第二章平差数学模型与最小二乘原理

1、文档编码 : CH9G2M2S4U3 HZ9V1I8N6Z5 ZP10S10J7D2X22 平差数学模型 与最小二乘原理2.1 参数估量及其最优性质 几何模型：包括水准网和平面把握网（包括测角网、测边 网、边角网） ；每种几何模型都包含有不同的几何元素,如水 准网中包括点的高程、点间的高差,平面网中包含角度、边 长、边的坐标方位角以及点的二维或三维坐标等元素；这些 元素都被称为 几何量 ；在诸多几何量中,有的可以直接测量,有的是间接求出；几何模型不同,它所需要知道的元素的个数与类型也不同,目标是确定几何模型的唯独性；1. 如图 2-1 的三角形 ABC中,为 了确定它的 形状 ,只需要知道三个

2、内 角中的任意两个内角的大小就可以了；它们都是同一类型的元素；2. 要确定该三角形的大小和形状,就必需知道三个不同的元素,即任意的一边两角、任意的两边一角或者是三边；它们中间都至少包含一条边长该情形包含角度和边长两类元素； 3. 要确定该三角形的 大小、形状 和它在一个特定坐标系中的 位置和方向,就必需知道图中 15 个元素（ 6 个坐标元素,3 个内角元素,3 个边长元素,3 个方位角元素）中的 6 个不同的元素,这 6 个元素可以构成更多的组合,至少要包含一个点的坐标和一条边坐标方位角,它们的转变只相当于整个网在坐标系中发生了平移和旋转,并不影响该三角形的内部形状和大小；假如 A、B 两点

3、都是已知点,为确定三角形的大小、形状、位置和方向,就只需要任意两个元素就行了,如两角、两边或一边一角等；我们把能够唯独地确定一个几何模型所必要的元素,称为必要观测元素； 必要观测个数用t 表示 ；例如,确定三角形的形状,必要观测元素个数t =2；确定三角形的大小和形状,必要观测元素个数 t =3；确定三角形的大小、形状、位置和方向,必要观测元素个数t =6；对于后两种情形,不仅要考虑必要观测元素的个数,仍要考虑到元素的类型,否就就无 法唯独地确定模型；必要起算数据个数用d 表示,水准网为1,测角网为4,测边网和边角网为3；观测值个数用n 个表示 ；当 nt 时,能准时发觉测量中的粗差和错误,提

4、高观测成果的精度和牢靠性；令余外观测个数rnt,在统计学中称 r 为自由度；一个几何模型能通过 t 个必要而独立 的量唯独的确定下来,当模型中有 r 个余外观测量,确定存在着 r 个这样的函数关系式；例如在上述2 中,假如观测了角度L 、L 、L ,即 n=3, t =2,就 r =1, 它们的真值之间存在如下关系式0L 1L 2L 3180有 r 个余外观测,就会有r 个这样的关系式（条件方程）；由于观测不行防止地含有误差,所以L 1 L 2 L 3 180 0为了排除冲突,通常用另一组被称为“ 观测值估值”（又叫平差值、最或是值、最或然值）L.来代替观测值 L ,即L. L i V iV

5、称为观测值的改正数,未知数个数方程式个数,许多多组,所以问题的关键点是：在许多多组解中求得唯独的一 组最优改正数；测量平差的任务就是对参数（未知数）及其方差（协方 差）进行估量,即对平差数学模型的参数进行估量（点估量和区间估量） ；由于余外观测而产生的平差数学模型,都不行 能直接解方程而求得唯独解,测量平差中的参数估量,就是 要在许多多组解中,找到一组最优的解作为平差参数的最终 估量,为此,必需对平差数学模型附加某种约束条件,实现 中意最优性质的参数唯独解,其中最广泛接受的 平差准就是；最小二乘准就 最优估量量主要有以下 3 个性质；1 一样性 中意的估量量X.为参数lim nE X .X20

6、X 的一样性估量量；2无偏性 中意EX . X就称X.为 X 的无偏估量量；同时中意EX . X .XX20lim nE就称 X.为 X 的严格一样性估量量；3 有效性 具有无偏性的估量量并不唯独,但毫无疑问方差最小的估量量是最优的；设有估量量X.1 和 X.2,假如 D X.1 D X.2,就称 X.1 比 X.2 有效； 其中 D X.=min,为 X 的最有效估量量,称为最优无偏估量量；数理统计理论证明,具有无偏性、最优性的估量量确定 是一样性估量量,所以测量平差中参数的正确估量值要求是 最优无偏估量量；2.2 最小二乘原理在测量工作及其它科学工程领域,应用最早也最广泛的 就是所谓的“

7、最小二乘准就”TPm i nVTPVmin进行的测量工作中习惯上用符号V 代替.VTPVmin当 P 为非对角阵,表示观测值相关,按平差称为相关观测平差；当 P 为对角阵,表示观测值不相关,此时最小二乘准就可表示为纯量形式,即VTPV2 p 1 v 1p22 v 2pnv2 nmin特别地,当观测值不相关且等精度时,权阵P 为单位阵,此时最小二乘准就可表示为VTPV2 v 1v2v2min2n其实,估量的准就有许多种,最小二乘准就是其中的一种,仍有一种常用的估量叫做最大似然估量,其概率分布密度函数为f21D12exp1TD1n22所谓极大似然估量,就是要在概率分布密度函数达到极大的条件下来对真

8、误差进行估量；明显,当TD1达到极小时,概率分布密度函数可取得极大值,仍用V 表示对的估量结果,即要求：VTD1Vmin相当于VTPVmin明显,当观测向量听从正态分布时,极大似然估量与最小二乘估量的结果是一样的；例 2-1 设对某量X进行了 n 次同精度独立观测,得观测值 nL ,试按最小二乘准就求该量的估量值；解：设该量的估量值为写成矩阵形式x.,误差方程式为v 1 x . L 1v 2 x . L 2. .v n x . L nV n 1v 11L 1B n 1x .L n 1v 21x .L2按最小二乘准就,顾及v n1LnPE,得将上式对VTPVVTVminx.取一阶导数,并令其为零

9、,得1dVTV2 VTdV2 VTB2 VT12nvi0d x .d x .11将v ix .Li代入上式得nx .Lin x .nLi0nv i111解得x .1nLiLn1n2.3 测量平差的数学模型用数学关系式来描述对象的某种特点或内在的联系,这种数学关系式就称为数学模型；在争论任何平差方法时,平差数学模型由函数模型和随机模型组成；1.函数模型函数模型是描述观测量与待求量之间的数学函数关系的模型；不同的函数模型有与之对应的平差方法；函数模型有理论模型与有用模型之分,理论模型中的待估量用 L , X , , x表示, 有用模型中的待估量用 L ,. X . , v , x . 表示； 函数

10、模型有线性与非线性之分,测量平差通常是基于线性函数模型,当函数 模型为非线性时总是要将其线性化；下面简述各种经典平差 方法的线性函数模型；1）条件平差法 在图中, 观测了三个内角,n=3,t=2,就 r=n-t=1,存在一个函数关系式,也称 为条件方程,可以表示为FL L 1L 2L 31800令A 1 3111,L 3 1L 1L 2L 3T,A 0=-180就上式为AL A 00t,就一般而言,假如有n 个观测值nL ,必要观测个数为应列出r=n-t 个条件方程,即r F 1L 0假如条件方程为线性形式,就可以直接写为rA nL n 1A 0r 10将LL代入,并令WALA 0就AW0式即

11、为条件平差的函数模型；以此模型为基础的平差运算 称为条件平差法；2）间接平差法（参数平差法、坐标平差法）一个几何模型可以由t 个独立的必要观测量唯独的确定下来,因此,平差时如把这t 个量都选作参数,即ut（这是独立参数的上限） ,那么通过这 该几何模型；t 个独立参数就能唯独地确定选择几何模型中 t 个独立量为平差参数,将每一个观测量表达成所选参数的函数,共列出 r u r t n 个这种函数关系式, 以此作为平差的函数模型的平差方法称为间接平差；角 选 X 如图三角形ABC 中,观测了三个内L 、L 、L ,n3,t2,rnt 1,平差时X 、 X 2, 即A 、B 为 平 差 参 数X 1

12、X 2T,u2,共需列出ru3个函数关系式, 列立方法是将每一个观测量表达成所选参数的函数,由图知：2180L 1L 2L 3X 1X 2X 1X 方程的个数恰好等于观测值的个数；令X X 1X 2T,L L 1L 2L 3T,B10,d000118011就可写为3 L 13 B 22 X 13 d 1一般而言,假如某一平差问题中,观测值个数为n ,必要观测个数为t ,余外观测个数为rnt,再增选 u个独立参数 uX ,ut,就总共应列出crun个函数关系式,其一般形式为L n 1FX 假如这种表达式为线性的,一般为将LL和X Xo xL n 1B n tX t 1d n 1代入上式,并令lL

13、BXod就可写为n1n B tt x1l n1以上就是间接平差的函数模型；3）附有参数的条件平差法在平差问题中,设观测值个数为 n,必要观测个数为 t,就可以列出 r=n-t 个条件方程,现又增设了 u 个独立量作为未知参数, 且 0 u t , 每增加一个参数应增加一个条件方程,因此,共需列出 r u 个条件方程,以含有参数的条件方程为平差函数模型的平差方法,称为附有参数的条件平差法；如图 2-2 的三角形ABC 中,观测了三个内角L 、L 、L ,n3,t2,rnt1,X,即u1,此平差时选A 为平差参数时条件方程个数应为ru2个,它们可以写成： L 1 L 2 L 31800L 1X 0

14、令A11 10 10,B01,A 01800就上式可写成2 A 3 3 L 1 2 B 1 1 X 1 A201 0一般而言,在某一平差问题中 ,观测值个数为 n ,必要观测个数为 t,余外观测个数为 r n t,再增选 u 个独立参数,0 u t,就总共应列出 c r u 个条件方程,其一般形式为c F 1 L , X 0假如条件方程是线性的,其形式为将LL和X Xo xA c nL n 1B c uX u 1A 0c 10代入上式,并令WALBXoA 0就得A c nn1B c u xu 1W c 10 c 1为附有参数的条件平差的函数模型；4）附有限制条件的间接平差假如在某平差问题中,选

15、取 u t 个参数,其中包含 t 个独立参数,就多项的 s u t 个参数必定是 t 个独立参数的函数,即在 u 个参数之间存在着 s个函数关系式；方程的总数crurtsns个,建立模型时,除了列立n个观测方程外,仍要增加参数之间中意的s个条件方程,以此作为平差函数模型的平差方法称为附有条件的间接平差；其函数模型的一般形式为线性形式的函数模型为L n 1FX d n 1S 1X0L n 1B n uX u 1C s u Xu 1C os 10将LL和X Xo x代入,并令od就可写为lLBXW xCXoCon1B n u xu 1l n1C s u xu 1W xs 10 s 1这就是附有条件

16、的间接平差的函数模型；5） 附有条件的条件平差（综合平差模型）上面几种模型的建立,对参数的选择都提出了相应的要求,如：条件平差 u 0；附有参数的条件平差 0 u t , 且要求参数间独立；间接平差 u t , 也要求参数间独立；附有条件的间接平差 u t,要求包含 t 个独立参数；附有条件的条件平差的基本思想是：对于一个平差问题,如增选了 u 个参数,不论 u t、u t 或是 u t,也不论参数是否独立,每增加一个参数就确定相应地增加 1 个方程,故方程的总数为 r u 个；假如在 u 个参数中有 s个是不独立的,或者说在这 u 个参数中存在着 s 个函数关系式,就应列出 s个限制条件方程

17、,除此之外再列出 c r u s 个一般条件方程,形成如下的函数模型c F 1 L ,X 0如为线性形式,就为X S 1X00c A nn L 1c B uu X 1A 0c 1考虑到LL和C s uX u 1C so 10A 0Xo x,并令WALBXoW xCXoCo就可写为A c nn1B c u xu 1W c 10C s u xu 1W xs 10这就是附有条件的条件平差的函数模型；2.平差的随机模型对于上面介绍的五种基本平差方法的随机模型,亦即观 测向量的协方差阵式中D n n2Q n n2P n100nD 为 L 的协方差阵； Q 为 L 的协因数阵； P 为 L 的权阵；2 0

18、 为单位权方差；例 2-2 如图水准网中,A,B 点为已知水准点,P,P 2 点为待定水 准 点,观 测 高 差 为h 1,h 2,h 3,h 4；分别列出相应的平差函数模型；1） 当不选任何参数时,u=0；2） 如选 P,P 2 点高程为未知参数 X ,1 X 2 时, u=2；3） 如仅选 P 点高程为未知参数 X时, u=1；4） 如选 h 1,h 2,h 3 的平差值为未知参数 X ,1 X 2 , X 3 时, u=3；5） 如选 h ,h 3 的平差值为未知参数 X ,1 X 2 时, u=2；解：此题 n 4,t 2,就 r n t 21） 按条件平差法应列出 2 个条件方程 h

19、 2 h 3 0 h 1 h 2 h 4 H A H B 02） 此时参数个数 u t 2,且不相关,属于间接平差,函数模型为3）h 1h 2h 3h 41X 1X 1X 1X 2HAX X 2 2方程个数为ru3HBut,属于附有参数的条件平差,h 2h 1h 1h 3h 2X 0 h 4AHAHB04 个；H04）u3t且包含2 个独立参数,属于附有条件的间接平差,限制条件方程个数为sut1,观测方程个数为函数模型为h 1h 2h 3h 4X 1X 2X 3X 1X 2HAHB限制条件方程为X 2X 305）utr2,但相关,属于附有条件的条件平差；方程总个数为u4个,应列1 个限制条件方

20、程和3 个一般条件方程；函数模型为 h 2 h 1 h 1 X 1 h 3 h 4 h 4 X 20 X 1HAHB0X 2HAHB002.4 函数模型的线性化函数模型有的是线性的,有的是非线性的；对于非线性 的,在进行平差时,必需利用 泰勒级数 将非线性方程线性化,转化为线性方程；在全部函数模型中的未知向量 n L 和 1 u X 1,分别代表观测值的真值向量和参数的真值向量；依据泰勒级数展 开的要求,必需要知道它们的近似值；L的近似值为观测值 L , X的近似值必需依据已知值和观测值运算其近似值 Xo；下面介绍线性化的一般方法；设有函数F c 1FL ,n 1X u 1取 X的近似值为0

21、X ,就有X0 xLL,X 按泰勒级数在近似值处开放,略去二次和二次以上各项FFL,X0 xFL,X0）F L L,X0F X L,X0 x如令A c n. F. L L,X0. F 1. L 1. F 2. L 1. F 1. L 2. F 2. L 2. F 1. L n. F 2. L nL,X0a 11a 12a 1na 21a 22a 2n. F c. L 1. F c. L 2. F c. L na c 1a c2a cnc B uF X L,X0F 1X 1 F 2X 1F 1X 2 F 2X 2FLF 1X u F 2X uL,X0b 11b 12b 1 ub 21b 22b

22、2uF c x ub c 1b c2b cuF cX 1F cX 2就函数cF 的线性形式为,X0AB xF下面依据上述线性化后的结论,分别给出五种平差模型 线性化后的形式；1.条件平差法FFL 0条件平差的线性函数模型令AFLA0WFLW0有2.间接平差法 Ln 1F X间接平差线性化后的模型令n1B n tLl nLFX0B xlFX0 xt 11有3.附有参数的条件平差Fc F 1 L ,X 0附有参数条件平差的线性函数模型FFL,X0AB x0令A c nn1W xu 1FL,X0有B c uW c 104.附有条件的间接平差L n 1FX S 1X0由于X X0 XX0 x令WxX0线性化后的模型为n1B n t xt 1l n1C s u xu 1W xs 10式中CX X01 X 1X 1X 1X0c 11c 12c 1 u2u2 X 1X