(新高考)高考数学一轮复习第53讲《圆锥曲线的综合应用-最值、范围问题》达标检测(解析版)

1、圆锥曲线的综合应用最值、范围问题达标检测A组应知应会1（庐阳区校级模拟）已知P为抛物线y24x上一点，Q为圆（x6）+y21上一点，则|PQ|的最小值为（）ABCD【分析】设点P的坐标为（m2，m），圆（x6）2+y21的圆心坐标A（6，0），求出|PA|的最小值，即可得到|PQ|的最小值【解答】解：设点P的坐标为（m2，m），圆（x6）2+y21的圆心坐标A（6，0），|PA|2（m26）2+m2（m216）2+2020，|PA|2，Q是圆（x6）2+y21上任意一点，|PQ|的最小值为21，故选：C2（东湖区校级模拟）已知双曲线C：y21的离心率为，过点P（2，0）的直线l与双曲线C交于不

2、同的两点A、B，且AOB为钝角（其中O为坐标原点），则直线l斜率的取值范围是（）AB（，0）（0，）CD【分析】利用双曲线的离心率求出m，得到双曲线方程，设出直线方程，设出AB坐标，利用韦达定理结合向量的数量积转化求解k的范围即可【解答】解：由题意双曲线C：y21的离心率为，得，解得m2，双曲线C：y21，设直线l：xty+2，与双曲线C联立得：（t22）y2+4ty+20，设点A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2，x1x2t2y1y2+2t（y1+y2）+4，又因为AOB为钝角，所以y1y2+x1x20，即0得出t220，所以直线l的斜率k2，即直线l斜率的取值范围是，故选：A3（

3、梅河口市校级模拟）已知抛物线y24x的焦点为F，过F的直线与抛物线交于A，B两点，A位于第一象限，则|AF|+3|BF|的最小值是（）A2B2+1C2+2D2+4【分析】设直线AB的方程为xmy+1，A（，y1），B（，y2），联立直线与抛物线的方程消元，然后利用韦达定理可得，然后根据抛物线的定义可得|AF|+3|BF|，再利用基本不等式即可求出结果【解答】解：抛物线的焦点F（1，0），设直线AB的方程为：xmy+1，联立方程组，消去x得：x2（4m2+2）x+10，设A（，y1），B（，y2），则有，即，由抛物线的定义可得|AF|，|BF|+1，所以|AF|+3|BF|，当且仅当时等号成立，

4、所以|AF|+3|BF|的最小值是2+4，故选：D4（红岗区校级模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A、B两点，若ABF2的周长为24，则当ab2取得最大值时，该双曲线的焦点到渐近线的距离为（）A1BC2D【分析】可设F1（c，0），求得|AB|，运用勾股定理，可得ABF2的周长，结合a，b，c的关系，可得b2a（6a），则ab2a2（6a），设f（x）x2（6x），x0，求得导数和单调性，可得最大值，即可得到所求距离【解答】解：可设F1（c，0），由xc代入双曲线的方程可得y，则|AB|，|AF2|BF2|，由题意可得+224，结合c2

5、a2+b2，上式化简可得a3+ab236a6b2，可得b2a（6a），则ab2a2（6a），设f（x）x2（6x），x0，导数为f（x）12x3x2，当x4时，f（x）0，f（x）递减；当0 x4时，f（x）0，f（x）递增可得f（x）在x4处取得最大值即有a4，b24（64）8，即b2，而焦点到渐近线的距离为db2，故选：D5（滨州三模）已知抛物线C：y24x与圆E：（x1）2+y29相交于A，B两点，点M为劣弧上不同A，B的一个动点，平行于x轴的直线MN交抛物线于点N，则MNE的周长的取值范围为（）A（3，5）B（5，7）C（6，8）D（6，8【分析】过M作准线的垂线，垂足为H，根据抛物线

6、的定义，可得ENNH故MNE的周长lNH+NM+MEMH+3，只需求得MH的取值范围即可【解答】解：如图，可得圆心E（1，0）也是抛物线的焦点，过M作准线的垂线，垂足为H，根据抛物线的定义，可得ENNH故MNE的周长lNH+NM+MEMH+3，由可得A（2，2），点A到准线的距离为2+13，MH的取值范围为（3，5）MNE的周长MH+3的取值范围为（6，8）故选：C6（和平区校级一模）已知双曲线的右焦点到其中一条新近线的距离等于，抛物线E：y22px（p0）的焦点与双曲线C的右焦点重合，则抛物线E上的动点M到直线l1：4x3y+60和l2：x1的距离之和的最小值为（）A1B2C3D4【分析】求

7、出双曲线的渐近线方程，运用点到直线的距离公式计算可得b，进而得到c，由抛物线的焦点坐标，可得p2，进而得到抛物线的方程连接MF，过点M作MAl1于点A，作MB准线x1于点C由抛物线的定义，得到d1+d2MA+MF，再由平面几何知识可得当M、A、F三点共线时，MA+MF有最小值，因此算出F到直线l1的距离，即可得到所求距离的最小值【解答】解：双曲线C：（b0）的渐近线方程为y，右焦点（，0）到其一条渐近线的距离等于，可得，解得b2，即有c，由题意可得1，解得p2，即有抛物线的方程为y24x，如图，过点M作MAl1于点A，作MB准线l2：x1于点C，连接MF，根据抛物线的定义得MA+MCMA+MF

8、，设M到l1的距离为d1，M到直线l2的距离为d2，d1+d2MA+MCMA+MF，根据平面几何知识，可得当M、A、F三点共线时，MA+MF有最小值F（1，0）到直线l1：4x3y+60的距离为MA+MF的最小值是2，由此可得所求距离和的最小值为2故选：B7（春丰台区期末）已知点P是椭圆上一点，M，N分别是圆（x6）2+y21和圆（x+6）2+y24上的点，那么|PM|+|PN|的最小值为（）A15B16C17D18【分析】由题意画出图形，数形结合以及椭圆的定义转化求解即可【解答】解：如图，椭圆的a10，b8，所以c6，圆（x6）2+y21和圆（x+6）2+y24的圆心为椭圆的两个焦点，则当M

9、，N为如图所示位置时，|PM|+|PN|的最小值为2a（2+1）17故选：C8（南岗区校级四模）已知椭圆T：的焦点F（2，0），过点M（0，1）引两条互相垂直的两直线l1、l2，若P为椭圆上任一点，记点P到l1、l2的距离分别为d1、d2，则d12+d22的最大值为（）A2BCD【分析】由已知求解a2，可得椭圆方程，设P（x0，y0），由l1l2，得，再由P在椭圆上，转化为关于y0的二次函数求解【解答】解：由题意知：a21+45，椭圆T：设P（x0，y0），l1l2，且M（0，1），又，1y01，当时，d12+d22的最大值为，故选：D9（春黄山期末）已知平面内与两定点距离的比为常数k（k0，

10、且k1）的点的轨迹是圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆现有椭圆，A，B为长轴端点，C，D为短轴端点，动点M满足，MAB面积的最大值为8，MCD面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（）ABCD【分析】由题意可得点M的轨迹方程，由MAB面积的最大值为8，MCD面积的最小值为1可得a，b的值，进而求出椭圆的离心率【解答】解：由椭圆的方程可得A（a，0），B（a，0），C（0，b），D（0，b），设M（x，y），则点M满足，所以可得2，整理可得x2+y2ax+a20，圆心坐标为（a，0），半径ra，因为MAB面积的最大值为8，MCD面积的最小值为1，所以解得：a26，b2，所以椭圆的离心率e，故选：D10（襄州

11、区校级四模）已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点（异于左、右顶点），若存在以为半径的圆内切于PF1F2，则椭圆的离心率的取值范围是（）ABCD【分析】利用已知条件列出三角形的面积，推出不等式，然后推出椭圆的离心率的范围【解答】解：F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点（异于左、右顶点），若存在以为半径的圆内切于PF1F2，可得：，（a+c）22b2，则0a22ac3c2，（a+c）（a3c）0，a3c，故选：D11（运城模拟）如图，已知F1、F2分别是椭圆C：的左、右焦点，过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点N，线段F1N的中点为M，线段F1N的垂直平分线MP与l

12、2的交点P（第一象限）在椭圆上，若O为坐标原点，则的取值范围为（）ABCD（0，1）【分析】结合图形说明|F1M|MN|设点P（x0，y0）（x00，y00）由两点间的距离公式，以及焦半径公式转化求解的表达式，然后求解取值范围【解答】解：如图所示，点P在y轴右边，因为PM为F1N的垂直平分线，所以|F1M|MN|由中位线定理可得设点P（x0，y0）（x00，y00）由两点间的距离公式，得，同理可得|PF2|aex0，所以|F2N|PF1|PF2|2ex0，故|OM|ex0，因为a8，所以，故，所以因为x0（0，8），所以故的取值范围为（0，1）故选：D12（汉阳区校级模拟）已知A，B是圆C：x

13、2+y28x2y+160上两点，点P在抛物线x22y上，当APB取得最大值时，则：（1）点P的坐标为 ；（2）|AB| 【分析】（1）根据圆的方程及两点之间的距离公式，表示出|PC|，求导，根据函数的单调性即可求得|PC|的最小值，即可求得当APB取得最大值时，P点坐标；（2）根据圆的性质，即可求得|AB|【解答】解：（1）圆C：x2+y28x2y+160的圆心（4，1），半径为1，要使APB最大，只需要APC最大，由，|AC|1，只需要|PC|最小，设抛物线上的点P（m，n），则m22n，|PC|，令g（m），可得g（m）m38，令g（m）m380，解得m2，当m2，g（m）0，g（x）单调

14、递减，当m2，g（m）0，g（m）单调递增，所以g（m）的最小值为：g（2）416+175由复合函数的单调性可知，|PC|，当且仅当m2，n2时取等号，所以P（2，2）；（2）由（1）可知，P（2，2），所以切线长为：|PA|2，如图：|PC|AB|PA|AC|，|AB|21|AB|故答案为：（1）（2，2）；（2）13（春湖南期末）已知双曲线C：1与双曲线D：x21的离心率分别为e1，e2，则e1+e2的最大值为 【分析】求出双曲线的离心率然后求解和，转化求解最大值即可【解答】解：双曲线C：1的离心率分别为e1，双曲线D：x21的离心率分e2，0m4，所以e1+e2，所以当m2时，e1+e2

15、取得最大值：2故答案为：214（春安徽期末）已知点P（5，0），若双曲线的右支上存在两动点M，N，使得，则的最小值为 【分析】画出图形，利用向量的数量积的几何意义，转化为双曲线上的点到P距离的平方，然后求解最小值即可【解答】解：由题意，则，的最小值，就是双曲线上的点M到P距离的平方的最小值，设M（m，n），则：，（m5）2+n2（m5）2+3m234m210m+22，当m时，表达式取得最小值：故答案为：15（湖北模拟）已知点A（4，4）和抛物线y24x上两点B、C，使得ABBC，则点C的纵坐标的取值范围为 【分析】设，由kABkBC1得（y1+4）（y1+y2）16，化简为关于y1的一元二次方

16、程，该方程有解，进而可得0，解不等式即得解【解答】解：设，则，同理由kABkBC1得（y1+4）（y1+y2）16，整理得：且y14，解得y24或y212，检验，当y24时，y10，；当y212时，y18；均满足条件故点C纵坐标的取值范围为（，412，+）故答案为：（，412，+）16（春达州期末）过双曲线C：1（0b2）的一个焦点和C两支都相交的直线l与椭圆+1相交于点A，B若C的离心率为，则|AB|的取值范围是 【分析】由双曲线的离心率求得b，得到椭圆方程，画出图形，即可求得|AB|的最大值；设出直线l的方程，与椭圆方程联立，由判别式大于0求得k的范围，可知直线与双曲线两支相交时k的范围，

17、求出斜率与双曲线渐近线斜率相等时的|AB|，则答案可求【解答】解：双曲线C：1的实半轴长为2，虚半轴长为b（0b2），由C的离心率为，得，即b1椭圆方程为，如图：不妨取双曲线的左焦点F1 （，0），由图可知，直线l截椭圆所得弦长的最大值为4；设过F1 的直线方程为yk（x+），联立，可得由164k20，解得2k2可知当k2时，直线与椭圆相切要使直线与双曲线C两支都相交，则k（，）而当k时，化为设A（x1，y1），B（x2，y2），则，|AB|AB|的取值范围是2，4故答案为：2，417（榆林四模）已知点F为抛物线C：y22px（p0）的焦点，定点A（1，2）和动点P都在抛物线C上，点B（2，0

18、），则的最大值为 【分析】根据抛物线的定义先求出p的值，再根据抛物线的性质，结合基本不等式即可求出【解答】解：定点A（1，2）和动点P都在抛物线C上，p2，抛物线C：y24x，设P（x，y），当x0时，0，当x0时，当且仅当x2时取等号，故答案为：18（春内江期末）已知抛物线x24y的焦点为F，双曲线C：1（a0，b0）的右焦点为F1，过点F和F1的直线l与抛物线在第一象限的交点为M，且抛物线在点M处的切线与直线yx垂直，当a+b取最大值时，双曲线C的方程为 【分析】先求出过点F，F1的直线方程，再根据导数的几何意义和抛物线在点M处的切线与直线yx垂直，求出c的值，再根据三角代换求解最大值，然

19、后求出双曲线方程【解答】解：抛物线x24y的焦点为F为（0，1），双曲线C：1的右焦点为F1（c，0），过点F，F1的直线为yx+1，即yx+1，抛物线在点M处的切线与直线yx垂直，抛物线在点M处的切线的斜率为，yx2，yx，设点M的坐标为（x0，y0），x0，解得x0，y0 x02，M（，），+1，解得c，a2+b2c23，令acos，bsin，a+bcos+3sin2sin（+）2当且仅当a，b时取等号，此时双曲线方程为：故答案为：19（春南通期末）已知椭圆的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，左右焦点分别是F1，F2，且F1AB的面积为，则椭圆的方程为；若点P为椭圆上的任意一点，则的取值

20、范围是 【分析】根据已知条件短轴长为2，F1AB的面积为，可以求出a，b，c的值，则椭圆方程可求；再利用椭圆的性质化简并代入，即可求解的取值范围【解答】解：由已知可得2b2，即b1，F1AB的面积为，（ac）b，得ac；a2c2b21；a2，c可得椭圆方程为；令|PF1|m，则，m，1m2+4m4；14故答案为：；1，420（济宁模拟）设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|2c，过F2作x轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点为A，点Q坐标为且满足|F2Q|F2A|，若在双曲线C的右支上存在点P使得|PF1|+|PQ|F1F2|成立，则双曲线的离心率的取值范围是 【分析】设F1（c，0

21、），F2（c，0），由xc，解得A的坐标，再由|F2Q|F2A|，结合离心率公式可得e，由双曲线的定义和三点共线的性质可得2a+|F2Q|F1F2|，结合离心率公式可得e的范围【解答】解：双曲线的左、右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0），由xc，yb，可得A（c，），由点Q坐标为且满足|F2Q|F2A|，可得，即3a22b22c22a2，即c2a2，则e，又|PF1|PF2|2a，则|PF1|+|PQ|2a+|PF2|+|PQ|2a+|F2Q|2a+，当且仅当Q，P，F2三点共线时，上式取得等号由题意可得2c，即ca，可得e，综上可得e，故答案为：（，）21（春山西期中）设点M和N分别是

22、椭圆C：1（a0）上不同的两点，线段MN最长为4（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线MN过点Q（0，2），且0，线段MN的中点为P，求直线OP的斜率的取值范围【分析】（1）当线段MN为长轴时，其长度最长，所以42a，a2，于是可得椭圆C的标准方程；（2）直线MN的斜率存在且不为0，设其方程为ykx+2，将其与椭圆的方程联立可得（1+4k2）x2+16kx+120，由0解得，写出韦达定理，并求得y1y2，因为，所以x1x2+y1y20，又解得k24，故然后设直线OP的斜率为k，利用点差法可得，由即可求出直线OP斜率的取值范围【解答】解：（1）因为线段MN最长为4，所以42a，即a2，所以椭圆C

23、的标准方程为（2）由题意知，直线MN的斜率存在且不为0，设其方程为ykx+2，联立，整理得（1+4k2）x2+16kx+120，由（16k）24（1+4k2）1216（4k23）0，可得设M（x1，y1），N（x2，y2），则，所以y1y2（kx1+2）（kx2+2）因为，所以，即k24，故设直线OP的斜率为k，因为，两式相减得，所以，则，故直线OP的斜率的取值范围是22（平阳县模拟）已知抛物线的准线与半椭圆相交于A，B两点，且（）求抛物线C1的方程；（）若点P是半椭圆C2上一动点，过点P作抛物线C1的两条切线，切点分别为C，D，求PCD面积的取值范围【分析】（1）利用抛物线的直线方程与椭圆方

24、程联立，结合求解p，得到抛物线方程（2）设点P坐标为（x0，y0），满足设切线PC为（xx0）m1（yy0），代入得y24m1y+4m1y04x00，通过0得到方程，设切点C（x1，y1），y12m1，得到设切线PD为（xx0）m2（yy0），切点D（x2，y2），可得转化求解CD直线方程为4x2y0y+4x00利用三角形的面积求解即可【解答】解：（1）抛物线的准线：x，由抛物线的准线与半椭圆相交于A，B两点，且可得得p2，所以（2）设点P坐标为（x0，y0），满足由题意可知切线斜率不会为0，设切线PC为（xx0）m1（yy0），代入得y24m1y+4m1y04x00，由0可得，设切点C（x1

25、，y1），所以y12m1，代入可得设切线PD为（xx0）m2（yy0），切点D（x2，y2），同理可得由可知y1，y2是方程y22y0y+4x00的两根，所以y1+y22y0，y1y24x0，又，所以代入可知C（x1，y1），D（x2，y2）是4x2y0y+4x00的两根，即CD直线方程为4x2y0y+4x00，SPCD，又因为且x02，0，23（濮阳一模）已知O为坐标原点，抛物线C：x22py（p0）的焦点坐标为，点A，B在该抛物线上且位于y轴的两侧，（）证明：直线AB过定点（0，3）；（）以A，B为切点作C的切线，设两切线的交点为P，点Q为圆（x1）2+y21上任意一点，求|PQ|的最小值

26、【分析】（）由已知求得p，可得抛物线C：x22y设直线AB的方程为ykx+b（b0），联立直线方程与抛物线方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系及数量积公式列式求解b，可得直线AB过定点（0，3）；（）利用导数求得函数在A，B处的切线方程，联立解得交点纵坐标，可得两切线交点P的轨迹方程为y3然后结合圆心到直线的距离求解【解答】（）证明：根据题意，p1故抛物线C：x22y由题意设直线AB的方程为ykx+b（b0）由，消去y整理得x22kx2b0显然4k2+8b0设A（x1，y1），B（x2，y2）（x10，x20），则x1x22b，由题意得b22b3，解得b3或b1（舍去）直线AB的

27、方程为ykx+3，故直线AB过定点（0，3）（）解：yx，故以A为切点的切线方程为yy1x1（xx1），即yx1xy1，以B为切点的切线方程为yy2x2（xx2），即yx2xy2，联立，解得又x1x26，两切线交点P的轨迹方程为y3圆心到直线y3的距离为3，圆上一点到直线y3的最小距离为312，故|PQ|的最小值为224（广州二模）已知点A，B的坐标分别是（，0），（，0），动点M（x，y）满足直线AM和BM的斜率之积为3，记M的轨迹为曲线E（1）求曲线E的方程；（2）直线ykx+m与曲线E相交于P，Q两点，若曲线E上存在点R，使得四边形OPRQ为平行四边形（其中O为坐标原点），求m的取值范围

28、【分析】（1）根据题意得kAMkBM3，（y0），化简可得曲线E的方程（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线与曲线E的方程，得关于x的一元二次方程，结合韦达定理得x1+x2，y1+y2，0，根据题意得PQ的中点也是OR的中点，得R点的坐标，再代入曲线E的方程，得2m2k2+3，将代入得m的取值范围【解答】解：（1）kAMkBM3，（y0）化简得曲线E的方程：（y0）（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2）联立，得（3+k2）x2+2kmx+m260，x1+x2，y1+y2k（x1+x2）+2m，（2km）24（3+k2）（m26）12m2+24k2+720，即m2+2k2+60

29、，若四边形OPRQ为平行四边形，则PQ的中点也是OR的中点，所以R点的坐标为（，），又点R在曲线E上得，化简得2m2k2+3将代入得，m20，所以m0，由得2m23，所以m或m，当直线PQ经过（，0）时，mk，代入得m，不符合题意所以m的取值范围为（，）（，）（，+）25（沙坪坝区校级模拟）如图，O为坐标原点，过点P（0，3）作圆O的两条切线分别交椭圆于点A、B和点D、C（1）若圆O和椭圆C有4个公共点，求直线AB和CD的斜率之积的取值范围；（2）四边形ABCD的对角线是否交于一个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由【分析】（1）若圆O和椭圆C有4个交点，推出r2（3，4），设过点

30、P的切线方程为ykx+3，然后求出k的范围，直线ykx+3和椭圆有两个交点，转化求解直线AB和CD的斜率之积的取值范围；（2）设AC方程，代入椭圆方程，化简，设A（x1，y1），C（x2，y2），由题设条件易知kPA+kPC0，推出对一切k成立，得到四边形ABCD的对角线交于定点（0，1）【解答】解：（1）若圆O和椭圆C有4个交点，则r2（3，4），设过点P的切线方程为ykx+3，则又因为直线ykx+3和椭圆有两个交点，由ykx+t，代入椭圆，消去y（3+4k2）x2+24kx+240，由可得：，所以（2）设AC：ykx+t，椭圆，代入消去y（3+4k2）x2+8ktx+4t2120，设A（x

31、1，y1），C（x2，y2），由题设条件易知kPA+kPC0，所以即对一切k成立，所以t1，即直线AC过定点（0，1），同理可得直线BD也过定点（0，1），所以，四边形ABCD的对角线交于定点（0，1）26（兴宁区校级模拟）已知A，B是x轴正半轴上两点（A在B的左侧），且|AB|a（a0），过A，B作x轴的垂线，与抛物线y22px（p0）在第一象限分别交于D，C两点（）若ap，点A与抛物线y22px的焦点重合，求直线CD的斜率；（）若O为坐标原点，记OCD的面积为S1，梯形ABCD的面积为S2，求的取值范围【分析】（）求得抛物线的焦点坐标A，可得B的坐标，代入抛物线方程可得C，D的坐标，应用直

32、线的斜率公式可得所求值；（）可设CD：ykx+b（k0），C（x1，y1），D（x2，y2），且x2x1a，联立抛物线方程消去x，可得y的二次方程，应用韦达定理和判别式大于0，可得0kbp，再由点到直线的距离公式可得O到CD的距离，应用三角形的面积和梯形的面积公式可得S1S2，即可点到所求范围【解答】解：（）由题意可得A（，0），B（a+，0），则C（a+，），D（，p），又ap，可得C（p，p），则直线CD的斜率为1；（）可设CD：ykx+b（k0），C（x1，y1），D（x2，y2），且x2x1a，由消去x，可得ky22py+2pb0，4p28pkb0，即kbp，又y1+y20，y1y20

33、，可得k0，b0，则|CD|x1x2|a，O到CD的距离为，则S1d|CD|aab，S2|y1+y2|x2x1|a，则，0kbp，027（包河区校级模拟）已知圆O：x2+y22，点P为椭圆C：+1上一点，A，B分别是椭圆C的左右顶点（1）若过P点的直线与圆O切于点Q（Q位于第一象限），求使得OPQ面积最大值时的直线PQ的方程；（2）若直线AP，BP与y轴的交点分别为E，F，以EF为直径的圆与圆O交于点M，求证：直线PM平行于x轴【分析】（1）设P（m，n），求得圆O的半径，运用三角形的面积公式和二次函数的最值求法、直线和圆相切的条件，可得直线PQ的方程；（2）运用三点共线的条件：斜率相等，求得

34、E、F的纵坐标，可得EF为直径的圆与圆O的方程相减可得交线的方程，化简整理，即可得证【解答】解：（1）设P（m，n），可得m2+2n24，圆O：x2+y22的半径为r，可得OPQ面积S，则n0，m2时，OPQ面积取得最大值1，此时P（2，0），设PQ：yk（x2），由，解得k1（1舍去），则PQ的方程为y（x2），即x+y20：（2）由题意可得A（2，0），设P（m，n），可得m2+2n24，又A，P，E三点共线可得，即yE；同理由B，P，F共线可得yF，以EF为直径的圆的方程为x2+（y）2，与圆O：x2+y22联立，可得2+，结合m242n2，可得其交线方程为yn，即有M的纵坐标与P的纵坐

35、标相等，故直线PM平行于x轴B组强基必备1（金凤区校级二模）已知椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，A，B分别为椭圆的左、右顶点，且|AB|4（1）求椭圆C的方程；（2）已知过左顶点A的直线l与椭圆C另交于点D，与y轴交于点E，在平面内是否存在一定点P，使得恒成立？若存在，求出该点的坐标，并求ADP面积的最大值；若不存在，说明理由【分析】（1）求得双曲线的离心率，由题意可得椭圆的离心率，结合顶点的概念和a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程；（2）直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为yk（x+2），联立椭圆方程，运用韦达定理，可得D的坐标，由A（2，0），B（2，0），设P（m，n

36、），在平面内假设存在一定点P，使得恒成立，运用向量数量积的坐标表示，化简整理，结合恒等式的性质，可得m，n，可得P的坐标，再由三角形的面积公式，结合基本不等式，可得所求三角形的面积的最大值【解答】解：（1）双曲线的离心率为2，由题意可得椭圆的离心率为e，|AB|4，即2a4，即a2，b，椭圆的方程为+1；（2）过左顶点A的直线l的斜率显然存在，设为k，方程设为yk（x+2），可得E（0，2k），且A（2，0），B（2，0），设P（m，n），由可得（3+4k2）x2+16k2x+16k2120，则2xD，即xD，即有D（，），在平面内假设存在一定点P，使得恒成立可得（m，2kn）（2，）（m）（）+（2kn）0，由于上式恒成立，可得k（4m+6）3n0，即有4m+60，且3n0，可得m，n0，则存在P（，0），使得恒成立此时SADP|AP|yD|，当k0时，SADP0；当k0时，SADP，当且仅当|k|2，即k时，取得等号综上可得，SADP的最大值为2（天河区二模）已知椭圆C1：+1（ab0