第21讲 函数中三角形存在问题-2022中考数学巅峰冲刺（解析版）

1、PAGE132022年中考数学总复习巅峰冲刺专题21函数中三角形存在问题【难点突破】着眼思路，方法点拨,疑难突破；三角形的存在性问题是一类考查是否存在点，使其能构成某种特殊三角形的问题，如：直角三角形、等腰三角形、全等三角形及相似三角形的存在性常结合动点、函数与几何，考查分类讨论、画图及建等式计算主要思路为：由判定定理确定三角形所满足的特殊关系；分类讨论，画图；建等式，对结果验证取舍对于目标三角形不确定、点的位置难以寻找等存在性问题的思考方向为：从角度入手，通过角的对应关系尝试画出一种情形解决第一种情形能根据几何特征表达线段长的，借助对应边成比例、或线段长转坐标代入函数表达式求解；不能直接表达

2、线段长的，观察点的位置，考虑联立函数表达式求解分类讨论，类比解决其他情形分类时，先考虑点的位置，再考虑对应关系，用同样方法解决问题解题策略可以从以下几方面进行分析：直角三角形关键是用好直角，可考虑：勾股定理逆定理、弦图模型、直线值乘积为1；等腰三角形可考虑直接表达线段长，利用两腰相等建等式，或借助三线合一找相似建等式；全等三角形或相似三角形关键是研究目标三角形的边角关系，进而表达线段长，借助函数或几何特征建等式分类不仅要考虑图形存在性的分类，也要考虑点运动的分类解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后

3、按照三角比或勾股定理列方程有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到怎样画直角三角形的示意图呢如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题；【原创1】如图所示，抛物线y=a2bc与坐标轴分别相交于点A、B、C，其坐标分别为A（3，0

4、），B（0，3），C（-1，0），直线y=d经过A、B两点，点D为抛物线的顶点（1）求此抛物线的解析式;（2）在轴上是否存在点N使ADN为直角三角形若存在，确定点N的坐标；若不存在，请说明理由（3）是否存在点2a3a2a4a，m，则mm22m3，解得meqf1r13,2eqblcrcavs4alco1mf1r13,20，舍去，点分三种情况讨论直角三角形ABQ：如图4-2，当AQB90时，BOQQHA，所以解得m1或m3所以Q0,1或0,3如图4-3，当BAQ90时，QHAAGB，所以解得此时如图4-4，当ABQ90时，AGBBMQ，所以解得此时图4-2图4-3图4-41，4，与y轴的交点为D0

5、，3，抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c21求c2的解析式；2若c2与轴正半轴交点记作B，试在轴上求点02m2，BM2（5）2m42m28m当AM为该直角三角形的斜边时，有AM2AB2BM2，即m280m28m，解得m9，故此时点M的坐标为（，9）当BM为该直角三角形的斜边时，有BM2AB2AM2，即m28m80m2，解得m11，故此时点M的坐标为（，11）综上所述，点M的坐标为（，9）或（，11）5如图，抛物线ya2b6过点A6，0，B4，6，与y轴交于点C1求该抛物线的解析式；2如图1，直线l的解析式为y，抛物线的对称轴与线段BC交于点，3m18，则Hm，m4，18，22,3m18eqr

6、2，解得m103eqr2，此时点P的坐标为103eqr2，9eqr212综上所述，存在点P，使得以P，E，F为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标为0，4，103eqr2，9eqr212，4，6，106eqr2，66如图1，抛物线ya2b3交轴于点A（1，0）和点B（3，0）（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）如图2，该抛物线与y轴交于点C，顶点为F，点D（2，3）在该抛物线上求四边形ACFD的面积；点P是线段AB上的动点（点P不与点A、B重合），过点P作PQ轴交该抛物线于点Q，连接AQ、DQ，当AQD是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q的坐标【分析】（1）由A、B两点的坐标，利用待定

7、系数法即可求得抛物线解析式；（2）连接CD，则可知CD轴，由A、F的坐标可知F、A到CD的距离，利用三角形面积公式可求得ACD和FCD的面积，则可求得四边形ACFD的面积；由题意可知点A处不可能是直角，则有ADQ90或AQD90，当ADQ90时，可先求得直线AD解析式，则可求出直线DQ解析式，联立直线DQ和抛物线解析式则可求得Q点坐标；当AQD90时，设Q（t，t22t3），设直线AQ的解析式为y1b1，则可用t表示出，设直线DQ解析式为y2b2，同理可表示出2，由AQDQ则可得到关于t的方程，可求得t的值，即可求得Q点坐标【解答】解：（1）由题意可得，解得，抛物线解析式为y223；（2）y2

8、23（1）24，F（1，4），C（0，3），D（2，3），CD2，且CD轴，A（1，0），S四边形ACFDSACDSFCD232（43）4；点P在线段AB上，DAQ不可能为直角，当AQD为直角三角形时，有ADQ90或AQD90，i当ADQ90时，则DQAD，A（1，0），D（2，3），直线AD解析式为y1，可设直线DQ解析式为yb，把D（2，3）代入可求得b5，直线DQ解析式为y5，联立直线DQ和抛物线解析式可得，解得或，Q（1，4）；ii当AQD90时，设Q（t，t22t3），设直线AQ的解析式为y1b1，把A、Q坐标代入可得，解得1（t3），设直线DQ解析式为y2b2，同理可求得2t，AQ

9、DQ，121，即t（t3）1，解得t，当t时，t22t3，当t时，t22t3，Q点坐标为（，）或（，）；综上可知Q点坐标为（1，4）或（，）或（，）7如图，在平面直角坐标系中，直线y44与抛物线y2交于A、B两点（1）直线总经过定点，请直接写出该定点的坐标；（2）点P在抛物线上，当时，解决下列问题：在直线AB下方的抛物线上求点P，使得PAB的面积等于20；连接OA，OB，OP，作PC轴于点C，若POC和ABO相似，请直接写出点P的坐标【分析】（1）变形为不定方程（4）y4，然后根据为任意不为0的实数得到40，y40，然后求出、y即可得到定点的坐标；（2）通过解方程组得A（6，3）、B（4，8）

10、；如图1，作PQy轴，交AB于点Q，设P（，2），则Q（，6），则PQ（6）（2），利用三角形面积公式得到SPAB（1）220，然后解方程求出即可得到点P的坐标；设P（，2），如图2，利用勾股定理的逆定理证明AOB90，根据三角形相似的判定，由于AOBPCO，则当时，CPOOAB，即；当时，CPOOBA，即，然后分别解关于的绝对值方程即可得到对应的点P的坐标【解答】解：（1）y44（4）4，即（4）y4，而为任意不为0的实数，40，y40，解得4，y4，直线过定点（4，4）；（2）当时，直线解析式为y6，解方程组得或，则A（6，3）、B（4，8）；如图1，作PQy轴，交AB于点Q，设P（，2），则Q（，6），PQ（6）（2）（1）2，SPAB（64）PQ（1）220，解得12，24，点P的坐标为（4，0）或（2，3）；设P（，2），如图2，由题意得：AO3，BO4，AB5，AB2AO2BO2，AOB90，AOBPCO，当时，CPOOAB，即，整理得4|2|3|，解方程4（