人教A版高中数学必修5同步数列4课件

1、2.3等差数列的前n项和第1课时等差数列的前n项和2.3等差数列的前n项和人教A版高中数学必修5同步数列4课件1.数列的前n项和(1)定义:对于数列an,一般地,我们称a1+a2+a3+an为数列an的前n项和.(2)表示:常用符号Sn表示,即Sn=a1+a2+a3+an.1.数列的前n项和【思考】由Sn=a1+a2+an想一想,a1,an,Sn,Sn-1之间是什么关系?提示:S1=a1,当n2时,an=Sn-Sn-1.【思考】2.等差数列前n项和公式2.等差数列前n项和公式【思考】对于公式二,若将Sn看成关于n的函数,试判断此函数是什么函数?其解析式具有什么特点?人教A版高中数学必修5同步数

2、列4人教A版高中数学必修5同步数列4【思考】人教A版高中数学必修5同步数列4人教A版高中数学必修提示:公式二可变形为Sn= 当d0时可以看作不含常数项的关于n的一元二次式,反之,若一个数列的前n项和是不含常数项的一元二次式,则此数列是等差数列.人教A版高中数学必修5同步数列4人教A版高中数学必修5同步数列4提示:公式二可变形为Sn= 当d0【素养小测】1.思维辨析(对的打“”,错的打“”)(1)对于an=Sn-Sn-1成立的条件是nN*.()(2)等差数列前n项和公式的推导方法我们称为“倒序相加法”.()人教A版高中数学必修5同步数列4人教A版高中数学必修5同步数列4【素养小测】人教A版高中数

3、学必修5同步数列4人教A版高中数学(3)若数列an的前n项和为Sn,则a3+a4+a5=S5-S2. ()(4)1+3+5+7+9= .() 人教A版高中数学必修5同步数列4人教A版高中数学必修5同步数列4(3)若数列an的前n项和为Sn,则a3+a4+a5=S提示:(1).n1且nN*.(2).等差数列具有a1+an=a2+an-1=a3+an-2=特征,可用倒序相加法.(3).由数列的前n项和的定义可知此说法正确.(4).1+3+5+7+9= 人教A版高中数学必修5同步数列4人教A版高中数学必修5同步数列4提示:(1).n1且nN*.人教A版高中数学必修5同步2.在数列an中,Sn=2n2

4、-3n(nN+),则a4等于()A.11 B.15 C.17 D.20【解析】选A.a4=S4-S3=242-34-(232-33)=11.人教A版高中数学必修5同步数列4人教A版高中数学必修5同步数列42.在数列an中,Sn=2n2-3n(nN+),则a43.设an是等差数列,若a2=3,a7=13,则数列an的前8项和为()A.128 B.80 C.64 D.56人教A版高中数学必修5同步数列4人教A版高中数学必修5同步数列43.设an是等差数列,若a2=3,a7=13,则数列a【解析】选C.设数列an的前n项和为Sn,则S8=人教A版高中数学必修5同步数列4人教A版高中数学必修5同步数列

5、4【解析】选C.设数列an的前n项和为Sn,则S8=人教A4.在等差数列an中,首项a1=3,公差d=2,则它的前n项和Sn=_.人教A版高中数学必修5同步数列4人教A版高中数学必修5同步数列44.在等差数列an中,首项a1=3,公差d=2,则它的前【解析】Sn=3n+ 2=n2+2n.答案:n2+2n【解析】Sn=3n+ 2=n2+2n.类型一有关等差数列前n项和的计算【典例】1.(2019贺州高一检测)设Sn是等差数列an的前n项和,若a1=-2 017,S6-2S3=18,则S2 019=()A.-2 017B.2 017C.2 018D.2 019类型一有关等差数列前n项和的计算2.在

6、等差数列an中:(1)已知a5+a10=58,a4+a9=50,求S10.(2)已知S7=42,Sn=510,an-3=45,求n.2.在等差数列an中:【思维引】1.根据等差数列前n项和公式,解方程,求出公差,即可得到相应的值.2.根据等差数列的通项公式和前n项和公式列方程组,解方程组,可得到相应的值.【思维引】1.根据等差数列前n项和公式,解方程,求出公差,【解析】1.选D.设等差数列an的公差为d,因为a1=-2 017,S6-2S3=18,所以6a1+ 化为:9d=18,解得d=2.则S2 019=2 019(-2 017)+ 2=2 019.【解析】1.选D.设等差数列an的公差为d

7、,2.(1)方法一:由已知条件得 所以S10=10a1+ 方法二:由已知条件得 所以a1+a10=42,所以S10= =542=210.2.(1)方法一:由已知条件得 (2)S7= =7a4=42,所以a4=6.所以Sn= 所以n=20. (2)S7= =7a4=42,所以a4=6.【内化悟】解与等差数列前n项和有关的问题时,常用到哪些公式?体现了什么数学思想方法的应用?提示:常用到等差数列的通项公式和前n项和公式,体现了方程思想的运用.【内化悟】【类题通】等差数列前n项和公式的运算方法与技巧类型“知三求二型”基本量a1,d,n,an,Sn方法运用等差数列的通项公式和前n项和公式建立方程(组)

8、,通过解方程(组)求出未知量思想方程的思想【类题通】类型“知三求二型”基本量a1,d,n,an,Sn类型“知三求二型”注意利用等差数列的性质简化计算;注意已知与未知条件的联系;有时运用整体代换的思想.类型“知三求二型”注意利用等差数列的性质简化计算;【习练破】1.(2019全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和.已知S4=0,a5=5,则()A.an=2n-5 B.an=3n-10C.Sn=2n2-8n D.Sn= n2-2n【习练破】【解析】选A.由题知, 解得 所以an=2n-5,故选A.【解析】选A.由题知, 2.已知等差数列an中,(1)a1= ,S4=20,求S6.(2)a1= ,d

9、=- ,Sn=-15,求n及an.(3)a1=1,an=-512,Sn=-1 022,求d.2.已知等差数列an中,【解析】(1)S4=4a1+ d=4a1+6d=2+6d=20,所以d=3.故S6=6a1+ d=6a1+15d=3+15d=48.【解析】(1)S4=4a1+ d=4a1+6d(2)因为Sn=n 整理得n2-7n-60=0,解得n=12或n=-5(舍去),所以a12= (2)因为Sn=n (3)由Sn= =-1 022,解得n=4.又由an=a1+(n-1)d,即-512=1+(4-1)d,解得d=-171.(3)由Sn= =-1 【加练固】1.将含有k项的等差数列插入4和67

10、之间,结果仍成一新的等差数列,并且新的等差数列所有项的和是781,则k的值为()A.20B.21C.22D.24【加练固】【解析】选A.由数列前n项和公式可得: 解得k=20.【解析】选A.由数列前n项和公式可得:2.已知等差数列an.(1)a1= ,a15=- ,Sn=-5,求d和n.(2)a1=4,S8=172,求a8和d.2.已知等差数列an.【解析】(1)因为a15= +(15-1)d=- ,所以d=- .又Sn=na1+ d=-5,解得n=15或n=-4(舍).(2)由已知,得S8= =172,解得a8=39,又因为a8=4+(8-1)d=39,所以d=5.【解析】(1)因为a15=

11、 +(15-1)d=- ,所以类型二等差数列前n项和的性质【典例】1.(2019诸暨高一检测)已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn,且 则使得 为整数的正整数n的个数是()A.2 B.3 C.4 D.5类型二等差数列前n项和的性质2.在项数为2n+1的等差数列an中,所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n等于()A.9 B.10 C.11 D.123.已知等差数列an的前n项和为Sn,且S10=100,S100=10,试求S110.世纪金榜导学号2.在项数为2n+1的等差数列an中,所有奇数项的和为1【思维引】1.用等差数列前n项和公式(含首项、末项、项数)和等差

12、数列的性质可用n表示 .2.综合利用等差数列的性质及其前n项和公式推出与n的关系.【思维引】1.用等差数列前n项和公式(含首项、末3.方法一:依据S10,S20-S10,S30-S20,S100-S90,S110-S100成等差数列解答;方法二:依据数列 是等差数列解答;方法三:直接分析S110,S100,S10之间的关系.3.方法一:依据S10,S20-S10,S30-S20,【解析】1.选D.由等差数列的性质可得:只有n=1,2,3,5,11时, 为整数,可得使 为整数的正整数n的个数是5.【解析】1.选D.由等差数列的性质可得:2.选B.因为等差数列有2n+1项,所以S奇= ,S偶= .

13、又a1+a2n+1 =a2+a2n,所以 所以n=10.2.选B.因为等差数列有2n+1项,3.方法一:因为S10,S20-S10,S30-S20,S100-S90,S110-S100成等差数列,设公差为d,前10项的和为:10100+ d=10,所以d=-22,所以前11项的和S110=11100+ d=11100+ (-22)=-110.3.方法一:因为S10,S20-S10,S30-S20,方法二:设等差数列an的公差为d,则 (n-1)+a1,所以数列 成等差数列.所以 所以S110=-110.方法二:设等差数列an的公差为d,方法三:设等差数列an的公差为d,S110=a1+a2+a

14、10+a11+a12+a110=(a1+a2+a10)+(a1+10d)+(a2+10d)+(a100+10d)=S10+S100+10010d,又S100-10S10= =10-10100,即100d=-22,所以S110=-110.方法三:设等差数列an的公差为d,【素养探】在关于等差数列前n项和的性质问题中,经常利用核心素养中的数学运算和逻辑推理,灵活应用等差数列前n项和的性质,或构造新的等差数列,达到简化运算的目的.将本例1的条件“ ”改为“ ”,应如何解答?【素养探】【解析】由等差数列的性质可得: 只有n=1,2,3,6,9,18时, 为整数,可得使 为整数的正整数n的个数是6.【解

15、析】由等差数列的性质可得:【类题通】等差数列前n项和的性质(1)等差数列an中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也构成等差数列.(2)若an与bn均为等差数列,且前n项和分别为Sn与Sn,则 【类题通】(3)若等差数列an的前n项和为Sn,则数列 是等差数列,且首项为a1,公差为 .(4)项的个数的“奇偶”性质.an为等差数列,公差为d.若共有2n项,则S2n=n(an+an+1);S偶-S奇=nd; (3)若等差数列an的前n项和为Sn,则数列 是等若共有2n+1项,则S2n+1=(2n+1)an+1;S偶-S奇=-an+1; (5)等差数列an中,若Sn=m,Sm=n(mn),则Sm+n

16、=-(m+n).(6)等差数列an中,若Sn=Sm(mn),则Sm+n=0.若共有2n+1项,则S2n+1=(2n+1)an+1;【习练破】1.(2019晋江高一检测)等差数列an的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和是()A.130B.170C.210D.260【习练破】【解析】选C.因为Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,所以Sm+S3m-S2m=2(S2m-Sm),所以30+S3m-100=2(100-30),所以S3m=210.【解析】选C.因为Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数2.(1)一个等差数列共2 019项,求它的奇数项和与偶数项和之比.(2)

17、一个等差数列前20项和为75,其中的奇数项和与偶数项和之比为12,求公差d.2.(1)一个等差数列共2 019项,求它的奇数项和与偶数项【解析】(1)等差数列an共有1 010个奇数项,1 009个偶数项,所以S奇= ,S偶= 因为a1+a2 019=a2+a2 018,所以 【解析】(1)等差数列an共有1 010个奇数项,1 0(2)前20项中,奇数项和S奇= 75=25,偶数项和S偶= 75=50,又S偶-S奇=10d,所以d= =2.5. (2)前20项中,奇数项和S奇= 75=25,偶数项和S【加练固】1.已知等差数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn,若对于任意的自然数n,都有

18、则 =()【加练固】【解析】选A.因为等差数列中,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq;等差数列的前n项和为:Sn= 所以 【解析】选A.因为等差数列中,若m+n=p+q,所以所以2.设等差数列an的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于()A.63 B.45 C.36 D.272.设等差数列an的前n项和为Sn,若S3=9,S6=3【解析】选B.因为a7+a8+a9=S9-S6,而由等差数列的性质可知,S3,S6-S3,S9-S6构成等差数列,所以S3+(S9-S6)=2(S6-S3),即S9-S6=2S6-3S3=236-39=45.【解析】选B.因为a7+a

19、8+a9=S9-S6,而由等差数列类型三等差数列前n项和的最值【典例】1.(2019大庆高一检测)设an是等差数列,Sn是其前n项和,且S5S8,则下列结论错误的是()A.dS5 D.S6和S7均为Sn的最大值类型三等差数列前n项和的最值2.(2018全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.世纪金榜导学号(1)求an的通项公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值.2.(2018全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和【思维引】1.由已知条件分析a6,a7,a8的符号,求Sn的最大值,作差比较S9与S5的大小.2.(1)解方程组即可求出首项、公差,进而得到an的通项公式;

20、【思维引】1.由已知条件分析a6,a7,a8的符号,求Sn(2)可以把Sn看作关于n的二次函数从函数角度求最值;也可以分析等差数列的项从哪一项开始由负变正,推出Sn的最小值.(2)可以把Sn看作关于n的二次函数从函数角度求最值;也可以【解析】1.选C.因为S5S8,所以a60,a7=0,a80,可得d0,S6和S7均为Sn的最大值,S9= =9a5,S5= =5a3.S9-S5=9(a1+4d)-5(a1+2d)=4a1+26d=4a7+2d0,所以S9S5.因此C错误.【解析】1.选C.因为S5S8,所以a60,2.(1)设an的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.又a1=-7,所以d=

21、2.所以an的通项公式为an=2n-9.2.(1)设an的公差为d,由题意得3a1+3d=-15(2)方法一:(二次函数法)由(1)得Sn= =n2-8n=(n-4)2-16,所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16. (2)方法一:(二次函数法)由(1)得Sn= 方法二:(通项变号法)由(1)知an=2n-9,则Sn= =n2-8n.由Sn最小 所以 又nN*,所以n=4,此时Sn的最小值为S4=-16.方法二:(通项变号法)由(1)知an=2n-9,则Sn= 【内化悟】等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数(缺常数项),如何利用对应函数的图象分析等差数列正、负项的分界点?【内化悟】提示:利用到y=ax2+bx(a0)的对称轴距离最近的左侧的一个正数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点.提示:利用到y=ax2+bx(a0)的对称轴距离最近的左侧【类题通】等差数列前n项和最值的两种求法(1)符号转折点法.当a10,d0时,由不等式组 可求得Sn取最大值时的n值.【类题通】当a10时,由不等式组 可求得Sn取最小值时的n值.当a10时,由不等式组 (2)利用二次函数求Sn的最值.知道公差不为0的等差数列的前n项和Sn可以表示成Sn=an2+bn(a0)的形式,我们可将其变形为Sn=若a0,则当 最小时,Sn有最