第二章二阶线性偏微分方程的分类

1、文档编码 : CY3J1C7O4V10 HV10R6P7X9E3 ZR3B9Q5O6M5学习资料收集于网络,仅供参考其次章 二阶线性偏微分方程的分类 1把以下方程化为标准形式：（1）auxx2auxyauyybuxcuyu0解：由于2 a 12a 11 a22a2aa0所以该方程是抛物型方程,其特点方程为dyaa2a21；x（或令y ,总之,此处是与无dxa它只有一族实的特点线 y xc在这种情形下, 我们设yx,关的任一函数,当然宜取最简洁的函数形式x或y ）；方法一：用抛物型方程的标准形式1B 1 uB 2uCuFA 22先算出：A 22a 1122a 12xya 222b 1xb 2yc

2、bxya2a0a0aB 1a 11xx2a 12xya 22yya02 a0a0b 1 c1yB 2a 11xx2a 12xya 22yyb 1b 2xa02a0a0b1c0bC,1F0u1bc ubuu a即ucabubu1 u a0a方法二：应用特点方程,作自变量变换,求出u xuu,uyuuxxuuuuu2 uuu xyuu,uyyu代入原方程得,aucbubuu0学习资料学习资料收集于网络,仅供参考（2）uxx2u xy3 uyy2ux6 uy0,解：由于2 a 12a 11 a2240,所以该方程是双曲型的其特点方程为特点线为xdy11131 3,dxy1c和x3yc2；故可令xy,

3、3xy,在双曲型方程的标准型式,u1B 1 uB 2ucuF2A 12中,先算出,即（3）uxxA 12a 11xxa 12xyyxa 22yy111 13a 113 2 1 13 82 a 12 xy1133 B 1a22yyb 1xb 2y4xxB2a 11xx2 a 12xya 22yyb 1xb 2y12C,0F0u14 u12 u164 uu3 u0,4u xy5 uyyux2uy0解：由于2 a 12a 11 a2210所以该方程是椭圆型的,其特点方程为dy222252i2ixyc 2,dx1特点线为：ixyc 1和故可令2ixy,2ixy为运算便利,又令学习资料学习资料收集于网络

4、,仅供参考12xxy212 i在椭圆型方程的标准形式：uaau1B 1B2uaiB2B 1u2 cuFA 12中,先算出,A 12 a 11 x x a 12 x y y x a 22 y y 2B 1 a 11 xx 2 a 12 xy a 22 yy b 1 x b 2 y iB 2 a 11 xx 2 a 12 xy a 22 yy b 1 x b 2 y iC 0 , F 0uaa u 1 i 2 i u 2即uaa u u 0；转变自变量、的记号为、,就 u u u 0（4）u xx yu yy 02解：a 12 a 11 a 22 y（i）如 y 0,就 a 12 2a 11 a

5、22 y 0,该方程为双曲型；其特点方程为：dy y,和 dyydx dx其特点线为：x 2 y c 1 和 x 2 y c 2故可令：x 2 y,x 2 y在双曲型方程的标准形式u21B 1uB 2 ucuFA 12中,先算出学习资料学习资料收集于网络,仅供参考A 12a 11xxa 12xyyxa 22yyB 110y 1y1y2b 2ya 11xx2a 12xyyyxa 22b 1B 212a 22yyb 1xb 2y2ya 11xx2 a 12xyC122y00F所以原方程化为（ii ）如y0 u1u2u002,就2 a 12a 11a22y,该方程为椭圆型；其特点方程为dyiy和dy

6、 dxiyc 2特点线为dxiyiy2c 1和xx故可令x2iy,x2iy为便利计,又令1x,12y或y222 i4就uxxuaa,u yu1 , yu yy21/2uu1, y3y原方程为uu21yu0, 即把符号uu,1 u0；u1 u0；u,换成,就有学习资料学习资料收集于网络,仅供参考（5）uxxxuyy0；解：a 12 2a 11a 22x,所以特点方程为dyx；dx（i）如x0,就2 a 12a 11a22x0,所以方程是双曲型的；特点线：或改写为 令y2x3/2C 1和y2x3/2C 2333yx3/2C 1及3yx3/2C 2223yx3/2,（1）23yx3/2,（2）2u2

7、1B 1uB 2 ucuF,A 12A 123x3xx339x,22222B 131x,B 231x,44u143xuu9x1213/2uu（3）x 将（1）减（ 2）式得1223x3/2x/26代入（ 3）就代成标准形（ii ）如x0u61uu0；x0,就x0,就2 a 12a 11 a 22就此方程为椭圆型；特点方程为：dyix,dx学习资料学习资料收集于网络,仅供参考特点线为：3 2yix3/2C 1和3yix3/2C 22令3y,3 2ux3/2,2,uyy9u就uyuy4uxu3x1u3ux1,2222uxxu1x41x,4方程为9 4xuu9xuu43x0,4u31/2u03 x即

8、uyyu1 u 30；（6）2 yu xxx2 u0；解：2 a 12a 11a 22ixx2y20故方程是椭圆型,特点方程：dy dx2 x2 yix,2 yy特点线为：y22C 1,y2ix2C2,令y2,x2就有u xu2x,uxx42 xu2 u,u yu2y,uyy42 yu2 u,原方程变为4 x2y2u2y2 u42 yx2 u02 x2u0uu212u1u,y2x2学习资料学习资料收集于网络,仅供参考uu1u1u0；x eux e2y,（1）22（7）4y2 uxxe 2x uyy4y2 ux0；解：2 a 12a 11a 224y22 ex0,故方程为双曲型；特点方程：dy4

9、y22 exx e,4y2dx2 y特点线：y2exC 1,y2x eC2；令y2x e,y2ex,（2）就uxux eux ex euu,uxxx euux eux eux eux euu2 exu2 uu,yuu yu2yu2y2yuu,2u yy2uu2yu2yu2yu2uu42 yu2 uu方程成为16y22 exu4x yc2 2 exu4y22 ex2 2 exu42 yx euu2,即162 y2 ex uux2 e u022 e u0,（3）8y2uu（1）+（2）有2y2248y代入（ 1）由4uuu0学习资料学习资料收集于网络,仅供参考2简化以下常系数方程：（1）uxxuy

10、yuxuyu0；y,其中和是待定常数,于是解：试作函数变换ux,yx ,yexvuxexyvxvuyexyvyvuxxexyvxx2vx2vuxyexyv xyvyvxuyyexyvyy2vy2 vexy后得：以此代入原方程,约去公共因子v xxvyy2v x2v y22v0ax2y v,就一阶偏导数xv 和v 的项消去,方令2,2,即ue2程简化为：2 2v xx v yy v 04 4（2）u xx 12 u y u u xx y 解：与（ 1）题一样,试作函数变换 u ve,并以 u ,u ,u xx,及 u 代入原方程,约去公共因子 e x y 后得：v xx 2 v x 12 v y

11、 22 v 0如令 就 xv 项被消去,如要 v 项也被消去,就必需222 0,22 x 2 y即 2 , 即 u ve 2 4, 即 该 常 微 分 方 程 简 化 为4v xx 12 v y 0a（3）u yy c b u x b u y u 0a a解：作函数变换 u ve x y,并以 u ,u ,u yy 及 u 代入原方程,约去公共因学习资料学习资料收集于网络,仅供参考子exy后得2vyycabv x2b vy2cabb1v0aa如 令b, 就vy项 消 失 ； 如 要 v项 也 消 去 , 就 必 须2 acabb10,即4a2b2才可能；a4 abc所以,作出函数变换uveby

12、4a2bb2x后,方程简化为子e2a4acv yycabv x0（4）uxy3 ux4uy2u0；解：作函数变换uvexy,并以u ,u ,uxy及 u 代入原方程,约去公共因xy后得：v xy3 ux4vy342v0如令4 ,3,即uve4x3y就方程简化为v xy10v0（5）2auxx2auxyauyy2bux2 cuyu0解：如直接作函数变换,该方程不能化简,所以,必需先作自变量的变换先消去 u xy 项,然后再作函数变换,消去 u ,u 项才行；（i）由于 a 12 2a 11 a 22 a 2 0,该方程为椭圆型,其特点方程是：2 2dy a a 2 a 1i / 2,dx 2 a 2即 2 dy 1 i 和 2 dy 1 idx dx特点线为：y 1 i x C 1,y 1 1 i x C 22令 y x,x , y,2 2就 ux 1 u u ,uxx u 1 u 1 u2 4 2学习资料学习资料收集于网络,仅供参考uxy1u1u,u yu,u yyuu0buu2cuu022方程成为a1au2 uua uu2即auau4 c2bu2buu2u；（ii ）对上式