(新高考)高考数学一轮考点复习8.2《两条直线的位置关系》课时跟踪检测(含详解)

PAGE第6页共6页课时跟踪检测（四十一）两条直线的位置关系一、基础练——练手感熟练度1．若直线ax＋2y＋1＝0与直线x＋y－2＝0互相垂直，那么a的值等于()A．1 B．－eq\f(1,3)C．－eq\f(2,3) D．－2解析：选D由a×1＋2×1＝0得a＝－2.故选D.2．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A若两直线平行，则a(a＋1)＝2，即a2＋a－2＝0，∴a＝1或－2，故a＝1是两直线平行的充分不必要条件．3．已知A(4，－3)关于直线l的对称点为B(－2,5)，则直线l的方程是()A．3x＋4y－7＝0 B．3x－4y＋1＝0C．4x＋3y－7＝0 D．3x＋4y－1＝0解析：选B由题意得AB的中点C为(1,1)，又A，B两点连线的斜率为kAB＝eq\f(5＋3,－2－4)＝－eq\f(4,3)，所以直线l的斜率为eq\f(3,4)，因此直线l的方程为y－1＝eq\f(3,4)(x－1)，即3x－4y＋1＝0.故选B.4．直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线的方程是()A．3x＋4y＋5＝0 B．3x＋4y－5＝0C．－3x＋4y－5＝0 D．－3x＋4y＋5＝0解析：选A在所求直线上任取一点P(x，y)，则点P关于x轴的对称点P′(x，－y)在已知的直线3x－4y＋5＝0上，所以3x－4(－y)＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0，故选A.5．已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是()A．[－10,10] B．[－10,5]C．[－5,5] D．[0,10]解析：选D由题意得，点P到直线的距离为eq\f(|4×4－3×a－1|,5)＝eq\f(|15－3a|,5).又eq\f(|15－3a|,5)≤3，即|15－3a|≤15，解得0≤a≤10，所以a的取值范围是[0,10]．6．经过直线3x－2y＋1＝0和直线x＋3y＋4＝0的交点，且平行于直线x－y＋4＝0的直线方程为__________．解析：过两直线交点的直线方程可设为3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0，即(3＋λ)x＋(3λ－2)y＋4λ＋1＝0，它与直线x－y＋4＝0平行，所以3＋λ＋3λ－2＝0，λ＝－eq\f(1,4)，故所求直线为x－y＝0.答案：x－y＝0二、综合练——练思维敏锐度1．直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是()A．平行 B．垂直C．相交但不垂直 D．不能确定解析：选C直线2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2，直线x＋2y＋n＝0的斜率k2＝－eq\f(1,2)，则k1≠k2，且k1k2≠－1.故选C.2．三条直线l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0构成一个三角形，则k的取值范围是()A．k∈RB．k∈R且k≠±1，k≠0C．k∈R且k≠±5，k≠－10D．k∈R且k≠±5，k≠1解析：选C由l1∥l3得k＝5；由l2∥l3得k＝－5；由x－y＝0与x＋y－2＝0得x＝1，y＝1，若(1,1)在l3上，则k＝－10.故若l1，l2，l3能构成一个三角形，则k≠±5且k≠－10.故选C.3．(多选)已知直线l1：2x＋3y－1＝0和l2：4x＋6y－9＝0，若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2，则直线l的方程为()A．2x＋3y－8＝0 B．4x＋6y＋5＝0C．6x＋9y－10＝0 D．12x＋18y－13＝0解析：选BD设直线l：4x＋6y＋m＝0，m≠－2且m≠－9，直线l到直线l1和l2的距离分别为d1，d2，由题知：d1＝eq\f(|m＋2|,\r(16＋36))，d2＝eq\f(|m＋9|,\r(16＋36)).因为eq\f(d1,d2)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(2|m＋2|,\r(16＋36))＝eq\f(|m＋9|,\r(16＋36))，即2|m＋2|＝|m＋9|，解得m＝5或m＝－eq\f(13,3)，即直线l为4x＋6y＋5＝0或12x＋18y－13＝0.4．若直线l1：x＋3y＋m＝0(m＞0)与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为eq\r(10)，则m＝()A．7 B.eq\f(17,2)C．14 D．17解析：选B直线l1：x＋3y＋m＝0(m＞0)，即2x＋6y＋2m因为它与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为eq\r(10)，所以eq\f(|2m＋3|,\r(4＋36))＝eq\r(10)，求得m＝eq\f(17,2).5．直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于MA．2x＋3y－12＝0 B．2x－3y－12＝0C．2x－3y＋12＝0 D．2x＋3y＋12＝0解析：选D由ax＋y＋3a－1＝0，可得a(x＋3)＋(y－1)＝0，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3＝0，,y－1＝0，))可得x＝－3，y＝1，所以M(－3,1)，M不在直线2x＋3y－6＝0上，设直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠－6)，则eq\f(|－6＋3－6|,\r(4＋9))＝eq\f(|－6＋3＋c|,\r(4＋9))，解得c＝12或c＝－6(舍去)，所以所求方程为2x＋3y＋12＝0，故选D.6．两条平行线l1，l2分别过点P(－1,2)，Q(2，－3)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间距离的取值范围是()A．(5，＋∞) B．(0,5]C．(eq\r(34)，＋∞) D．(0，eq\r(34)]解析：选D当PQ与平行线l1，l2垂直时，|PQ|为平行线l1，l2间的距离的最大值，为eq\r(－1－22＋[2－－3]2)＝eq\r(34)，∴l1，l2之间距离的取值范围是(0，eq\r(34)]．7．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n等于()A.eq\f(34,5) B.eq\f(36,5)C.eq\f(28,3) D.eq\f(32,3)解析：选A由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3＋n,2)＝2×\f(7＋m,2)－3，,\f(n－3,m－7)＝－\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(3,5)，,n＝\f(31,5)，))故m＋n＝eq\f(34,5).8．已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C的坐标为()A．(－2,4) B．(－2，－4)C．(2,4) D．(2，－4)解析：选C设A(－4,2)关于直线y＝2x的对称点为A′(x，y)．则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y－2,x＋4)×2＝－1，,\f(y＋2,2)＝2×\f(－4＋x,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－2，))即A′(4，－2)，∴直线A′C即BC所在直线的方程为y－1＝eq\f(－2－1,4－3)(x－3)，即3x＋y－10＝0.又知点C在直线y＝2x上，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y－10＝0，,y＝2x，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4，))则C(2,4)，故选C.9.在等腰直角三角形ABC中，|AB|＝|AC|＝4，点P是边AB上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP的长度为()A．2 B．1C.eq\f(8,3) D.eq\f(4,3)解析：选D以AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知B(4,0)，C(0,4)，A(0，0)，则直线BC的方程为x＋y－4＝0，设P(t,0)(0<t<4)，由对称知识可得点P关于BC所在直线的对称点P1的坐标为(4，4－t)，点P关于y轴的对称点P2的坐标为(－t,0)，根据反射定律可知P1P2所在直线就是光线RQ所在直线．由P1，P2两点坐标可得P1P2所在直线的方程为y＝eq\f(4－t,4＋t)·(x＋t)，设△ABC的重心为G，易知Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3))).因为重心Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)))在光线RQ上，所以有eq\f(4,3)＝eq\f(4－t,4＋t)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)＋t))，即3t2－4t＝0.所以t＝0或t＝eq\f(4,3)，因为0<t<4，所以t＝eq\f(4,3)，即|AP|＝eq\f(4,3)，故选D.10．与直线x－2y＋3＝0平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4的直线方程是__________．解析：设所求直线方程为x－2y＋λ＝0，令x＝0，得y＝eq\f(λ,2)；令y＝0，得x＝－λ.由题意，得eq\f(1,2)·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(λ,2)))·|－λ|＝4，解得λ＝±4.故所求直线方程为x－2y±4＝0.答案：x－2y±4＝011．若两直线kx－y＋1＝0和x－ky＝0相交且交点在第二象限，则k的取值范围是________．解析：由题意知k≠±1.联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kx－y＋1＝0，,x－ky＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,1－k2)，,y＝\f(1,1－k2)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(k,1－k2)＜0，,\f(1,1－k2)＞0，))∴－1＜k＜0.答案：(－1,0)12．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y＋3－m＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．解析：动直线x＋my＝0(m≠0)过定点A(0,0)，动直线mx－y＋3－m＝0过定点B(1,3)．由题意易得直线x＋my＝0与直线mx－y＋3－m＝0垂直，即|PA|2＋|PB|2＝|AB|2.当m＝0时，直线x＝0与y＝3垂直，也满足|PA|2＋|PB|2＝|AB|2.∴|PA|·|PB|≤eq\f(|PA|2＋|PB|2,2)＝eq\f(|AB|2,2)＝eq\f(12＋32,2)＝5，即|PA|·|PB|的最大值为5.答案：513．已知0＜k＜4，直线l1：kx－2y－2k＋8＝0和直线l2：2x＋k2y－4k2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为________．解析：由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，4)，直线l1的纵截距为4－k，直线l2的横截距为2k2＋2，如图，所以四边形的面积S＝2k2×2＋(4－k＋4)×2×eq\f(1,2)＝4k2－k＋8，故面积最小时，k＝eq\f(1,8).答案：eq\f(1,8)14．已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0与点P(－2,2)．(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于4eq\r(2).证明：(1)显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线．∵方程可变形为2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y－6＝0，,x－y－4＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－2，))故直线经过的定点为M(2，－2)．(2)过P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知|PQ|≤|PM|，当且仅当Q与M重合时，|PQ|＝|PM|，此时对应的直线方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.但直线系方程唯独不能表示直线x－y－4＝0，∴M与Q不可能重合，而|PM|＝4eq\r(2)，∴|PQ|<4eq\r(2)，故所证成立．15．已知直线l：3x－y－1＝0及点A(4,1)，B(0,4)，C(2,0)．(1)试在l上求一点P