2022-2023学年北师大版必修第一册3.2 基本不等式课堂作业

1、【基础】3.2基本不等式课堂练习一、单选题1已知，且，则的最小值为（）ABCD2若，则的最小值为（）ABCD3若、，且，则的最小值为（）ABCD4设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（）A4B8C16D325小王用篱笆围成一个一边靠墙且面积为的矩形菜园，墙长为，小王需要合理安排矩形的长宽才能使所用篱笆最短，则最短的篱笆长度为（参考数据：）（）ABCD6中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有

2、一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为（）AB3CD7若实数，则的最小值为（）AB1CD28已知，则的最大值为（）AB4C6D89已知，条件，条件，则是的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件10若，是正常数，则当且仅当时取等号利用以上结论函数，取得最小值时的值为（）ABCD11已知abc，若恒成立，则m的最大值为（）A3B4C8D912设ab是正实数，以下不等式恒成立的为（）ABCD13若正实数，满足，则的最小值为（）A2BC5D14已知，且，则下列结论中正确的是（）A有最小值4B有最小值C有最大值D有最大值215已知正实数、满足，则的取值可能为（）AB

3、CD16已知，则的最小值为（）A3B4C5D617已知实数，满足，则的最小值为（）ABCD18九章算术中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在九章算术注中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形对角线AE，过点A作于点F，则下列推理正确的是（

4、）A由图1和图2面积相等得B由可得C由可得D由可得参考答案与试题解析1A【分析】由已知得，所以，记，可得，然后利用基本不等式可得答案.【详解】因为，所以，因为，所以，得，所以，记，所以，所以，且，所以，当且仅当即等号成立，此时 ，.故选：A.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容

5、易发生错误的地方.2C【分析】利用基本不等式即可求解.【详解】解：，则，当且仅当时，等号成立，故的最小值为，故选：3A【分析】根据基本不等式计算求解.【详解】因为、，所以，即，所以，即，当仅当，即时，等号成立.故选：A.4B【分析】因为，可得双曲线的渐近线方程是，与直线联立方程求得，两点坐标，即可求得，根据的面积为，可得值，根据，结合均值不等式，即可求得答案.【详解】双曲线的渐近线方程是直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点不妨设为在第一象限，在第四象限联立，解得故联立，解得故面积为：双曲线其焦距为当且仅当取等号的焦距的最小值：故选：B.【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是

6、掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.5C【分析】设矩形的长、宽分别为x，y，篱笆的长为l，则，且，然后利用基本不等式可求得答案【详解】设矩形的长、宽分别为x m(x18 )，y m，篱笆的长为l m，则，且，则，当且仅当(m)，符合题意，即长、宽分别略为、时，篱笆的最短长度为，故选：C6B【解析】由公式列出面积的表达式，代入已知，然后由基本不等式求得最大值【详解】由题意，当且仅当，即时等号成立此三角形面积的最大值为3.故选：B【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）

7、“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方7D【分析】由条件变形，再结合基本不等式求最小值.【详解】由条件可知，所以 ，当，即，结合条件 ，可知时，等号成立，所以的最小值为.故选：D8B【分析】利用基本不等式化简已知条件，由此求得的最大值【详解】因为所以，从而当且仅当时等号成立.故选：B9A【分析】利用“1”的妙用探讨命题“若p则q”的真假，

8、取特殊值计算说明“若q则p”的真假即可判断作答.【详解】因为，由得：，则，当且仅当，即时取等号，因此，因，由，取，则，即，所以是的充分不必要条件.故选：A10A【分析】根据所给结论，直接套用即可得解.【详解】，当且仅当时，即时等号成立，故选：A11D【分析】由，知，由，得，结合基本不等式求出的最小值，得到m的最大值【详解】由，知，由，得，又，当且仅当，即时，取得最小值9，的最大值为9故选：12D【分析】根据不等式性质和基本不等式逐项分析判断即可得解.【详解】对于选项A，因为ab是正实数，所以，则，可得到，当且仅当时等号成立，故选项A错误；对于选项B，因为ab是正实数，所以，当且仅当，即时取等号

9、，故选项B错误；对于选项C，当且仅当时取等号，故选项C错误；对于选项D，则恒成立，故选项D正确；故选：D.13C【分析】化简，然后利用基本不等式求解即可【详解】根据题意，若正实数，满足，则，当且仅当时等号成立，即的最小值为5；故选：C【点睛】此题考查基本不等式的应用，属于基础题14A【分析】根据已知，结合基本不等式分别判断选项即可，但需注意取最值时的条件.【详解】对于选项A，当且仅当时取等号，故A正确；对于选项B，当且仅当时取等号，故B错误；对于选项C，当且仅当时取等号，故C错误；对于选项D，所以，当且仅当时取等号，故D错误.故选：A.【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误15D【分析】利用基本不等式求得的最小值判断.【详解】解：因为正实数、满足，所以，当且仅当，即时，等号成立，故选：D16C【分析】由题意知利用基本不等式即可求解.【详解】因为，所以，当且仅当即时等号成立，所以的最小值为.故选：C.17A【分析】将化为，再利用换元法结合基本不等式即可求解【详解】解：实数，满足化为：令，则解得：，则：当且仅当，即时取等号所以的最小值为.故选：A.18C【分析】根据图1，图2面积相等，可求得d的表