2020年高考数学山东卷 试题+答案详解

1、2020年普通高等学校招生全国统一考试数 学注意事项：2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 Ax|13,Bx|24,则 AB（）A.x|23B. |23C. |14D.x|10，则 C 是椭圆，其焦点在 y轴上B. 若 n0，则 C是圆，其半径为nmC. 若 mn，则 C 是双曲线，其渐近线方程为y nxD. 若 ，n0，则 C 是两条直线10.下图是函数 =sin(x

2、+的部分图像，则 sin(x+)= （）A. sin(x） B. 2x)C. x ） D. 2x)3366已知 a，b0，且 ab=1，则（）1B. 2ab 1a b 22A.C. log alog b2D. a b 2222212.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1,2,n，）nn且P(X i) p 0(i 1,2,n), p 1 X 的信息熵H(X) p log p .iii2ii1i1A. 若 n，则 (X)=0B. 若n，则X随着1的增大而增大C. 若 p 1in( 1,2, )，则 X随着 n 的增大而增大niD. 若 n，随机变量 Y 所有可能的取值为1

3、,2,m，且PY j) p p(j 1,2, ,m) ，则 X)()j2mj三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.斜率为 3的直线过抛物线 C：y =4x的焦点，且与 C 交于 A，B 两点，则2 =_14.将数列2n1与3n2的公共项从小到大排列得到数列a a 的前 n 项nn和为_2020 年高考数学山东卷 第 2 页共 4 页15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示O为圆孔及轮廓圆弧 AB A 是圆弧 AB 与直线 AG B 是圆弧 AB 与直线BC DEFG为矩形，BC，3垂足为 CtanODC= EF=12 cm，52 cmA 到直线

4、 DE 和 EF 的距离均为 7 cm，圆孔半径为 1 cm，则图中阴影部分的面积为_cm2D16.已知直四棱柱 ABCDA B C D 的棱长均为 2BAD=60为球心， 51 1 111B 的交线长为_为半径的球面与侧面 1 1四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.在ac 3，csinA3，c b这三个条件中任选一个，补充在下面问c ,B,C的对边分别为a,b,cA= 3B，C ，_?6注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分a 18.已知公比大于1的等比数列满足a a 20,a 8n243a （1）求的通项公式；nb a b （2

5、）记 为在区间(0,m(mN )中的项的个数，求数列的前100项和*mnmS19.为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和浓度（单位：g/m322(50,150PM2.50,35121037 浓度不超过”的（1）估计事件该市一天空气中PM2.5浓度不超过，且2概率；2020 年高考数学山东卷 第 3 页共 4 页（2）根据所给数据，完成下面的22列联表：0,1502（3）根据（2）中的列联表，判断是否有的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与 浓度有关？2ad bc)2K附：2，a )(c da )(b d) 0.05038410

6、.0106.6350.001210.82820.如图，四棱锥PABCD 底面 ABCD设平面PAD与平面 PBC 的交线为 （1）证明：平面 PDC；（2）已知 =，Q为 l 上的点，求 PB 与平面 QCD 所成角的正弦值的最大值21.已知函数 f(x) aex a x 1（1）当ae时，求曲线 f（x）在点（1，（1三角形的面积；（2）若 （x）1，求 a 的取值范围x y2，且过点 （2，12222.已知椭圆 C：a b 的离心率为a b222（1）求 C 的方程：（2）点MN 在 C上，且ANADMND为垂足证明：存在定点Q，使得|为定值2020 年高考数学山东卷 第 4 页共 4 页

7、参考答案一、单选题.1.【答案】C【解析】 AUB1,3U,故选C.2.【答案】D2 i i i) i i,故选 D.【解析】1 i i i) 53.【答案】CC1661；【解析】首先从 名同学中选 名去甲场馆，方法数有C5；22然后从其余 名同学中选 名去乙场馆，方法数有53最后剩下的 名同学去丙场馆.C C 6种.故选 C故不同的安排方法共有4.【答案】B【解析】画出截面图如下图所示，1625其中依题意可知l A是赤道所在平面的截线； 是点 处的水平面的截线，ml；是晷针所在直线. 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得可知 m,根据线面

8、垂直的定义可得 m.40,m/，A40.晷针与点 处的水平面所成角故选 B.5.【答案】C【解析】记“该中学学生喜欢足球”为事件 ，A“该中学学生喜欢游泳”为事件 ，B则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件 AB，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件 AB， P() P(B) P AB ，则，P(AB) P(A)P(B)P(AB) 该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为 .故选 C.6.【答案】B【解析】R R 1,T 6,，001 I t e errt0.38t，,6t1天，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间为t 2e0.38(t1) 2e0.

9、38te， 2，则0.38t112 t 天.故选B. 12020 年高考数学山东卷答案详解 第 1 页,共 11 页7.【答案】A【解析】 的模为 2，在 方根据正六边形的特征，可得向上的投影的取值范围是(，结合向量数量积的定义式，可知 等于 的模与在 方向上的投影的乘积， 的取值范围是()， 故选 A.8.【答案】DRf (x) (上单调递减,且 f0，【解析】定义在 上的奇函数在f (x) )f(0 f0，在上也是单调递减,且,当 x(,时， f(x)0，当x()时， f(x)0，由 (x0可得：x 0 x 0 x0或0 x 1 2 x 1 2或2 x 1 0 x 1 2 或 或 解得或1

10、x0 1x3，(x 0的x的取值范围是，故选D.满足二、多选题.9.【答案】ACDx y221 11 1【解析】对于 A，若mn0，则可化为，22m n1 1ymn0，即曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，故 A 正确；Cm n1n，x y 22 1对于 B，若mn0，则可化为22nC此时曲线 表示圆心在原点，半径为的圆，故 B 不正确；nx y221 11 1对于 C，若0，则可化为，22m nC此时曲线 表示双曲线，mn 0yx，故 C 正确；可得 由221n，y2对于 D，若m0,n0，则 1可化为22ny nCx，此时曲线 表示平行于 轴的两条直线，故 D 正确；综上，ACD 正确.2020

11、 年高考数学山东卷答案详解 第 2 页,共 11 页10【答案】BC T 2 ，则2，排除 A, 【解析】由函数图像可知2 36 2T 2 32 2k k Z2xy 1 当 6 时，22 kZ2k ，即函数的解析式为：解得32 6 263 2x 2x.y 2x2k 2x 3 2x6 2x).故选BC.而611【答案】ABD1 1 12 a b a 1a a 2a1 2 a2 【解析】对于 A，2222，22 2a b 1时，等号成立，故 A 正确；当且仅当对于 B，2122 1ab2a11，所以 ab2，故 B 正确；a b 142 a b 2 ，对于 C，222222a b 1时，等号成立，

12、故 C 不正确；当且仅当2 a b212 1ab2，对于 D，因为a b 2 ，当且仅当ab1时，等号成立，故 D 正确；所以2故选 ABD.12【答案】AC【解析】对于 A, 若 i p 1H X 1 1 0，A 正确.n1,则，21p 1 p2n2 i 1,2,，对于 B，若,则1 H X p p 1 p 1 p 当，112112p 1 11 3 3H X 时，4434 4412233 1 1 p1H X 当4时，44 4422两者相等，所以 B 选项错误.1 i 1,2, ,n，则pi对于 C，若n1 1 1 n H Xn ，nnn222 H Xn则随着 的增大而增大，所以 C 选项正确

13、.2020 年高考数学山东卷答案详解 第 3 页,共 11 页n2m，随机变量Y 的所有可能的取值为1,2,m，对于 D，若 P Y j p p j 1,2,m）.且（j2m 1 j 1p H X2m2mp pip2ii2i 1i 1i1111p p pp .pppp12222m122m2122m12m11 p p1p p2H Y p pp p2m22m1212m22m11 ppp2 pmm 1mm 111p p p pp p2122212m2m111pp p pp p2m122m222m112m，p i m0 ,2由于i111 1，p p ppp pi22ii2m 1 i i2m 1 i 1

14、1p ip ，pp pi2i2i2m 1 i H X H Y，D 选项错误.故选 AC三、填空题.13【答案】3F，y2 4x，抛物线的焦点 F 坐标为【解析】抛物线的方程为又直线 AB过焦点 F且斜率为3，直线 AB的方程为 y 3(x1)，3x x30，代入抛物线方程消去 y并化简得21x ,x 3解法一：解得3121 | 1k |x x 13|3 23 312解法二：1000，x x (x ,y ),B(x ,y )，则3 ,设112212过,B分别作准线 x1的垂线，设垂足分别为C,D如图所示.3| | | | | x 1x 1 x x 1212故答案为 3 .14【答案】n22n n

15、1【解析】数列是以 1 为首项，以 2 为公差的等差数列，2020 年高考数学山东卷答案详解 第 4 页,共 11 页 n2数列是以 1 首项，以 3 为公差的等差数列， an是以 1 为首项，6 为公差的等差数列，这两个数列的公共项所构成的新数列n(n nann 1 6 n 2n 的前.项和为2，故答案为n 2n2254 15【答案】2【解析】设 r，由题意 7， ， 5， ， 5 , ，与圆弧 A，相切于 点，为等腰直角三角形；2即2在直角中，5 r 7 r，22 33 225 22 211r 25r，解得r2 2；， 5S 2 22 2 4等腰直角的面积为；21 22 21 2 4S，扇

16、形 的面积 212 .S S144 阴影部分的面积为2 .故答案为2216【答案】2.2BC的中点为 ，EF的中点为 ，【解析】如图，取111G60，直四棱柱CC 的中点为 ，1ABC D的棱长均为 2，1 111DBC为等边三角形，111DEDE BC， 3，11112020 年高考数学山东卷答案详解 第 5 页,共 11 页ABC D为直四棱柱，又四棱柱1 111 ABC D BC平面，所以，11 11111 1 BC BDE BC，1 1，侧面11111BC1 1DE 与球面的交线上的点，则，设 为侧面P1DE 3球的半径为5，| |DP| |DE| 53 222，111BC侧面E与球面

17、的交线上的点到 的距离为 2，1 1BC1 1| 2，侧面与球面的交线是扇形的弧，2，B1C 4，1222 根据弧长公式可得.2答案为2.2四、解答题.17【答案】详见解析ab【解析】解法一：由A= 3B可得： 3， a m,bm m0不妨设，则3c2a2b22abC m2m22 mm m2cm.，即2选择条件的解析： mm m 3 m1，此时cm1.据此可得：，2选择条件的解析：b c a m m m12， 222222A据此可得：2m2133 2 A 1 cAm 3，则cm2 3.则，此时 222 选择条件的解析：c m 1 c b，与条件c b矛盾，则问题中的三角形不存在.可得，b m6

18、 B A C, 3 C, , 解法二： A CA 3 3 ,631 3 AC 3 22 ，2020 年高考数学山东卷答案详解 第 6 页,共 11 页3 ,6,AB C 3,若选， 3,a b c,c 3,c=1;2c若选，3,则 ,3 c2 3;2若选,与条件c b矛盾.a 2nS .n a1是公比大于 的等比数列，na1，公比为q设首项为，依题意有aq aq a q13，解得解得a q 2，或11(舍)，aq 821211 a 2n，数列aa 2的通项公式为.nnnn2 2,2 4,2 8,2 2 2 2 ，（2）由于 1234567b1b 0对应的区间为，则；1 0,2 , 0,3b ,

19、b2b b 12 1，即有 个 ；对应的区间分别为，则323 对应的区间分别为0,4 , 0,5 , 0,6 , 0,7 ，b ,b ,b ,b4567b b b b 2，即有222个 ；则4567 对应的区间分别为0,8, 0,9 , 0,15，b ,b ,b89b b b 3，即有233则个 ；89 对应的区间分别为0,16, 0,17, 0,31 ，b ,b ,b b b b 4，即有244个 ；则 对应的区间分别为0,32, 0,33, 0,63 ，b ,b ,b b b b 5，即有255则个 ； 对应的区间分别为0,64 , 0,65, 0,100，b ,b ,bb b b 6 6

20、，即有个 .则S 1222 32 42 52 6.2345 100 天中，空气中的2.5浓度不超过75，且浓度不超过 150 的天数有68天，2该市一天中，空气中的 2.5浓度不超过75， ；且浓度不超过 150 的概率为2（2）由所给数据，可得22列联表为2020 年高考数学山东卷答案详解 第 7 页,共 11 页2合计8064161074102620合计100（3）根据22列联表中的数据可得n( )2 2K2(a bc d)(a cb d) ，根据临界值表可知，有的把握认为该市一天空气中2.5浓度与 浓度有关.26.3 在正方形 中，AD，平面 平面，AD平面，ADl，又 平面PAD ，平

21、面平面l，在四棱锥P中，底面是正方形， ，l 且 平面 ，l，D，l 平面；（2）如图建立空间直角坐标系 D，因为1，则有D C A P B，Q(m,设，则有 ( ，设平面的法向量为n(x,y,z)， n 0y 0 n 0 则，即， z 0 令x1，则zm，平面的一个法向量为n(1,0,m)， ,n 1 0 m 则n 3 m 1 2根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，直线与平面所成角的正弦值等于2020 年高考数学山东卷答案详解 第 8 页,共 11 页r n, | m|3 1 2m m 2| 3 m 1 32m 12 3 12m3 1 2|m|3

22、61 1 3m 1 32，m 1 32当且仅当m1时取等号，6所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为.32（2）1,)e11Q f x e xf (x) e 1，k f e1.( )xxx，Q f(1)e1，切点坐标为(1,1+),函数 f(x)在点(1,(1)处的切线方程为 ye1(e1)(x1), y e1 x2,即 2切线与坐标轴交点坐标分别为,e 112222 | |=e 1 e 1所求三角形面积为;f(x) x a,Q（2）解法一：x 11f (x) x1a0.x，且1g (x) g(x) f(x),则 设x 1x2g()在)上单调递增，即f(x) )在上单调递增， f x f f

23、x 11 1 , 成立.f 0,当a 1时，当a 1时，min1111 ，f ( )f a(e a 01e 1a1 1，,aaa1f (x ) 0 x 00，使得1存在唯一，x00 x(0,x ) f(x)0 x(x ,) f(x)0时，当时，且当001x ，ax 1xx 1，0000f(x)f(x ) x lna x 10min0011a x 1 a a 1 2x a 1 1,xx0000 f x f x 1当恒成立；0a1时， faaa ff(x)1不是恒成立.2020 年高考数学山东卷答案详解 第 9 页,共 11 页综上所述，实数 a的取值范围是1,+).f x x1 e 1 1 lna x解法二： 等价于 x e x 1 x e,1 g x e xg x1 g ,x,上述不等式等价于令g x显然为单调增函数，x1，即x1，11 xh x x1 hx1 令,则