复变函数论课件：7-2 分式线性函数及其映射性质

1、 复变函数论多媒体教学课件Department of Mathematics 第七章 共形映射第7.2节 分式线性函数 及其映射性质分式线性函数的定义分式线性函数是指下列形状的函数：其中 是复常数，而且 。在 时，我们也称它为整线性函数。分式线性函数的反函数为它也是分式线性函数，其中 注解：注解1、当 时，所定义的分式线性函数是把z平面双射到w平面，即把C双射到C的单叶解析函数；注解2、当 时，所定义的分式线性函数是把 双射到 的单叶解析函数；注解3、我们可以把分式线性函数的定义域推广到扩充复平面 。当 时，规定它把映射成 ；当 时，规定它把映射成 ；则把 双射到 。分式线性函数的拓广 现在把

2、保形映射的概念扩充到无穷远点及其邻域，如果把 及其一个邻域保形映射成t=0及其一个邻域，那么我们说w=f(z)把 及其一个邻域保形映射成 及其一个邻域。 如果把 及其一个邻域保形映射成t=0及其一个邻域，那么我们说w=f(z)把 及其一个邻域分式线性函数的拓广保形映射成 及其一个邻域。注解4、分式线性函数把扩充z平面保形映射成扩充w平面。注解5、区域、连通性等概念可以推广到扩充复平面。 （ 为一个复数）；分式线性函数的分解 一般分式线性函数是由下列四种简单函数叠合而得的：（1）、（2）、 （ 为一个实数）；（3）、 （r为一个正数）；（4）、 。分式线性函数的分解事实上，我们有：把z及w看作同

3、一个复平面上的点，则有：（1）、 确定一个平移；分式线性函数的分解（2）、确定一个旋转；（3）、确定一个以原点为相似中心的相似映射；（4）、是由 映射及关于实轴的对称映射 叠合而得。定理4.1保圆性：规定：在扩充复平面上，任一直线看成半径是无穷大的圆。定理4.1 在扩充复平面上，分式线性函数把圆映射成圆。证明：由于分式线性函数所确定的映射是平移、旋转、相似映射及 型的函数所确定的映射复合而得，但前三个映射显然把圆映射成圆，所以只用证明映射也把圆映射为圆即可。保圆性：在圆的方程（如果a=0，这表示一条直线）中，代入则得圆的复数表示：其中a,b,c,d是实常数， 是复常数。保圆性：函数 把圆映射成

4、为即w平面的圆（如果d=0，它表示一条直线，即扩充w平面上半径为无穷大的圆）。注解：注解1、设分式线性函数把扩充z平面上的圆C映射成扩充w平面上的圆C。于是，C及C把这两个扩充复平面分别分成两个没有公共点的区域， 及 ，其边界分别是C及C。注解2、此分式线性函数把 映射成之中的一个区域；注解3、映射后的区域的象究竟是 还是 ，我们必须通过检验其中某一个点的象来决定。定理 4.2定理4.2 对于扩充 z平面上任意三个不同的点以及扩充 w平面上任意三个不同的点，存在唯一的分式线性函数，把依次分别映射成证明：先考虑已给各点都是有限点的情形。设所求分式线性函数是定理 4.2的证明：那么，由得同理，有：

5、定理 4.2的证明：因此，有由此，我们可以解出分式线性函数。由此也显然得这样的分式线性函数也是唯一的。其次，如果已给各点除 外都是有限点。则所求分式线性函数有下列的形式：定理 4.2的证明：那么，由同理有由此，我们可以解出分式线性函数。由此也显然得这样的分式线性函数也是唯一的。注解与推论：注解： 和 分别称为 及 的交比，分别记为系4.1 在分式线性函数所确定的映射下，交比不变。即设一个分式线性函数把扩充 z平面上任意不同四点 映射成扩充 w平面上四点 ，那么定理4.3定理4.3 扩充 z平面上任何圆，可以用一个分式线性函数映射成扩充 w平面上任何圆。证明：设C是z平面上的一个圆，C是w平面上

6、的一个圆，在C和C上分别取三个不同的点由定理4.2，存在一个分式线性函数，把映射成 ，从而把圆C映射成圆C。关于圆的对称点：注解1、圆C上的点是它本身关于圆C的对称点；注解2、规定 及 是关于圆C的对称点；注解3、利用此定理也可以解释关于直线的对称点。 设已给圆如果两个有限点 及 在过 的同一射线上，并且那么我们说它们是关于圆C的对称点。而 及 都是有限的情形。引理4.1:引理4.1 不同两点 及 是关于圆C的对称点的必要与充分条件是：通过 及 的任何圆与圆C直交。证明：如果C是直线（半径为无穷大的圆）；或者C是半径为有限的圆， 及 之中有一个是无穷远点，则结论显然。现在考虑圆C为（必要性）设

7、 及 关于圆C的对称，那么通过 及 的直线（半径为无穷大的圆）显然和圆C直交。引理4.1的证明:作过 及 的任何圆（半径为有限）C。过作圆C的切线，设其切点是z。于是从而这说明 ，从而上述C的切线恰好是圆C的半径，因此C与C直交。（充分性）过 及 作一个圆（半径为有限）C，与C交于一点z。由于圆C与C直交，C在z的切线通过圆C的心 。显然， 及 在这切线的同一侧。又过 及 作一直线L，由于L与C直交，它通过圆心 。引理4.1的证明:于是 及 在通过 的一条射线上。我们有因此， 及 是关于圆C的对称点。定理4.4(保圆的对城性）：定理4.4 如果分式线性函数把 z平面上圆C映射成 w平面上的圆C

8、，那么它把关于圆C的对称点 及 映射成关于圆C的对称点 及 。证明：过 及 的任何圆是由过 及 的圆映射得来的。由引理4.1，过 及 的任何圆与圆C直交，从而由分式线性函数的保形性，过 及 的任何圆与圆C直交。再利用引理4.1， 及 是关于圆C的对称点。例子：例：考虑扩充w平面上的一个圆|w|=R。分式线性函数把 及 映射成关于圆w|=R的对称点0及 ，把扩充z平面上的曲线映射成为圆w|=R。由定理4.1、4.4知，上式表示的一个圆， 及 是关于它对称点。两个特殊的分式线性函数：(1)、试求把上半平面Imz0保形映射成单位圆盘|w|0内某一点 映射成w=0，一方面把Imz=0映射成|w|=1。

9、由于线性函数把关于实轴Imz=0的对称点映射成为关于圆|w|=1的对称点，所求函数不仅把 映射成w=0，而且把 映射成 。因此这种函数的形状是：其中 是一个复常数。把上半平面映射成单位圆内部的映射：其次，如果z是实数，那么于是 ，其中 是一个实常数。因此所求的函数应是由于z是实数时，|w|=1，因此它把直线Imz=0映射成圆|w|=1，从而把上半平面Imz0映射成|w|1，又因为当 时，|w|=01，因此这个函数正是我们所要求的。注解：注解1、圆盘|w|1的直径是由通过 及 的圆在上半平面的弧映射成的；注解2、以w=0为心的圆由以 及 为对称点的圆映射成的；注解3、w=0是由 映射成的。注解4

10、、求解的方法具有一般性。注解5、映射的具体性质如图。单位圆到单位圆内部的映射：(2)、试求把单位圆|z|1保形映射成单位圆盘|w|1的分式线性函数。解：首先，这种函数应当把|z|1内某一点 映射成w=0，并且把|z|=1映射成|w|=1。不难看出，与 关于圆|z|=1的对称点是 ，和上面一样，这种函数还应当把 映射成 因此这种函数的形状是：其中 是一个复常数。两个特殊的分式线性函数：其次，如果|z|=1时，那么于是因此 ，其中 是一个实常数。所求的函数应是由于当|z|=1时，|w|=1，因此它把圆|z|=1映射成圆|w|=1，从而把|z|1映射成|w|1，又因为当 时，|w|=01，因此这个函数正是我们所要求的。注解：注解1、圆盘|w|1的直径是由通过 及