(新高考)高考数学一轮考点复习5.1《平面向量的概念及线性运算》课时跟踪检测(含详解)

PAGE第7页共7页课时跟踪检测（二十五）平面向量的概念及线性运算一、基础练——练手感熟练度1．(多选)设a，b是非零向量，记a与b所成的角为θ，下列四个条件中，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充要条件是()A．a∥b B．θ＝0C．a＝2b D．θ＝π解析：选BCeq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)等价于非零向量a与b同向共线，即θ＝0，故B正确．对于选项C，a＝2b，则a与b同向共线，故C正确．2．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则eq\o(EB,\s\up7(→))＋eq\o(FC,\s\up7(→))＝()A．eq\o(AD,\s\up7(→)) B．eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))C.eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up7(→)) D．eq\o(BC,\s\up7(→))解析：选A由题意得eq\o(EB,\s\up7(→))＋eq\o(FC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))＝eq\o(AD,\s\up7(→)).3．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是()A．a与λa的方向相反 B．a与λ2aC．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|·a解析：选B对于A，当λ>0时，a与λa的方向相同，当λ<0时，a与λa的方向相反；B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小．4.如图，在正六边形ABCDEF中，eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(EF,\s\up7(→))＝()A．0 B．eq\o(BE,\s\up7(→))C．eq\o(AD,\s\up7(→)) D．eq\o(CF,\s\up7(→))解析：选D由题图知eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(AF,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(BF,\s\up7(→))＝eq\o(CF,\s\up7(→)).5．在△ABC中，O为△ABC的重心，若eq\o(BO,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(AC,\s\up7(→))，则λ－2μ＝()A．－eq\f(1,2) B．－1C.eq\f(4,3) D．－eq\f(4,3)解析：选D如图，延长BO交AC于点M，∵点O为△ABC的重心，∴M是AC的中点，∴eq\o(BO,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BM,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)eq\o(BA,\s\up7(→))＋\f(1,2)eq\o(BC,\s\up7(→))))＝eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up7(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→))，又eq\o(BO,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(AC,\s\up7(→))，∴λ＝－eq\f(2,3)，μ＝eq\f(1,3)，∴λ－2μ＝－eq\f(4,3)，故选D.二、综合练——练思维敏锐度1．已知两个非零向量a，b互相垂直，若向量m＝4a＋5b与n＝2a＋λb共线，则实数A．5 B．3C.eq\f(5,2) D．2解析：选C∵a，b是非零向量，且互相垂直，∴4a＋5b≠0，m≠∵m，n共线，∴n＝μm，即2a＋λb＝μ(4a＋5∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝4μ，,λ＝5μ.))解得λ＝eq\f(5,2).2．设平面向量a，b不共线，若eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋5b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝－2a＋8b，eq\o(CD,\s\up7(→))＝3(a－b)，则()A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线解析：选A∵eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋5b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝－2a＋8b，eq\o(CD,\s\up7(→))＝3(a－b)，∴eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝(a＋5b)＋(－2a＋8b)＋3(a－b)＝2(a＋5b)＝2eq\o(AB,\s\up7(→))，∴eq\o(AD,\s\up7(→))与eq\o(AB,\s\up7(→))共线，即A，B，D三点共线．3．已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2eq\o(OP,\s\up7(→))＝2eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(BA,\s\up7(→))，则()A．点P在线段AB上B．点P在线段AB的反向延长线上C．点P在线段AB的延长线上D．点P不在直线AB上解析：选B因为2eq\o(OP,\s\up7(→))＝2eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(BA,\s\up7(→))，所以2eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\o(BA,\s\up7(→))，所以点P在线段AB的反向延长线上．4．(多选)在△ABC中，点E，F分别是边BC和AC的中点，P是AE与BF的交点，则有()A．eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→)) B．eq\o(AB,\s\up7(→))＝2eq\o(EF,\s\up7(→))C．eq\o(CP,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up7(→)) D．eq\o(CP,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up7(→))解析：选AC如图，根据三角形中线性质和平行四边形法则知，eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→)))，A是正确的；因为EF是中位线，所以eq\o(AB,\s\up7(→))＝2eq\o(FE,\s\up7(→))，B是错误的；设AB的中点为G，则根据三角形重心性质知，CP＝2PG，所以eq\o(CP,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CG,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→))))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→))))，所以C是正确的，D错误．5．设向量a，b不共线，eq\o(AB,\s\up7(→))＝2a＋pb，eq\o(BC,\s\up7(→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up7(→))＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为()A．－2 B．－1C．1 D．2解析：选B因为eq\o(BC,\s\up7(→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up7(→))＝a－2b，所以eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝2a－b.又因为A，B，D三点共线，所以eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(BD,\s\up7(→))共线．设eq\o(AB,\s\up7(→))＝λeq\o(BD,\s\up7(→))，所以2a＋pb＝λ(2a－b)，所以2＝2λ，p＝－λ，即λ＝1，p＝－1.6．(多选)已知向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝(1，－3)，eq\o(OB,\s\up7(→))＝(－2,1)，eq\o(OC,\s\up7(→))＝(t＋3，t－8)，若点A，B，C能构成三角形，则实数t可以为()A．－2 B．eq\f(1,2)C．1 D．－1解析：选ABD若点A，B，C能构成三角形，则A，B，C三点不共线，故向量eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(BC,\s\up7(→))不共线．由于向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝(1，－3)，eq\o(OB,\s\up7(→))＝(－2,1)，eq\o(OC,\s\up7(→))＝(t＋3，t－8)，故eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝(－3,4)，eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))＝(t＋5，t－9)，若A，B，C三点不共线，则－3(t－9)－4(t＋5)≠0，∴t≠1.7．已知点O为△ABC的外接圆的圆心，且eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(CO,\s\up7(→))＝0，则△ABC的内角A等于()A．30° B．45°C．60° D．90°解析：选A由eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(CO,\s\up7(→))＝0，得eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))，由O是△ABC外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知，四边形OACB为菱形，且∠CAO＝60°，故∠CAB＝30°，选A.8．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为()A．1 B．－eq\f(1,2)C．1或－eq\f(1,2) D．－1或－eq\f(1,2)解析：选B由于c与d共线反向，则存在实数k使c＝kd(k<0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]，整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于a，b不共线，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝k，,2λk－k＝1，))整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－eq\f(1,2).又因为k<0，所以λ<0，故λ＝－eq\f(1,2).9．在△ABC中，D为△ABC所在平面内一点，且eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))，则eq\f(S△BCD,S△ABD)＝()A.eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)解析：选B如图，由已知得，点D在△ABC中与AB平行的中位线上，且在靠近BC边的三等分点处，从而有S△ABD＝eq\f(1,2)S△ABC，S△ACD＝eq\f(1,3)S△ABC，S△BCD＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)－\f(1,3)))S△ABC＝eq\f(1,6)S△ABC，所以eq\f(S△BCD,S△ABD)＝eq\f(1,3).10.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点或终点的向量中，与向量eq\o(OA,\s\up7(→))相等的向量有________个．解析：根据正六边形的性质和相等向量的定义，易知与向量eq\o(OA,\s\up7(→))相等的向量有eq\o(CB,\s\up7(→))，eq\o(DO,\s\up7(→))，eq\o(EF,\s\up7(→))，共3个．答案：311.如图，在△ABC中，点D，E是线段BC上两个动点，且eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AE,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AC,\s\up7(→))，则eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)的最小值为________．解析：易知x，y均为正数，设eq\o(AD,\s\up7(→))＝meq\o(AB,\s\up7(→))＋neq\o(AC,\s\up7(→))，eq\o(AE,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(AC,\s\up7(→))，∵B，C，D共线，∴m＋n＝1，同理，λ＋μ＝1.∵eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AE,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AC,\s\up7(→))＝(m＋λ)eq\o(AB,\s\up7(→))＋(n＋μ)eq\o(AC,\s\up7(→))，∴x＋y＝m＋n＋λ＋μ＝2.∴eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,y)))(x＋y)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(y,x)＋\f(4x,y)))≥eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋2\r(\f(y,x)·\f(4x,y))))＝eq\f(9,2)，当且仅当y＝2x时等号成立，则eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)的最小值为eq\f(9,2).答案：eq\f(9,2)12．在△ABC中，P为BC的中点，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ceq\o(AC,\s\up7(→))＋aeq\o(PA,\s\up7(→))＋beq\o(PB,\s\up7(→))＝0，则△ABC的形状为________．解析：∵在△ABC中，P为BC的中点，∴eq\o(PA,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))，又∵ceq\o(AC,\s\up7(→))＋aeq\o(PA,\s\up7(→))＋beq\o(PB,\s\up7(→))＝0，eq\o(PB,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→)))，∴ceq\o(AC,\s\up7(→))－eq\f(1,2)a(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))＋eq\f(1,2)b(eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→)))＝0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c－\f(a＋b,2)))eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\f(a－b,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＝0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c－\f(a＋b,2)))eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(a－b,2)eq\o(AB,\s\up7(→))，又eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AC,\s\up7(→))不共线，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a－b,2)＝0，,c－\f(a＋b,2)＝0，))解得a＝b＝c，∴△ABC为等边三角形．答案：等边三角形13．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2eq\r(3)，BC＝2，点E在线段CD上，若eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋μeq\o(AB,\s\up7(→))，则μ的取值范围是________．解析：由题意可求得AD＝1，CD＝eq\r(3)，∴eq\o(AB,\s\up7(→))＝2eq\o(DC,\s\up7(→)).∵点E在线段CD上，∴eq\o(DE,\s\up7(→))＝λeq\o(DC,\s\up7(→))(0≤λ≤1)．∵eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DE,\s\up7(→))，又eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋μeq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋2μeq\o(DC,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(2μ,λ)eq\o(DE,\s\up7(→))，∴eq\f(2μ,λ)＝1，即μ＝eq\f(λ,2).∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤eq\f(1,2)，即μ的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))14．如图，O，A，B三点不共线，eq\o(OC,\s\up7(→))＝2eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OD,\s\up7(→))＝3eq\o(OB,\s\up7(→))，设eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b.(1)试用a，b表示向量eq\o(OE,\s\up7(→))；(2)设线段AB，OE，CD的中点分别为L，M，N，试证明：L，M，N三点共线．解：(1)∵B，E，C三点共线，∴eq\o(OE,\s\up7(→))＝xeq\o(OC,\s\up7(→))＋(1－x)eq\o(OB,\s\up7(→))＝2xa＋(1－x)b，①同理，∵A，E，D三点共线，可得eq\o(OE,\s\up7(→))＝ya＋3(1－y)b，②由①②，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＝y，,1－x＝31－y，))解得x＝eq\f(2,5)，y＝eq\f(4,5)，∴eq\o(OE,\s\up7(→))＝eq\f(4,5)a＋eq