人教A版高中数学必修5同步数列8课件

1、2.5等比数列的前n项和第1课时等比数列的前n项和2.5等比数列的前n项和人教A版高中数学必修5同步数列8课件等比数列的前n项和公式等比数列的前n项和公式【思考】对于等比数列的前n项和Sn= 一定成立吗?提示:不一定,当q=1时不成立.【思考】【素养小测】1.思维辨析(对的打“”,错的打“”)(1)若等比数列的首项a1=1,公比为2,则前n项和Sn= ()(2)已知等比数列的a1,q,an,则Sn= ()(3)等比数列1,-1,1,-1,的前n项和等于0.()【素养小测】提示:(1).Sn= (2).Sn= (3).Sn= 人教A版高中数学必修5同步数列8人教A版高中数学必修5同步数列8提示:

2、(1).Sn= 人教A版高中数学必修5同步数列2.等比数列an的各项均为正实数,其前n项和为Sn.若a3=4,a2a6=64,则S5=()A.32B.31C.64D.63人教A版高中数学必修5同步数列8人教A版高中数学必修5同步数列82.等比数列an的各项均为正实数,其前n项和为Sn.人教【解析】选B.方法一:设首项为a1,公比为q,因为an0,所以q0,由条件得 ,解得 所以S5=31;人教A版高中数学必修5同步数列8人教A版高中数学必修5同步数列8【解析】选B.方法一:设首项为a1,公比为q,人教A版高中数方法二:设首项为a1,公比为q,由a2a6= =64,又a3=4,所以q=2,又因为

3、a1q2=4,所以a1=1,所以S5=31.人教A版高中数学必修5同步数列8人教A版高中数学必修5同步数列8方法二:设首项为a1,公比为q,由a2a6= =64,又3.在等比数列an中,a2=1,a5=8,则数列an的前n项和Sn=_.人教A版高中数学必修5同步数列8人教A版高中数学必修5同步数列83.在等比数列an中,a2=1,a5=8,则数列an【解析】因为a2=1,a5=8,所以a5=a2q3,即q3= =8,即q=2,首项a1= ,则数列an的前n项和Sn= 答案:2n-1- 人教A版高中数学必修5同步数列8人教A版高中数学必修5同步数列8【解析】因为a2=1,a5=8,所以a5=a2

4、q3,人教A版类型一等比数列前n项和的计算【典例】1.(2019汕头高一检测)已知Sn为等比数列an的前n项和,a1=1,a2a3=-8,则S6=()A. B.-24C.-21D.11人教A版高中数学必修5同步数列8人教A版高中数学必修5同步数列8类型一等比数列前n项和的计算人教A版高中数学必修5同步数列2.(2019广州高一检测)设Sn是等比数列an的前n项和,若S3=6,S6=54,则a1=_.人教A版高中数学必修5同步数列8人教A版高中数学必修5同步数列82.(2019广州高一检测)设Sn是等比数列an的前n【思维引】1.利用项的关系求出公比代入公式求S6;2.先求出数列的公比,代入前n

5、项和公式求首项.人教A版高中数学必修5同步数列8人教A版高中数学必修5同步数列8【思维引】1.利用项的关系求出公比代入公式求S6;人教A版【解析】1.选C.设等比数列an公比为q,a1=1,a2a3=-8,则a2a3= =q3=-8,解得q=-2,所以S6= =-21.【解析】1.选C.设等比数列an公比为q,a1=1,2.因为S3= =6,S6= =54,所以 =1+q3=9,解得q3=8,则q=2,所以 =6,解得a1= .答案: 2.因为S3= =6,S6= =【内化悟】本例2中的消元方法是什么?有什么优点?提示:利用两式相除消元,消去a1的同时起到了降低次数的作用.【内化悟】【类题通】

6、等比数列前n项和的运算技巧(1)注意考查条件,公比为1时是否成立.(2)涉及的基本量有a1,q,n,an,Sn共五个,“知三求二”,常常列方程组来求解.(3)消元解方程组的过程中,常常用到两式相除、整体代入的方法.【类题通】等比数列前n项和的运算技巧【习练破】1.(2019全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和.若a1=1,S3= ,则S4=_.【习练破】【解析】设等比数列的公比为q,由已知S3=a1+a1q+a1q2=1+q+q2= ,即q2+q+ =0,解得q=- ,所以S4= 答案: 【解析】设等比数列的公比为q,由已知2.(2019石景山高一检测)等比数列an中a1=2,a4=16,则

7、其前n项和Sn=_.2.(2019石景山高一检测)等比数列an中a1=2,【解析】设数列an的公比为q,因为a1=2,a4=16.所以2q3=16,解得q=2,所以Sn= =2n+1-2.答案:2n+1-2【解析】设数列an的公比为q,因为a1=2,a4=16.【加练固】已知单调递增的等比数列an其前n项和为Sn,若a2=2,S3=7,则a6=()A.26B.28C.30D.32【加练固】【解析】选D.设等比数列an的公比为q,若a2=2,S3=7,则 +2+2q=7,解可得q=2或 ,又由数列an为单调递增的数列,则q=2,则a6=a2q4=32.【解析】选D.设等比数列an的公比为q,类型

8、二等比数列前n项和的实际应用【典例】(2019宜春高二检测)中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行数里,请公仔细算相还”.其意思为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天类型二等比数列前n项和的实际应用走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地”,请问从第几天开始,走的路程少于30里世纪金榜导学号()A.3B.4C.5D.6【思维引】首先判断数列类型,其次确定数列的基本量计算.走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地”,请问从第几天【解析】选B.此人每天走的步数构成以 为公比的等比数列,所

9、以 =378,解得a1=192,所以an=192 =384 ,【解析】选B.此人每天走的步数构成以 为公比因为384 12.8,经验证可得n4,即从第4天开始,走的路程少于30里.因为384 30,【内化悟】从本例条件中可以提取哪些等比数列的基本量?提示:Sn=378,q= ,n=6.【内化悟】【类题通】解答数列应用问题的方法(1)判断、建立数列模型变化“量”是同一个常数:等差数列;变化“率”是同一个常数:等比数列.【类题通】(2)提取基本量从条件中提取相应数列的基本量a1,q(d),n,an,Sn,列出方程(组)求解.(2)提取基本量【习练破】古代数学著作九章算术有如下问题:“今有女子善织,

10、日自倍,五日织五尺,问日织几何?”意思是:“一女子善于织布,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这女子每天分别织布多少?”根据上题的已知条件,该女子第二天织布多少尺?()【习练破】古代数学著作九章算术有如下问题:“今有女子善【解析】选B.等比数列an中, 公比q=2,S5=5,S5= =(25-1)a1=5,所以a1= 所以a2=a1q= 【解析】选B.等比数列an中, 公比q=2,S5=5,【加练固】一个热气球在第一分钟上升了30 m的高度,在以后的每一分钟内,它上升的高度都是它在前一分钟内上升高度的 .这个热气球上升的高度能超过150 m吗?【加练固】【解析】用an表示热气

11、球在第n分钟内上升的高度,由题意,数列an是首项a1=30,公比q= 的等比数列.热气球在前n分钟内上升的总高度Sn=a1+a2+an= =150 150,即这个热气球上升的高度不可能超过150 m.【解析】用an表示热气球在第n分钟内上升的高度,类型三等比数列前n项和的简单性质角度1前n项和公式的函数特征【典例】(2019桂林高一检测)已知等比数列an的前n项和Sn=3n-1-1(R),则 世纪金榜导学号()A. B.3C.6D.9类型三等比数列前n项和的简单性质【思维引】利用前n项和公式的结构特征求出及公比,再利用Sn的表达式计算;也可由Sn表示出a1,a2,a3后求及公比,再利用Sn的表

12、达式计算.【思维引】利用前n项和公式的结构特征求出及公比,再利用S【解析】选D.方法一:Sn=3n-1-1= 3n-1,所以 =1,=3且q=3,又a1=S1=33n-1-1=2,【解析】选D.方法一:Sn=3n-1-1= 3n-1方法二:等比数列an满足Sn=3n-1-1,当n=1时,有a1=S1=-1,有a2=S2-S1=(3-1)-(-1)=2,a3=S3-S2=(9-1)-(3-1)=6,则有6(-1)=(2)2,解可得=3或0(舍),首项a1=2,则 方法二:等比数列an满足Sn=3n-1-1,【素养探】等比数列的前n项和公式实质是关于n的函数,再利用其结构特征可以确定系数之间的关系

13、,这用到了核心素养中的数学抽象.将本例中的条件变为“Sn=32n+a”,则S5=_.【素养探】【解析】数列an是等比数列,若q=1,显然Sn=32n+a,不成立.故数列an的公比q1,所以Sn= 故q=2, =-3,故a=-3.【解析】数列an是等比数列,所以S5=325-3=93.答案:93所以S5=325-3=93.角度2前n项和的性质【典例】设等比数列an的前n项和为Sn,已知S3=8,S6=7,则a7+a8+a9=世纪金榜导学号()【思维引】利用S3,S6-S3,S9-S6的关系求值.角度2前n项和的性质【解析】选A.方法一:由等比数列前n项和的性质知S3,S6-S3,S9-S6成等比

14、数列,又a7+a8+a9=S9-S6,则S3,S6-S3,a7+a8+a9成等比数列,从而a7+a8+a9= 【解析】选A.方法一:由等比数列前n项和的性质知S3,方法二:因为S6=S3+S3q3,所以q3= 所以a7+a8+a9=S9-S6=S3q6=8 方法二:因为S6=S3+S3q3,【类题通】1.等比数列前n项和公式的特征数列an是非常数数列的等比数列Sn=-Aqn+A(A0,q0,1,nN*).即指数式的系数与常数项互为相反数,其中A= 【类题通】2.等比数列前n项和公式的性质等比数列的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列.2.等比数列前n项和公式的性质【习练破】在等比数列an中,已知Sn=48,S2n=60,求S3n.【习练破】【解析】因为an为等比数列,显然公比不等于-1,所以Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列,所以(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n),所以S3n= 【解析】因为an为等比