第二章控制系统的数学模型-青岛科技大学-自动化与电子工

1、第二章 控制系统的数学模型4 数学模型的实验测定法1 控制系统的时域数学模型2 控制系统的复域数学模型3 控制系统的结构图和信号流图控制系统统的数学学模型控制系统统的时域域数学模模型微分方程程是描述述自动控控制系统统时域动动态特性性的最基基本模型型，微分分方程又又称之为为控制系系统时域域内的运运动方程程。例:图示示是由R、电感感L和电电容C组组成的无无源网络络，写出出以为为输输入量，以为为输出量量的网络络微分方方程。1线线性元元件的微微分方程程图2.1RLC无源网络络控制系统统的数学学模型控制系统统的时域域数学模模型解：消去中间间变量得得到微微分方程程：控制系统统的数学学模型控制系统统的时域域

2、数学模模型例求弹簧-阻尼-质量的机机械位移移系统的的微分方方程。输输入量为为外力F，输出量为为位移x。mfmFF图2图1解：图1和图2分别为系系统原理理结构图图和质量量块受力力分析图图。图中中，m为质量，f为粘性阻阻尼系数数，k为弹性系系数。根据牛顿定理，可列出质量块的力平衡方程如下：这也是一个两阶定常微分方程。X为输出量，F为输入量。控制系统统的数学学模型控制系统统的时域域数学模模型编写系统统微分方方程的步步骤：1.确定定系统的的输入量量和输出出量；2.将系系统分解解为各环环节，依依次确定定各环节节的输入入量和输输出量量,根根据各环环节的物物理规律律写出各各环节的的微分方方程；3.消去去中间

3、变变量，求求出系统统的微分分方程。控制系统统的数学学模型控制系统统的时域域数学模模型2控制系统统微分方方程的建建立负载-+- + 功率 放大器测速发电机例：编写写下图所所示的速速度控制制系统的的微分方方程。解：该系统的组成和原理； 该系统的输出量是 ，输入量是 ，扰动量是测速-运放运放功放电动机速度控制制系统方方块图：各环节微分方程：运放： ， 运放： 功率放大： ，反馈环节：电动机环节：消去中间变量：推出 之间的关系：显然，转速 既与输入量 有关，也与干扰 有关。控制系统统的数学学模型控制系统统的时域域数学模模型3、线性系系统的基基本特性性线性系统统的重要要性质是是可以应应用叠加加原理。叠加

4、原原理有两两重含义义。叠加性均匀性控制系统统的数学学模型控制系统统的时域域数学模模型4、线性方方程的求求解研究控制制系统在在一定的的输入作作用下，输出量量的变化化情况。方法有有经典法，拉氏变变换法。在自动动系统理理论中主主要使用用拉氏变变换法。拉氏变换换求微分分方程解解的步骤骤：对微分方方程两端端进行拉拉氏变换换，将时时域方程程转换为为s域的代数数方程。求拉氏反反变换，求得输输出函数数的时域域解。控制系统统的数学学模型控制系统统的时域域数学模模型5非线性微微分方程程的线性性化在经典控控制领域域，主要要研究的的是线性定常常控制系系统。如果描描述系统统的数学学模型是是线性常常系数的的微分方方程，则

5、则称该系系统为线线性定常常系统，其最重重要的特特性便是是可以应应用线性性叠加原原理，即即系统的的总输出出可以由由若干个个输入引引起的输输出叠加加得到。若描述系系统的数数学模型型是非线线性（微微分）方方程，则则相应的的系统称称为非线线性系统统，这种种系统不不能用线线性叠加加原理。在经典典控制领领域对非非线性环环节的处处理能力力是很小小的。但但在工程程应中，除了含含有强非非线性环环节或系系统参数数随时间间变化较较大的情情况，一一般采用用近似的的线性化化方法。对于非线线性方程程，可在在工作点点附近用用泰勒级级数展开开，取前前面的线线性项。可以得得到等效效的线性性环节。控制系统统的数学学模型控制系统统

6、的时域域数学模模型设具有连连续变化化的非线线性函数数为:y=f(x)，若取某一一平衡状状态为工工作点，如下图图中的。A点附近有点点为，当很很小时时，AB段可近似似看做线线性的。AByx0控制系统统的数学学模型控制系统统的时域域数学模模型设f(x)在 点连续可微，则将函数在该点展开为泰勒级数，得：若 很小，则 ，即 式中，K为与工作点有关的常数，显然，上式是线性方程，是非线性方程的线性表示。为了保证近似的精度，只能在工作点附近展开。 AByx0控制系统统的数学学模型控制系统统的复域域数学模模型传递函数数是经典典控制理理论中最最重要的的数学模模型之一一。利用用传递函函数，可可以：不必求解解微分方方

7、程就可可以研究究零初始始条件系系统在输输入作用用下的动动态过程程。了解系统统参数或或结构变变化时系系统动态态过程的的影响-分析可以对系系统性能能的要求求转化为为对传递递函数的的要求-综合控制系统统的数学学模型控制系统统的复域域数学模模型1、传递函函数的定定义和性性质定义：线性定定常系统统在零初初始条件件下输出出量的拉拉氏变换换与输出出量的拉拉氏变换换之比。式中：x(t)输入，y(t) 输出为常系数设系统或元件的微分方程为：将上式求求拉氏变变化，得得(令初始值值为零）控制系统统的数学学模型控制系统统的复域域数学模模型称为环节节的传递递函数性质1)传递函数数是系统统（或环环节）在在复数域域中的数数

8、学模型型，是固固有特性的的描述，反映了了线性定定常系统统输入量量和输出出量之间间的一种关关系式。2)传递函数数只取决决于系统统本身的的结构参参数，与与外界输输入无关关控制系统统的数学学模型控制系统统的复域域数学模模型3)传递函数数是复变变量s的有理真真分式函函数，即即mn。（m、n分别别为分子子、分母母的最高高阶次次。）4)若输入为为单位脉脉冲函数数，即r(t)=(t)，则R(s)=Lr(t)=1， 则这说明此此时系统统的g(t)与传递函函数G(s)有单值对对应关系系，它们们都可以以用来表表征系统统的动态态特性。5)闭环系统统传递函函数G(s)的分母并并令其为为0，就是系系统的特特征方程程。控

9、制系统统的数学学模型控制系统统的结构构图与信信号流图图1.系统结构构图的组组成和绘绘制图模型的的一个突突出优点点是直观观、形象象，是工工程上用用来分析析复杂系系统的重重要手段段。方块块图组成成的四个个基本单单元：（a）信号线线；（b）分支点点(又叫测量量点)；（c）比较点点(又叫求和和点)；（d）方块（又叫环环节）；系统的方方块图实实质上是是将原理理图与数数学方程程两者结结合起来来，它一一种对系系统的全全面描写写。例利用结构构图等效效变换讨讨论两级级RC串联电路路的传递递函数。解：不能把把左图简简单地看看成两个个RC电路的串串联,有负载效效应。根根据电路路定理，有以下下式子：-控制系统统的数学

10、学模型控制系统统的结构构图与信信号流图图-总的结构构图如下下：控制系统统的数学学模型控制系统统的结构构图与信信号流图图2、结构图图的等效效变换：环节的合合并；-串联-并联-反馈连接接信号分分支点或或相加点点的移动动。原则：变换前后后环节的的数学关关系保持持不变。控制系统统的数学学模型控制系统统的结构构图与信信号流图图1、串联运运算法则则因为结论：多多个环节节串联后后总的传传递函数数等于每每个环节传递函函数的乘乘积。G(s) =G1(s)G2(s)Gn(s)控制系统统的数学学模型控制系统统的结构构图与信信号流图图2、并联运运算法则则因为所以结论：多个环节节并联后后的传递递函数等等于所有有并联环节

11、传递递函数之之和。G(s) =G1(s)+G2(s)+Gn(s)控制系统统的数学学模型控制系统统的结构构图与信信号流图图3、反馈运运算法则则前向通道道和反馈馈通道传传递函数数分别为为G(s)、H(s) 结论：具具有有负反馈馈结构环环节传递递函数等等于前向向通的传递函函数除以以1加（若正正反馈为为减）前前向通道道与反馈通道传传递函数数的乘积积。控制系统统的数学学模型控制系统统的结构构图与信信号流图图控制系统统的数学学模型控制系统统的结构构图与信信号流图图控制系统统的数学学模型控制系统统的结构构图与信信号流图图例系统结构构图如下下，求传传递函数数。-+相加点移移动控制系统统的数学学模型控制系统统的

12、结构构图与信信号流图图解：结构图图等效变变换如下下：-+控制系统统的数学学模型控制系统统的结构构图与信信号流图图-+控制系统统的数学学模型控制系统统的结构构图与信信号流图图4、闭环系系统的传传递函数数：闭环控制制系统（也称反反馈控制制系统）的典型型结构图图如下图图所示：-+ 图中， ， 为输入、输出信号， 为系统的偏差， 为系统的扰动量，这是不希望的输入量。 控制系统统的数学学模型控制系统统的结构构图与信信号流图图（一）给定输入作用下的闭环系统：令 ，则有：-输出量为为：上式中， 称为前向通道传递函数，前向通道指从输入端到输出端沿信号传送方向的通道。前向通道和反馈通道的乘积称为开环传递函数 。含义是主反馈通道断开时从输入信号到反馈信号 之间的传递函数。控制系统统的数学学模型控制系统统的结构构图与信信号流图图系统偏差差传递函函数：-控制系统统的数学学模型控制系统统的结构构图与信信号流图图（二）扰动动作用下下的闭环环系统：此时R(s)=0,结构图如如下：输出对扰扰动的传传递函数数为：-+一般要求由