点，因此只要是该方程的解，只需，④正确；本题填②③④.7．已知函数，，若对任意的，均有，则实数的取值范围是．【答案】【解析】试题分析：由题意，当时，，由于而，因此当时，不存在最小值，故满足题意的只能是，此时，是减函数，当时，，当时，，，所以，.8．设是定义在上的增函数，且对于任意的都有恒成立．如果实数满足不等式,那么的取值范围是【答案】9．如图，四边形是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且，点为内（含边界）的动点，设，则的最大值等于.【答案】【解析】试题分析：以O为原点，OAD为x轴建立直角坐标系，则点满足，由得：，所以直线过点B时取最大值10．在△ABC中，E为AC上一点，且，P为BE上一点，且满足，则取最小值时，向量的模为．【答案】【解析】试题分析:解：,因为三点共线，设,则，其中所以,，则==当时，当时，,在区间上是减函数当时，，在区间上是减函数所以当时，取得最小值，从而取得最小值，此时，所以，故答案应填.11．已知，设为数列的最大项，则．【答案】8【解析】试题分析：因为，所以当时，；当时，，所以为数列的最大项，.12．给定项数为的数列，其中．若存在一个正整数，若数列中存在连续的k项和该数列中另一个连续的项恰好按次序对应相等,则称数列是“阶可重复数列”．例如数列：因为与按次序对应相等，所以数列是“4阶可重复数列”．假设数列不是“5阶可重复数列”，若在其最后一项后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，且，数列的最后一项=．【答案】1【解析】试题分析：由题意数列不是“5阶可重复数列”，若在其最后一项后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，所以与按次序对应相等，从而.13．如图所示的一块长方体木料中，已知，设为底面的中心，且，则该长方体中经过点的截面面积的最小值为.【答案】【解析】试题分析：如图所示，经过点的截面为平行四边形设,则，为了求出平行四边形的高，先求的高，由等面积法可得，又由三垂线定理可得平行四边形的高，因此平行四边形的面积，当且仅当时14．如图所示为棱长是1的正方体的表面展开图，在原正方体中，给出下列三个结论：①点M到AB的距离为；②三棱锥C－DNE的体积是；③AB与EF所成的角是.其中正确结论的序号是________．【答案】①②③【解析】依题意可作出正方体的直观图，显然M到AB的距离为MC＝，∴①正确，而VC－DNE＝××1×1×1＝，∴②正确，AB与EF所成的角为AB与MC所成的角，即为，∴③正确．15．已知椭圆的中心、右焦点、右顶点依次为直线与轴交于点，则取得最大值时的值为.【答案】2【解析】试题分析：由题意得：，当且仅当时取最大值，又，所以16．抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，若，则点的横坐标为．【答案】4【解析】试题分析：设，，直线方程，联立，得，，由抛物线的性质得，，因此，解得或，由图可知，，因此方程，的中点，线段的垂直平分线，令，得，故答案为4.17．已知函数f（x）的定义域为[－1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数y＝的图象如图所示，x－1045f（x）1221下列关于f（x）的命题：①函数f（x）是周期函数；②函数f（x）在[0，2]上是减函数；③如果当x∈[－1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值是4；④当1＜a＜2时，函数y＝f（x）－a有4个零点；⑤函数y＝f（x）－a的零点个数可能为0，1，2，3，4．其中正确命题的序号是___________________（写出所有正确命题的序号）．【答案】②⑤.【解析】试题分析：由导函数y＝的图象分析知函数图像如图所示在[-1，0]，[2，4]上为单调递增，[0，2]，[4，5]上为单调递减，函数不是周期函数，故①不对；[0，2]上为单调递减，故②对；当x∈[－1，t]时，f（x）的最大值是2，而t的最大值是5，故③不对；当1＜a＜2时，函数y＝f（x）－a不一定有4个零点，如图所示可能为2个零点，故④不对；函数y＝f（x）－a的零点个数为函数与直线的交点个数，如图分析可知交点个数可能为0，1，2，3，4，故⑤对.18．我们把形如的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取对数得，两边对x求导数，得于是，运用此方法可以求得函数在（1，1）处的切线方程是.【答案】【解析】：试题分析：仿照题目给定的方法，所以，所以，所以，即：函数在处的切线的斜率为1，故切线方程为：，即，故答案为：．19．若满足约束条件，若目标函数仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围为_________.【答案】【解析】作出可行域如图所示，将化成，当时，仅在点（1，0）处取得最小值，即目标函数仅在点（1，0）处取得最小值，解得.20．设λ>0，不等式组所表示的平面区域是W.给出下列三个结论：①当λ＝1时，W的面积为3；②∃λ>0，使W是直角三角形区域；③设点P(x，y)，对于∀P∈W有x＋≤4.其中，所有正确结论的序号是________．【答案】①③【解析】当λ＝1时，不等式组变成其表示由三个点(0,0)，(2,2)，(2，－1)围成的三角形区域，易得W的面积为3，①正确；∵直线λx－y＝0的斜率为λ，直线x＋2λy＝0的斜率为－，λ×(－)＝－≠－1，且直线x＝2垂直于x轴，∴W不可能成为直角三角形区域，②错误；显然，不等式组表示的区域是由三个点(0,0)，(2,2λ)，(2，－)所围成的三角形区域，令z＝x＋，则其在三个点处的值依次为：0,4,2－，∴z＝x＋的最大值zmax＝4，③正确．21．已知椭圆：过点，离心率为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于不同两点，记的内切圆的面积为，求当取最大值时直线的方程，并求出最大值．【答案】（Ⅰ）椭圆的标准方程为；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由题意得解得椭圆的标准方程为.（Ⅱ）设，的内切圆半径为，则所以要使取最大值，只需最大设直线的方程为将代入可得(*)恒成立，方程(*)恒有解，记在上递减，所以当即时，，此时.22．已知定点F（3，0）和动点P（x，y），H为PF的中点，O为坐标原点，且满足．（1）求点P的轨迹方程；（2）过点F作直线与点P的轨迹交于A，B两点，点C（2，0）．连接AC，BC与直线分别交于点M，N．试证明：以MN为直径的圆恒过点F．【答案】（1），（2）证明见解析，【解析】（1）如图取连接，，，由双曲线定义知，点P的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，，的轨迹方程为：.（2）设，直线方程为，联立整理得：，,三点共线，，同理,即为直径的圆恒过点.23．已知数列中,,,的前项和为,且满足（）．（1）试求数列的通项公式；（2）令,是数列的前项和,证明：；（3）证明：对任意给定的,均存在,使得当时,（2）中的恒成立．【答案】（1）；（2）见试题解析；（3）见试题解析.【解析】（1）由（）,得（）,所以（）,即（）又,所以．（2）,所以,．所以,．（3）由（2）,,因为,所以随着的增大而增大．若,则,化简得,因为,所以,所以,,当,即时,取即可．当,即时,记的整数部分为,取即可．综上可知,对任意给定的,均存在,使得当时,（2）中的恒成立．24．已知数列满足，．（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求证：当，时，．【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】（1）令，则，，，，数列，即是等比数列；25．已知函数，，其中,（e≈2.718）．（1）若函数有极值1，求的值；（2）若函数在区间上为减函数，求的取值范围；（3）证明：．【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.【解析】（1）解：∵，∴.，则对任意的都有，即函数在上单调递减函数在上无极值.②若，由得当时，当时，即函数在单调递减，在单调递增∴函数在处有极小值∴∴.（2）解法1：∵函数=在区间上为减函数且当时，∴在上恒成立在上恒成立,设，则,当时，，所以在上恒成立，即函数在上单调递减,∴当时，∴.[解法2：∵函数=在区间上为减函数∴对，（）恒成立,∵∴当时，（）式显然成立,当时，（）式在上恒成立设，易知在上单调递增,∴∴综上得.（3）证法1：由（2）知，当时，∵对任意的有∴∴∴即[证法2：先证明当时，令,则对任意的恒成立∴函数在区间上单调递减∴当时，∵对任意的，而∴.26．已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）设函数，求函数的单调区间；（3）若，在上存在一点，使得成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）当时，在上单调递减，在上单调递增，当时，在上单调递增；（3）或.【解析】（1）当时，，，切点，，，曲线在点处的切线方程为：，即.（2），定义域为，①当，即时，令，令，②当，即时，恒成立，综上：当时，在上单调递减，在上单调递增．当时，在上单调递增．（3）由题意可知，在上存在一点，使得成立，即在上存在一点，使得，即函数在上的最小值．由第（2）问，①当，即时，在上单调递减，，，，；，即时，在上单调递增，，.③当，即时，，，此时不存在使成立．综上可得所求的范围是：或．27．某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合污染指数与时刻（时）的关系为,,其中是与气象有关的参数,且．若用每天的最大值为当天的综合污染指数,并记作．（1）令,,求的取值范围；（2）求的表达式,并规定当时为综合污染指数不超标,求当在什么范围内时,该市市中心的综合污染指数不超标．【答案】（1）；（2）,.【解析】（1）当时,；当时,因为,所以,即的取值范围是．（2）当时,由（1）,令,则,所以于是,在时是关于的减函数,在时是增函数,因为,,由,所以,当时,；当时,,即由,解得．所以,当时,综合污染指数不超标．28．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数．（1）当时，求函数的