广西钦州市钦州港经济技术开发区2023年高考压轴卷数学试卷含解析

1、2023年高考数学模拟试卷注意事项1考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回2答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用05毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符4作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效5如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2、1费马素数是法国大数学家费马命名的,形如的素数(如：)为费马索数,在不超过30的正偶数中随机选取一数,则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是()ABCD2设命题p:1,n22n,则p为（ ）ABCD3展开项中的常数项为A1B11C-19D514如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框处应填入的是（ ）ABCD5把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若函数是偶函数，则实数的最小值是（ ）ABCD6某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（ ）A收入最高值与收入最低值的比是B结余最高的月份是月份C与月份的收入的变化率与至月份的收入的变化率相同D

3、前个月的平均收入为万元7若函数（其中，图象的一个对称中心为，其相邻一条对称轴方程为，该对称轴处所对应的函数值为，为了得到的图象，则只要将的图象( )A向右平移个单位长度B向左平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度8已知向量满足,且与的夹角为,则( )ABCD9中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”

4、课程讲座不同的排课顺序共有（ ）A12种B24种C36种D48种10平行四边形中，已知，点、分别满足，且，则向量在上的投影为（ ）A2BCD11已知等差数列的前n项和为，则A3B4C5D612已知是等差数列的前项和，若，则（ ）A5B10C15D20二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知，分别为内角，的对边，则的面积为_.14已知，则=_，_15若点为点在平面上的正投影，则记.如图，在棱长为1的正方体中，记平面为，平面为，点是线段上一动点，.给出下列四个结论：为的重心；当时，平面；当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为.其中，所有正确结论的序号是_.16已知实数，满足约

5、束条件则的最大值为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数，曲线在点处的切线方程为.（）求，的值；（）若，求证：对于任意，.18（12分）在中，角所对的边分别是，且.（1）求角的大小；（2）若，求边长.19（12分）如图，在三棱柱中，已知四边形为矩形，的角平分线交于.（1）求证:平面平面；（2）求二面角的余弦值.20（12分）已知函数f（x）axlnx（aR）.（1）若a2时，求函数f（x）的单调区间；（2）设g（x）f（x）1，若函数g（x）在上有两个零点，求实数a的取值范围.21（12分）在平面直角坐标系中，点是直线上的动点，为定点，点为的中点

6、，动点满足，且，设点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）过点的直线交曲线于，两点，为曲线上异于，的任意一点，直线，分别交直线于，两点.问是否为定值？若是，求的值；若不是，请说明理由.22（10分）已知变换将平面上的点，分别变换为点，设变换对应的矩阵为（1）求矩阵；（2）求矩阵的特征值参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1B【解析】基本事件总数，能表示为两个不同费马素数的和只有，共有个，根据古典概型求出概率【详解】在不超过的正偶数中随机选取一数，基本事件总数能表示为两个不同费马素数的和的只有，共有个则它能表示为两个不同

7、费马素数的和的概率是本题正确选项：【点睛】本题考查概率的求法，考查列举法解决古典概型问题，是基础题2C【解析】根据命题的否定，可以写出：，所以选C.3B【解析】展开式中的每一项是由每个括号中各出一项组成的，所以可分成三种情况.【详解】展开式中的项为常数项，有3种情况：（1）5个括号都出1，即；（2）两个括号出，两个括号出，一个括号出1，即；（3）一个括号出，一个括号出，三个括号出1，即；所以展开项中的常数项为，故选B.【点睛】本题考查二项式定理知识的生成过程，考查定理的本质，即展开式中每一项是由每个括号各出一项相乘组合而成的.4C【解析】根据程序框图的运行，循环算出当时，结束运行，总结分析即可

8、得出答案.【详解】由题可知，程序框图的运行结果为31，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，.此时输出.故选：C.【点睛】本题考查根据程序框图的循环结构，已知输出结果求条件框，属于基础题.5A【解析】先求出的解析式，再求出的解析式，根据三角函数图象的对称性可求实数满足的等式，从而可求其最小值.【详解】的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为，故.令，解得，.因为为偶函数，故直线为其图象的对称轴，令，故，因为，故，当时，.故选：A.【点睛】本题考查三角函数的图象变换以及三角函数的图象性质，注意平移变换是对自变量做加减，比如把的图象向右平移1个单位后，得到的图象对应的解析式为，另外，如

9、果为正弦型函数图象的对称轴，则有，本题属于中档题6D【解析】由图可知，收入最高值为万元，收入最低值为万元，其比是，故项正确；结余最高为月份，为，故项正确；至月份的收入的变化率为至月份的收入的变化率相同，故项正确；前个月的平均收入为万元，故项错误综上，故选7B【解析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再根据函数的图象变换规律，诱导公式，得出结论【详解】根据已知函数其中，的图象过点，可得，解得：再根据五点法作图可得，可得：，可得函数解析式为：故把的图象向左平移个单位长度，可得的图象，故选B【点睛】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐

10、标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，函数的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题8A【解析】根据向量的运算法则展开后利用数量积的性质即可.【详解】.故选：A.【点睛】本题主要考查数量积的运算，属于基础题.9C【解析】根据“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻有3类排法，再考虑两者的顺序，有种，剩余的3门全排列，即可求解.【详解】由题意，“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻时，可排在第1节和第2节或第4节和第5节或第5节和第6节，有3种，再考虑两者的顺序，有种，剩余的3门全排列，安排在剩下的3个位置，有种，所以“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有种不同的排法.故选：C.

11、【点睛】本题主要考查了排列、组合的应用，其中解答中认真审题，根据题设条件，先排列有限制条件的元素是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.10C【解析】将用向量和表示，代入可求出，再利用投影公式可得答案.【详解】解：，得，则向量在上的投影为.故选：C.【点睛】本题考查向量的几何意义，考查向量的线性运算，将用向量和表示是关键，是基础题.11C【解析】方法一：设等差数列的公差为，则，解得，所以.故选C方法二：因为，所以，则.故选C12C【解析】利用等差通项，设出和，然后，直接求解即可【详解】令，则，.【点睛】本题考查等差数列的求和问题，属于基础题二、填空题：本题共4小题，每小题

12、5分，共20分。13【解析】根据题意，利用余弦定理求得，再运用三角形的面积公式即可求得结果.【详解】解：由于，由余弦定理得，解得，的面积.故答案为：.【点睛】本题考查余弦定理的应用和三角形的面积公式，考查计算能力.14196 3 【解析】由二项式定理及二项式展开式通项得：，令x=1，则1+a0+a1+a7=（1+1）（1-2）7=-2，所以a0+a1+a7=-3，得解【详解】由二项式(12x)7展开式的通项得，则，令x=1,则，所以a0+a1+a7=3，故答案为：196，3.【点睛】本题考查二项式定理及其通项，属于中等题.15【解析】点在平面内的正投影为点，而正方体的体对角线与和它不相交的的面

13、对角线垂直，所以直线垂直于平面，而为正三角形，可得为正三角形的重心，所以是正确的；取的中点，连接，则点在平面的正投影在上，记为，而平面平面，所以，所以正确；若设，则由可得，然后对应边成比例，可解，所以正确；由于，而的面积是定值，所以当点到平面的距离最大时，三棱锥的体积最大，而当点与点重合时，点到平面的距离最大，此时为棱长为的正四面体，其外接球半径，则球，所以错误.【详解】因为，连接，则有平面平面为正三角形，所以为正三角形的中心，也是的重心，所以正确；由平面，可知平面平面，记，由，可得平面平面，则，所以正确；若平面，则，设由得，易得，由，则，由得，解得，所以正确；当与重合时，最大，为棱长为的正四

14、面体，其外接球半径，则球，所以错误.故答案为：【点睛】此题考查立体几何中的垂直、平行关系，求几何体的体积，考查空间想象能力和推理能力，属于难题.161【解析】作出约束条件表示的可行域，转化目标函数为，当目标函数经过点时，直线的截距最大，取得最大值，即得解.【详解】作出约束条件表示的可行域是以为顶点的三角形及其内部，转化目标函数为当目标函数经过点时，直线的截距最大此时取得最大值1故答案为：1【点睛】本题考查了线性规划问题，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（），（）见解析【解析】（1）根据导数的运算法则，求出

15、函数的导数，利用切线方程求出切线的斜率及切点，利用函数在切点处的导数值为曲线切线的斜率及切点也在曲线上，列出方程组，求出，值；（2）首先将不等式转化为函数，即将不等式右边式子左移，得，构造函数并判断其符号，这里应注意的取值范围，从而证明不等式.【详解】解：（1）由于直线的斜率为，且过点，故即解得，.（2）由（1）知，所以.考虑函数，则.而，故当时，所以，即.【点睛】本题考查了利用导数求切线的斜率，利用函数的导数研究函数的单调性、和最值问题，以及不等式证明问题，考查了分析及解决问题的能力，其中，不等式问题中结合构造函数实现正确转换为最大值和最小值问题是关键.18（1）； （2）.【解析】（1）把

16、代入已知条件，得到关于的方程，得到的值，从而得到的值.（2）由（1）中得到的的值和已知条件，求出，再根据正弦定理求出边长.【详解】（1）因为，所以，所以，即.因为，所以，因为，所以.（2）.在中，由正弦定理得，所以，解得.【点睛】本题考查三角函数公式的运用，正弦定理解三角形，属于简单题.19（1）见解析；（2）【解析】（1）过点作交于，连接，设，连接，由角平分线的性质，正方形的性质，三角形的全等，证得，由线面垂直的判断定理证得平面，再由面面垂直的判断得证.（2）平面几何知识和线面的关系可证得平面，建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量，根据二面角的向量计算公式可求得其值.【详解】（1）如图，

17、过点作交于，连接，设，连接，又为的角平分线，四边形为正方形，又，又为的中点，又平面，平面，又平面，平面平面，（2）在中，在中，又，又，平面，平面，故建立如图空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为，则，令，得,设平面的一个法向量为，则，令，得，由图示可知二面角是锐角，故二面角的余弦值为.【点睛】本题考查空间的面面垂直关系的证明，二面角的计算，在证明垂直关系时，注意运用平面几何中的等腰三角形的“三线合一”，勾股定理、菱形的对角线互相垂直，属于基础题.20（1）单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+）（2）（3，2e【解析】（1）当a2时，求出，求解，即可得出结论； （2）函数在上有两个

18、零点等价于a2x在上有两解，构造函数，利用导数，可分析求得实数a的取值范围.【详解】（1）当a2时，定义域为，则，令，解得x1，或x1（舍去），所以当时，单调递减；当时，单调递增；故函数的单调递减区间为，单调递增区间为，（2）设，函数g（x）在上有两个零点等价于在上有两解令，则，令，显然，在区间上单调递增，又，所以当时，有，即，当时，有，即，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，时，取得极小值，也是最小值，即，由方程在上有两解及，可得实数a的取值范围是.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化思想以及数形结合思想，考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.21（1）；（2）是定值，.【解析】（1）设出M的坐标为，采用直接法求曲线的方程；（2）设AB的方程为，,，求出AT方程，联立直线方程得D点的坐标，同理可得E点的坐标，最后利用向量数量积算即可.【详解】（1）设动点M的坐标为，由知，又在直线上，所以P点坐标为，又，点为的中点，所以，由得，即；（2）设直线AB的方程为，代入得，设