中考数学平行四边形综合经典题含答案

1、一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1.四边形ABCD是正方形，AC与BD,相交于点O,点E、F是直线AD上两动点，且AE=DF,CF所在直线与对角线BD所在直线交于点G,连接AG,直线AG交BE于点H.（1）如图1,当点E、F在线段AD上时，求证：ZDAG=ZDCG；猜想AG与BE的位置关系，并加以证明；（2）如图2,在（1）条件下，连接HO,试说明HO平分ZBHG；（3）当点E、F运动到如图3所示的位置时，其它条件不变，请将图形补充完整，并直接写出ZBHO的度数.图卸图；【答案】（1）证明见解析；AG丄BE.理由见解析；（2）证明见解析；（3）ZBHO=45.【解析】试题分析：

2、（1）根据正方形的性质得DA=DC,ZADB=ZCDB=45,则可根据SAS证明ADGCDG，所以ZDAG=ZDCG；根据正方形的性质得AB=DC,ZBAD=ZCDA=90,根据SAS证明ABE竺DCF，则ZABE=ZDCF，由于ZDAG=ZDCG,所以ZDAG=ZABE，然后利用ZDAG+ZBAG=90得到ZABE+ZBAG=90，于是可判断AG丄BE；（2）如答图1所示，过点O作OM丄BE于点M,ON丄AG于点N,证明AONBOM,可得四边形OMHN为正方形，因此HO平分ZBHG结论成立；（3）如答图2所示，与（1）同理，可以证明AG丄BE；过点O作OM丄BE于点M,ON丄AG于点N,构造

3、全等三角形厶AONBOM,从而证明OMHN为正方形，所以HO平分ZBHG，即ZBHO=45.试题解析：（1）T四边形ABCD为正方形，DA=DC,ZADB=ZCDB=45,在厶ADG和厶CDG中AD-CDADG-iLCDGDG-DG,ADG竺CDG（SAS）,ZDAG=ZDCG；AG丄BE.理由如下：T四边形ABCD为正方形，AB=DC,ZBAD=ZCDA=90,在厶ABE和厶DCF中ABDCBAF-.CDFIAE-DF,.ABE竺DCF(SAS),ZABE=ZDCF,ZDAG=ZDCG,ZDAG=ZABE,TZDAG+ZBAG=90,ZABE+ZBAG=90,ZAHB=90,AG丄BE；(2

4、)由(1)可知AG丄BE.如答图1所示，过点O作OM丄BE于点M,ON丄AG于点N,则四边形OMHN为矩形.ZMON=90,又:OA丄OB,.ZAON=ZBOM.TZAON+ZOAN=90,ZBOM+ZOBM=90,ZOAN=ZOBM.在厶AON与厶BOM中，loan-LQBMOA-OB也40/V-.BOM.AON竺BOM(AAS).OM=ON,.矩形OMHN为正方形，.HO平分ZBHG.(3)将图形补充完整，如答图2示，ZBHO=45.与(1)同理，可以证明AG丄BE.过点0作0M丄BE于点M,ON丄AG于点N,与(2)同理，可以证明AON竺BOM,可得OMHN为正方形，所以HO平分/BHG

5、,ZBHO=45.考点：1、四边形综合题；2、全等三角形的判定与性质；3、正方形的性质问题发现：如图，点P为平行四边形ABCD内一点，请过点P画一条直线l，使其同时平分平行四边形ABCD的面积和周长.问题探究：(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴正半轴上，点B坐标为(8,6).已知点p(6,7)为矩形外一点，请过点P画一条同时平分矩形OABC面积和周长的直线l，说明理由并求出直线l，说明理由并求出直线l被矩形ABCD截得线段的长度.问题解决：(3)如图，在平面直角坐标系xy中，矩形OABCD的边OA、OD分别在x轴、y轴正半轴上，DCIIx轴，ABy

6、轴，且OA=OD=8，AB=CD=2，点P(10-5：210-5迈)为五边形内一点.请问：是否存在过点P的直线l，分别与边OA与BC交于点E、F,且同时平分五边形OABCD的面积和周长?若存在，请求出点E和点F的坐标：若不存在，请说明理由.【答案】（1）作图见解析；（2）y二2x-5,3弱；（3）E（0,0）,F（5,5）.【解析】试题分析：（1）连接AC、BD交于点0,作直线PO,直线PO将平行四边形ABCD的面积和周长分别相等的两部分.（2）连接AC,BD交于点O，过O、P点的直线将矩形ABCD的面积和周长分为分别相等的两部分.（3）存在，直线y=x平分五边形OABCD面积、周长.试题解析

7、：（1）作图如下：(2)P(6,7),O(4,3),设PO:y=kx+6,6k+b=7k=24k+b=3,b=-5,y=2x-5,(5)交x轴于N亍0,V2(11)交BC于M,6,V2丿MN=62+MN=62+JJO4*22丿=3鶯5.(3)存在，直线y=x平分五边形OABCD面积、周长.P(10-.2,10-在直线y=x上,连OP交OA、BC于点E、F,设BC:y=kx+b,B(&2)C(2,8),8k+b=2k=-12k+=8,b=10,直线BC:y=x+io,y二一x+10(x=5联立，得15y二xy二5E(0,0),F(5,5)./OAx已知：如图，在平行四边形ABCD中，0为对角线B

8、D的中点，过点0的直线EF分别交AD,BC于E，F两点，连结BE，DF.（1）求证：D0EB0F.（2）当/D0E等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）当/D0E=90。时，四边形BFED为菱形，理由见解析.【解析】试题分析：（1）利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得出DOE竺BOF（ASA）；（2）首先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，进而利用垂直平分线的性质得出BE=ED，即可得出答案.试题解析：（1）T在ABCD中，O为对角线BD的中点，BO=DO，ZEDB=ZFBO，在厶EOD和厶FOB中EDO

9、=-OBFDO二00“FODFOBDOE竺BOF（ASA）；（2）当ZDOE=90时，四边形BFDE为菱形，理由：TDOEBOF，OE=OF，又TOB=OD,四边形EBFD是平行四边形，TZEOD=9O,EF丄BD，四边形BFDE为菱形.考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定.已知矩形纸片OBCD的边OB在x轴上，OD在y轴上，点C在第一象限，且OB=8OD=6现将纸片折叠，折痕为EF（点E，F是折痕与矩形的边的交点），点P为点D的对应点，再将纸片还原。（I）若点P落在矩形OBCD的边OB上,如图，当点E与点O重合时，求点F的坐标；如图，当点E在OB上，点F在DC上时，EF

10、与DP交于点G,若OP=7，求点F的坐标：（口）若点P落在矩形OBCD的内部，且点E，F分别在边OD,边DC上，当OP取最小值时，求点P的坐标（直接写出结果即可）。【答案】点F的坐标为（6,6）【答案】点F的坐标为（6,6）；点F的坐标为1|,61V14丿(II)【解析】【分析】（I）根据折叠的性质可得/DOF=ZPOF=45，再由矩形的性质，即可求出F的坐标；由折叠的性质及矩形的特点，易得ADGF=APGE，得到DF=PE，再加上平行，可以得到四边形DEPF是平行四边形，在由对角线垂直，得出口DEPF是菱形，设菱形的边长为x,在RtAODE中，由勾股定理建立方程即可求解;（口）当OFF点共线

11、时OP的长度最短.【详解】解：（I）折痕为EF点P为点D的对应点.ADOF仝APOF/.ZDOF=ZPOF=45四边形OBCD是矩形，/.ZODF=90。/.ZDFO=ZDOF=45。.DF=DO=6点F的坐标为(6,6)T折痕为EF,点P为点D的对应点./.DG=PG,EF丄PDT四边形OBCD是矩形,/DC/OB,./ZFDG=ZEPG；ZDGF=ZPGE/.ADGF=APGE/.DF=PEDF/PE四边形DEPF是平行四边形.EF丄PD,DEPF是菱形.设菱形的边长为x,则DE=EP=xOP=7,/.OE=7x,在RtAODE中，由勾股定理得OD2+QB2二DE2/.62+(7-x)2=

12、x285解得x二14/DF/DF=8514.点F的坐标为（口）86（口）86【点睛】此题考查了几何折叠问题、等腰三角形的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，关键是根据折叠的性质进行解答，属于中考压轴题5阅读下列材料：我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形如正方形就是和谐四边形结合阅读材料，完成下列问题：命题：“和谐四边形一定是轴对称图形是命题(填真或假”).如图，等腰RtAABD中，ZBAD=90.若点C为平面上一点，AC为凸四边形ABCD的和谐线，且AB=BC,请求出ZABC的度数.【答案】(1)C;

13、(2)ZABC的度数为60或90或150.【解析】试题分析：(1)根据菱形的性质和和谐四边形定义，直接得出结论.(2)根据和谐四边形定义，分AD=CD,AD=AC，AC=DC讨论即可.根据和谐四边形定义，平行四边形，矩形，等腰梯形的对角线不能把四边形分成两个等腰三角形，菱形的一条对角线能把四边形分成两个等腰三角形够.故选C.T等腰RtAABD中，ZBAD=90，二AB=AD.TAC为凸四边形ABCD的和谐线，且AB=BC，分三种情况讨论：若AD=CD，如图1,则凸四边形ABCD是正方形，ZABC=90；若AD=AC，如图2,则AB=AC=BC，ABC是等边三角形，ZABC=60；若AC=DC，

14、如图3，则可求ZABC=150.质；5分类思想的应用.6.在厶ABC中，AD丄BC于点D，点E为AC边的中点，过点A作AF/BC，交DE的延长线于点F，连接CF.(1)如图1,求证：四边形ADCF是矩形；(2)如图2，当AB=AC时，取AB的中点G,连接DG、EG，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图中所有的平行四边形(不包括矩形ADCF).【答案】证明见解析；(2)四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形AGDE、四边形GDCE都是平行四边形.【解析】【分析】由厶AEFCED,推出EF二DE,又AE二EC,推出四边形ADCF是平行四边形，只要证明ZADC=90，即可推

15、出四边形ADCF是矩形.四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形AGDE、四边形GDCE都是平行四边形.【详解】证明：AF/BC,ZAFE=ZEDC,E是AC中点，AE=EC,在AEF和CED中，2AFE=ZCDEZAEF=ZCED，AE=ECV.厶AEF=ACED，EF=DE，AE=EC，.四边形ADCF是平行四边形，AD丄BC，.ZADC=90，.四边形ADCF是矩形.线段DG、线段GE、线段DE都是aABC的中位线，又AF/BC，.AB/DE，DG/AC，EG/BC，四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形AGDE、四边形GDCE都是平行四边形.【点睛】考查平

16、行四边形的判定、矩形的判定、三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质等知识，正确寻找全等三角形解决问题是解题的关键.7.ABC为等边三角形，AF=AB.ZBCD=ZBDC=ZAEC.求证：四边形ABDF是菱形.若BD是ABC的角平分线，连接AD，找出图中所有的等腰三角形.【答案】（1）证明见解析；图中等腰三角形有ABC，BDC,ABD,ADF，ADC，ADE.【解析】【分析】（1）先求证BDIIAF,证明四边形ABDF是平行四边形，再利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）先利用BD平分/ABC，得到BD垂直平分线段AC,进而证明DAC是等腰三角形，根据BD丄ACAF丄AC,找到

17、角度之间的关系证明DAE是等腰三角形，进而得到BC=BD=BA=AF=DF,即可解题，见详解.【详解】如图1中，VZBCD=ZBDC,BC=BD,ABC是等边三角形，.AB=BC,AB=AF,BD=AF,ZBDC=ZAEC,BDIIAF,.四边形ABDF是平行四边形，AB=AF,.四边形ABDF是菱形.解：如图2中，VBA=BC,BD平分ZABC,.BD垂直平分线段AC,.DA=DC,.DAC是等腰三角形，AFIIBD,BD丄AC.AFAC,ZEAC=90,ZDAC=ZDCA,ZDAC+ZDAE=90,ZDCA+ZAEC=90,ZDAE=ZDEA,.DA=DE,DAE是等腰三角形，bc=bd=

18、ba=af=df,:.BCD,ABD,ADF都是等腰三角形，综上所述，图中等腰三角形有ABC,BDC,ABD,ADF,ADC,ADE.图1圏2【点睛】本题考查菱形的判定，等边三角形的性质，等腰三角形的判定等知识，属于中考常考题型，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.8如图，现将平行四边形ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落在点B处.AB与CD交于点E.求证：AEDCEB；过点E作EF丄AC交AB于点F,连接CF,判断四边形AECF的形状并给予证明.【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】由题意可得AD=BC=BC,ZB=ZD=ZB,且/AED=ZCEB，利用AAS证明全等，则结论可得

19、；由厶AEDCEB可得AE=CE，且EF丄AC,根据等腰三角形的性质可得EF垂直平分AC,ZAEF=ZCEF.即AF=CF,ZCEF=ZAFE=ZAEF，可得AE=AF，则可证四边形AECF是菱形.【详解】证明：(1)四边形ABCD是平行四边形AD=BC,CDIIAB,ZB=ZD平行四边形ABCD沿其对角线AC折叠BC=BC,ZB=ZBZD=ZB,AD=BC且ZDEA=ZBECADE竺BEC(2)四边形AECF是菱形TADE竺BECAE=CETAE=CE,EF丄AC.EF垂直平分AC,ZAEF=ZCEFAF=CFTCDIIABZCEF=ZEFA且ZAEF=ZCEFZAEF=ZEFAAF=AEA

20、F=AE=CE=CF.四边形AECF是菱形【点睛】本题考查了折叠问题，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定，熟练掌握这些性质和判定是解决问题的关键.如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线BD上一动点(P与B、D不重合)，ZAPE=90，且点E在BC边上，AE交BD于点F.求证：PABPCB；PE=PC；AP在点P的运动过程中，；的值是否改变？若不变，求出它的值；若改变，请说明理由；设DP=x，当x为何值时，AEIIPC，并判断此时四边形PAFC的形状.【答案】(1)见解析；庶-启；(3)x=i-1；四边形PAFC是菱形.【解析】试题分析：(1)根据四边形ABCD是正方形，得出

21、AB=BC，ZABP=ZCBP，再根据PB=PB，即可证出厶PABPCB，根据ZPAB+ZPEB=180,ZPEC+ZPEB=180，得出ZPEC=ZPCB，从而证出PE=PC；根据PA=PC，PE=PC，得出PA=PE，再根据ZAPE=90，得出ZPAE=ZPEA=45，即可求AP出曲；先求出ZCPE=ZPEA=45，从而得出ZPCE，再求出ZBPC即可得出ZBPC=ZPCE，从而证出BP=BC=1，x=-1,再根据AEIIPC，得出ZAFP=ZBPC=67.5，由PABPCB得出/BPA=ZBPC=67.5,PA=PC,从而证出AF=AP=PC,得出答案.试题解析：(1)T四边形ABCD是

22、正方形，二AB=BC,乙ABP=ZCBP=ZABC=45.TPB=PB,PA胆PCB(SAS).由PABPCB可知，ZPAB=ZPCB.TZABE=ZAPE=90,.ZPAB+ZPEB=180,又:ZPEC+ZPEB=180,ZPEC=ZPAB=ZPCB,.PE=PC.AP在点P的运动过程中，山的值不改变.由厶PABPCB可知，PA=PC.TPE=PC,PA=PE,又TZAPE=90,竺.PAE是等腰直角三角形，ZPAE=ZPEA=45,.=.1TAEIIPC,ZCPE=ZPEA=45,.在厶PEC中，ZPCE=ZPEC=(180-45)=67.5.在厶PBC中，ZBPC=(180-ZCBP-

23、ZPCE)=(180-45-67.5)=67.5.ZBPC=ZPCE=67.5,.BP=BC=1,.x=BD-BP-1.TAEIIPC,ZAFP=ZBPC=67.5，由PABPCB可知，ZBPA=ZBPC=67.5,PA=PC,ZAFP=ZBPA,AF=AP=PC,.四边形PAFC是菱形.考点：四边形综合题.（本题14分）小明在学习平行线相关知识时总结了如下结论：端点分别在两条平行线上的所有线段中，垂直于平行线的线段最短.小明应用这个结论进行了下列探索活动和问题解决.问题1：如图1,在RtAABC中，ZC=90,AC=4,BC=3,P为AC边上的一动点，以PB,PA为边构造APAPBQ,求对角

24、线PQ的最小值及PQ最小时心的值.在解决这个问题时，小明构造出了如图2的辅助线，则PQ的最小值为，当PQ最小时AP=一；小明对问题1做了简单的变式思考.如图3,P为AB边上的一动点，延长PA到点E,使AE=nPA(n为大于0的常数).以PE，PC为边作dPCQE,试求对角线PQ长的最小值，并求PQ最小AP时的值；问题2：在四边形ABCD中,ADIIBC,AB丄BC,AD=1,AB=2,BC=3.(1)如图4,若为沐上任意一点，以为边作口皿1：；试求对角线小长的最小值AP和PQ最小时-二的值.囹4囹4(2)若为X上任意一点，延长到，使二久，再以为边作请AP直接写出对角线宀长的最小值和PQ最小时上三的值.112AP比【答案】问题1：(1)3,4(2)PQ=己，二=-：一-问题2：(1)八；=4,空AP_1上三-.(2)PQ的最小值为一；一一.上三【解析】试题分析：问题1：(1)首先根据条件可证