典型例题：指数函数

1、PAGE6指数函数典型例题指数函数是中学数学中基本初等函数之一，是学习函数、不等式等内容的重要工具，指数函数的性质是指数函数的核心内容，也是学习其他数学知识的基础内容本文就指数函数的典型例题进行分析1利用指数函数的单调性比较大小例1比较下列各题中两个值的大小：（1），；（2），分析：构造指数函数，利用其单调性和值域比较大小解：（1）（单调法）由于与的底数是,故构造函数y=，则函数y=在R上足增函数又3，所以）（中间量法）由指数函数的性质，知，所以点评：比较指数式大小的方法：1单调法：比较同底数幂大小，构造指数函数，利用指数函数的单调性比较大小要注意：明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；

2、明确指数函数的底数与1的大小关系；最后根据指数函数图象和性质来判断2中间量法：比较不同底数幕的大小，常借助于中间值1进行比较利用口诀“同大异小”，判断指数幂和1的大小2研究指数函数的性质1定义域和单调区间例2求函数的定义域和单调区间分析：使函数的解析式有意义的自变量的取值范围是函数的定义域；函数f是复合函数，分解为y=fu，u=g,通过讨论y=fu和u=g的单调性，来讨论函数f的单调性解：由题意，得函数f的定义域为R令,是二次函数，其对称轴为=1且开口向上，二次函数在-,1上是减函数，在1，）上是增函数又在定义域内是减函数，函数的单调递增区间是-,1，单调递减区间是1，）点评：关于指数函数的单

3、调性问题，要注意其单调性与底数a的取值紧密相关当a1时，函数y=是增函数；当oao则，画出函数t0的图象，如图所示，观察函数ft的图象得函数单调递减无最小值答案：A点评:求函数f的单调区间、值城、最值时，常用换元法，设=t,转化为讨论常见函数的性质，有时结合常见函数的图象来解决3函数的图象例4若函数a0，且a1）的图象恒过定点P，试求点P的坐标分析：通过讨论函数y=与函数a0，且a1）的关系确定点P的坐标解：将函数y=a0，且a1）的图象沿轴向右平移1个单位，再沿y轴向上平移3个单位，可以得到函数的图象，因为函数y=a0，且a1）的图象恒过定点0，1），所以相应的函数的图象恒过定点1，4）点评

4、：一般较复杂函数的图象可由基本初等函数的图象经过平移、对称变换得到，注意转化思想的应用3利用指数函数的单调性求参数的取值范围例5如果（其中a0，a1，求的取值范围分析：由指数函数的单调性进行解答，解答时要注意分a1和0a7，即2-6-70解之得72当0a1时，2-57，即2-6-70解之得-11时,-1或7；当0a1时，-11和0a1和0a1是两类不同的情形，所以最后要分开下结论4建立指数函数模型解决实际应用问题例6医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的关系记录如下表已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡但注射某种药物，将可杀死其体内该病毒细胞的98%天数t病毒细胞总数N123天数t病毒细胞总数N12345671248163264（2）第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命（精确到天）已知：lg2=解:（1）由题意病毒细胞关于时间n的函数为,则由两边取对数得,即第一次最迟应在第27天注射该种药物（2）由题意注入药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞为,再经过天后小白鼠体内病毒细胞为,由