函数的凹凸性与函数的作图课件

4.4函数的凹凸性与函数的作图4.4.1曲线的凹凸性与拐点4.4.2曲线的渐近线4.4.3函数的作图4.4函数的凹凸性与函数的作图4.4.1曲线的凹凸性与拐问题:如何研究曲线的弯曲方向?问题:如何用准确的数学语言描述曲线的凹凸性?问题:如何研究曲线的弯曲方向?问题:如何用准确的数学语定义4.2如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的上方，则称曲线在这个区间内是上凹的；如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的下方，则称曲线在这个区间内是下凹的(上凹简称凹,下凹简称凸)．4.4.1曲线的凹凸性与拐点定义4.2如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线曲线凹凸的判定:曲线凹凸的判定:定理3.10设函数在区间内存在二阶导数，(2)若时，恒有，则曲线在内下凹(简称凸的)．(1)若时，恒有，则曲线在内上凹(简称凹的)；定理3.10设函数在区间内存在二阶例证明函数的图像是处处下凹(凹)的故曲线在整个定义域内是下凹(凸)的解例证明函数的图像是处处下凹(凹)的故曲

定义4.3曲线上凹与下凹的分界点称为曲线的拐点.求拐点的一般步骤：②令，解出全部根，并求出所有二阶导数不存在的点；①求函数的二阶导数；③对步骤②求出的每一个点，检查其左、右邻近的的符号，如果异号则该点为曲线的拐点；如果同号则该点不是曲线的拐点．定义4.3曲线上凹与下凹的分界点称为曲线的拐点.求例1求曲线的凹凸区间与拐点.解，令，解得，．拐点拐点曲线在及两个区间上凹，在区间下凹，和是它的两个拐点.例1求曲线的凹凸区间与拐点.解例2求曲线的凹凸区间与拐点.解，；令，解得；只要，恒有，而函数没有二阶导数不存在的点，所以曲线没有拐点，它在整个是上凹的．例2求曲线的凹凸区间与拐点.解例3求曲线的凹凸区间与拐点.解，；在内恒不为零，但时，不存在．在4的左侧邻近时，；在4的右侧邻近时，.即在两侧异号，所以是曲线的拐点.例3求曲线的凹凸区间与拐点.解练习求下列曲线的拐点，并讨论其凹凸性.练习求下列曲线的拐点，并讨论其凹凸性.2解凹的凸的凹的拐点拐点2解凹的凸的凹的拐点拐点函数的凹凸性与函数的作图课件3解3解定义4.4如果曲线上的一点沿着曲线趋于无穷远时，该点与某条直线的距离趋于零，则称此直线为曲线的渐近线.设曲线，如果,则称直线为曲线的水平渐近线.4.4.2曲线的渐近线1.水平渐近线定义4.4如果曲线上的一点沿着曲线趋设曲线如果曲线在点间断，且，则称直线为曲线的铅垂渐近线．

例4求曲线的水平渐近线和铅垂渐近线.2.铅垂渐近线如果曲线在点间断，且例4求曲线的解因为，所以是曲线的水平渐近线．又因为5是的间断点,且，所以是曲线的铅垂渐近线．解因为，所以是曲线的水平渐近线．又例5求曲线的水平渐近线和铅垂渐近线.解因为，所以是曲线的水平渐近线．例5求曲线的水平渐近线和铅垂渐近线.解又因为1和-1是的间断点，且，，所以和是曲线的铅垂渐近线．又因为1和-1是的间断点，且4.4.3函数作图描绘函数图象的具体方法如下:1.确定函数的定义域的值域；2.确定曲线关于坐标轴的对称性；3.求出曲线和坐标轴的交点；4.判断函数的单调区间并求出极值；5.确定函数的凹向区间和拐点；6.求出曲线的渐近线；7.列表讨论并描绘函数的图象.4.4.3函数作图描绘函数图象的具体方法如下:1.确定函数例6描绘函数的图象．解(1)定义域：.(2)函数不具有奇偶性，因此曲线无对称性.(3)令，得，，表明曲线与轴有两个交点，一个是，一个是.(4)，令，得，.例6描绘函数的图象．解(1)定义域：，所以为极大值点，为极大值.，所以为极小值点，为极小值；，所以为极大值点，，所(5)令，得．在的左侧有，在的右侧有，而，所以是拐点．(6)无渐近线.(7)将上面的结果列表(5)令，得．在的左(6)无渐近线.拐点极小值极大值拐点极小值极大值

例7描绘函数的图象．

解(1)定义域：．(2)函数不具有奇偶性，因此曲线无对称性.例7描绘函数的图象．解(1)定义域表明曲线与轴交于和.(3)令，即，，解得表明曲线与轴交于和.(3)令(4)，令，得.(4)，令，得.在左侧有，在右侧有，所以是极小值点，是极小值．(5).在左侧有，在右侧有，所以是令，得.当从左向右经过-3时，由负变正，又，所以是曲线的拐点.(6)因为，所以