2020年北京市中考数学试卷（解析版）

第22页（共22页）2020年北京市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是A．圆柱 B．圆椎 C．三棱柱 D．长方体【分析】根据三视图可得到所求的几何体是柱体，可得几何体的名称．【解答】解：该几何体是长方体，故选：．【点评】考查由三视图判断几何体；用到的知识点为：若三视图里有两个是长方形，那么该几何体是柱体2．（2分）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为A． B． C． D．【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．【解答】解：，故选：．【点评】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定的值以及的值．3．（2分）如图，和相交于点，则下列结论正确的是A． B． C． D．【分析】根据对顶角定义和外角的性质逐个判断即可．【解答】解：．和是对顶角，，故正确；．，，故错误；．，故③错误；．，；故错误；故选：．【点评】本题主要考查了对顶角的定义和外角的性质，能熟记对顶角的定义是解此题的关键．4．（2分）下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；、既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意．故选：．【点评】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图重合．5．（2分）正五边形的外角和为A． B． C． D．【分析】根据多边形的外角和等于，即可求解．【解答】解：任意多边形的外角和都是，故正五边形的外角和的度数为．故选：．【点评】本题主要考查多边形的外角和定理，解答本题的关键是掌握任意多边形的外角和都是．6．（2分）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数满足，则的值可以是A．2 B． C． D．【分析】先判断的范围，再确定符合条件的数即可．【解答】解：因为，所以，因为，所以只能是．故选：．【点评】本题考查了数轴上的点和实数的对应关系．解决本题的关键是根据数轴上的点确定数的范围．7．（2分）不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是A． B． C． D．【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两次记录的数字之和为3的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：列表如下：12123234由表可知，共有4种等可能结果，其中两次记录的数字之和为3的有2种结果，所以两次记录的数字之和为3的概率为，故选：．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．8．（2分）有一个装有水的容器，如图所示，容器内的水面高度是，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．反比例函数关系【分析】根据题意可得容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系式，进而判断出相应函数类型．【解答】解：设容器内的水面高度为，注水时间为，根据题意得：，容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是一次函数关系．故选：．【点评】本题主要考查了一次函数的应用，观察图象提供的信息，再分析高度、时间和容积的关系即可找到解题关键．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）若代数式有意义，则实数的取值范围是．【分析】直接利用分式有意义的条件分析得出答案．【解答】解：若代数式有意义，则，解得：．故答案为：．【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．10．（2分）已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是1．【分析】根据方程的系数结合根的判别式△，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出值．【解答】解：关于的方程有两个相等的实数根，△，解得：．故答案为：1．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．11．（2分）写出一个比大且比小的整数2或3（答案不唯一）．【分析】先估算出和的大小，再找出符合条件的整数即可．【解答】解：，，比大且比小的整数2或3（答案不唯一）．故答案为：2或3（答案不唯一）．【点评】本题主要考查了估算无理数的大小，根据题意估算出和的大小是解答此题的关键．12．（2分）方程组的解为．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：，①②得：，解得：，把代入①得：，则方程组的解为．故答案为：．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．13．（2分）在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点．若点，的纵坐标分别为，，则的值为0．【分析】联立方程组，可求，的值，即可求解．【解答】解：直线与双曲线交于，两点，联立方程组得：，解得：，，，故答案为：0．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握函数图象上点的坐标满足图象的解析式是本题的关键．14．（2分）如图，在中，，点在上（不与点，重合）．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是（写出一个即可）．【分析】由题意可得，，即添加一组边对应相等，可证与全等．【解答】解：，，添加，在与中，，故答案为：．【点评】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．15．（2分）如图所示的网格是正方形网格，，，，是网格线交点，则的面积与的面积的大小关系为：（填“”，“”或“”．【分析】分别求出的面积和的面积，即可求解．【解答】解：，，，故答案为：．【点评】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是本题的关键．16．（2分）如图是某剧场第一排座位分布图．甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数分别为2，3，4，5．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位号之和最小，如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一个购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序丙、丁、甲、乙．【分析】先判断出丙购买票之后，剩余3号左边有6个座位，4号右边有5个座位，进而得出甲、乙购买的票只要在丙的同侧，四个人购买的票全在第一排，即可得出结论．【解答】解：根据题意，丙第一个购票，只能购买3，1，2，4号票，此时，3号左边有6个座位，4号右边有5个座位，即甲、乙购买的票只要在丙的同侧，四个人购买的票全在第一排，①第二个丁可以购买3号左边的5个座位，另一侧的座位甲和乙购买，即丙，1，2，、丁，7，9，11，、甲、乙或丙，1，2，、丁，7，9，11，、乙、甲；②第二个由甲或乙购买，此时，只能购买5，7号票，第三个购买的只能是丁，且只能购买6，8，10，12，14号票，此时，四个人购买的票全在第一排，即丙，1，2，、甲、丁，8，10，12，、乙或丙，1，2，、乙、丁，8，10，12，、甲，因此，第一个是丙购买票，丁只要不是最后一个购买票的人，都能使四个人购买的票全在第一排，故答案为：丙、丁、甲、乙．【点评】此题主要考查了推理与论证，判断出甲、乙购买的票在丙的同侧是解本题的关键．三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每小题5分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：．【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及二次根式的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案．【解答】解：原式．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18．（5分）解不等式组：【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式，得：，解不等式，得：，则不等式组的解集为．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19．（5分）已知，求代数式的值．【分析】直接利用乘法公式以及单项式乘多项式运算法则化简进而把已知代入得出答案．【解答】解：，，，原式．【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．20．（5分）已知：如图，为锐角三角形，，．求作：线段，使得点在直线上，且．作法：①以点为圆心，长为半径画圆，交直线于，两点；②连接．线段就是所求作的线段．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：，．，点在上．又点，都在上，（填推理的依据）．．【分析】（1）根据作法即可补全图形；（2）根据等腰三角形的性质和同弧所对圆周角等于圆心角的一半即可完成下面的证明．【解答】解：（1）如图，即为补全的图形；（2）证明：，．，点在上．又点，都在上，（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半），．故答案为：，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．【点评】本题考查了作图复杂作图、等腰三角形的性质、圆周角定理，解决本题的关键是综合运用以上知识．21．（6分）如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点，在上，，．（1）求证：四边形是矩形；（2）若，，求和的长．【分析】（1）根据菱形的性质得到，，得到，推出，求得四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）根据菱形的性质得到，，得到；由（1）知，四边形是矩形，求得，根据勾股定理得到，于是得到结论．【解答】解：（1）四边形是菱形，，，是的中点，，，，，，四边形是平行四边形，，，四边形是矩形；（2）四边形是菱形，，，，是的中点，；由（1）知，四边形是矩形，，，，，．【点评】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．22．（5分）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围．【分析】（1）先根据直线平移时的值不变得出，再将点代入，求出的值，即可得到一次函数的解析式；（2）根据点结合图象即可求得．【解答】解：（1）一次函数的图象由直线平移得到，，将点代入，得，解得，一次函数的解析式为；（2）把点代入求得，当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．23．（6分）如图，为的直径，为延长线上一点，是的切线，为切点，于点，交于点．（1）求证：；（2）若，，求的长．【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得到，根据切线的性质得到，等量代换即可得到结论；（2）根据三角形中位线定理得到，设，，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）连接，为的直径，，，，，，是的切线，为切点，，，，，，；（2），，，，，设，，，，，，，，，．【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．24．（6分）小云在学习过程中遇到一个函数．下面是小云对其探究的过程，请补充完整：（1）当时，对于函数，即，当时，随的增大而减小，且；对于函数，当时，随的增大而，且；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数，当时，随的增大而．（2）当时，对于函数，当时，与的几组对应值如下表：012301结合上表，进一步探究发现，当时，随的增大而增大．在平面直角坐标系中，画出当时的函数的图象．（3）过点，作平行于轴的直线，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线与函数的图象有两个交点，则的最大值是．【分析】（1）利用一次函数或二次函数的性质解决问题即可．（2）利用描点法画出函数图象即可．（3）观察图象可知，时，的值最大．【解答】解：（1）当时，对于函数，即，当时，随的增大而减小，且；对于函数，当时，随的增大而减小，且；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数，当时，随的增大而减小．故答案为：减小，减小，减小．（2）函数图象如图所示：（3）直线与函数的图象有两个交点，观察图象可知，时，的值最大，最大值，故答案为【点评】本题考查二次函数与不等式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．25．（5分）小云统计了自己所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量（单位：千克），相关信息如下：．小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图：．小云所住小区5月1日至30日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下：时段1日至10日11日至20日21日至30日平均数100170250（1）该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为173（结果取整数）；（2）已知该小区4月的厨余垃圾分出量的平均数为60，则该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为4月的倍（结果保留小数点后一位）；（3）记该小区5月1日至10日的厨余垃圾分出量的方差为，5月11日至20日的厨余垃圾分出量的方差为，5月21日至30日的厨余垃圾分出量的方差为．直接写出，，的大小关系．【分析】（1）结合表格，利用加权平均数的定义列式计算可得；（2）结合以上所求结果计算即可得出答案；（3）由图知第1个10天的分出量最分散、第3个10天分出量最为集中，根据方差的意义可得答案．【解答】解：（1）该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为（千克），故答案为：173；（2）该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为4月的（倍，故答案为：2.9；（3）由小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图知，第1个10天的分出量最分散、第3个10天分出量最为集中，．【点评】本题主要考查方差和加权平均数，解题的关键是掌握方差的意义和加权平均数的定义．26．（6分）在平面直角坐标系中，，，，为抛物线上任意两点，其中．（1）若抛物线的对称轴为，当，为何值时，；（2）设抛物线的对称轴为，若对于，都有，求的取值范围．【分析】（1）根据抛物线的对称性解决问题即可．（2）由题意点，，，的中垂线与的交点的坐标大于，利用二次函数的性质判断即可．【解答】解：（1）由题意，，对称轴，，关于对称，，，时，．（2）抛物线的对称轴为，若对于，都有，．【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数的对称性等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．27．（7分）在中，，，是的中点．为直线上一动点，连接．过点作，交直线于点，连接．（1）如图1，当是线段的中点时，设，，求的长（用含，的式子表示）；（2）当点在线段的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．【分析】（1）由三角形的中位线定理得，，进而证明四边形是矩形得，得出，再根据勾股定理得结果；（2）过点作，与的延长线交于点，连接，证明得，，由垂直平分线的判定定理得，进而根据勾股定理得结论．【解答】解：（1）是的中点，是线段的中点，，，，，，，四边形是矩形，，，，；（2）．证明：过点作，与的延长线交于点，连接，则，，点是的中点，，在和中，，，，，，，，．【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂直平分