2022高考理数复习资料讲义：第2章 函数概念与基础初等函数 第9讲

1、PAGE19第9讲函数模型及其应用考纲解读1了解指数函数、对数函数及幂函数的增长特征，掌握求解函数应用题的步骤重点2了解函数模型及拟合函数模型；在同一坐标系中能对不同函数的图象进行比较3建立函数模型如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的，要正确地确定实际背景下的定义域，将数学问题还原为实际问题难点考向预测从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个冷考点预测2022年高考将主要考查现实生活中的生产经营、工程建设、企业的赢利与亏损等热点问题中的增长或减少问题，以一次函数、二次函数、指数、对数型函数及对勾函数模型为主，考查考生建模能力和分析解决问题的能力1七类常见函数模型函数模

2、型函数解析式一次函数模型faba，b为常数，a0反比例函数模型feqf,b，b为常数且0二次函数模型fa2bca，b，c为常数，a0指数函数模型fbaca，b，c为常数，b0，a0且a1对数函数模型fblogaca，b，c为常数，b0，a0且a1幂函数模型fanba，b为常数，a0“对勾”函数模型feqfa,a02指数、对数、幂函数模型的性质3解函数应用问题的步骤1审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型2建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型3解模：求解数学模型，得出数学结论4还原：将数学问题还原为实际问题以上过程用框

3、图表示如下：1概念辨析1在0，上，随着的增大，yaa1的增长速度会超过并远远大于y0的增长速度2指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题3对数函数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律答案1232小题热身12022湖北八校联考有一组试验数据如表所示：3y315则最能体现这组数据关系的函数模型是Ay211By21Cy2log2Dy3答案B解析根据表中数据可知，能体现这组数据关系的函数模型是y212高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数vfh的大致图象是答案B解析当hH时，体积为V，故排除

4、A，C；由H0过程中，减少相同高度的水，水的体积从开始减少的越来越快到越来越慢，故选B3据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y只与时间年近似地满足关系yalog32，观察发现2022年作为第1年到该湿地公园越冬的白鹤数量为3000只，估计到2022年到该湿地公园越冬的白鹤的数量为A4000只B5000只C6000只D7000只答案C解析当1时，由3000alog312，得a3000，所以到2022年冬，即第7年，y3000log3726000，故选C4有一批材料可以建成200 m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形如图所示，则

5、围成的矩形场地的最大面积为_m2围墙厚度不计答案2500解析设围成的矩形的长为m，则宽为eqf200,4m，则Seqf200,4eqf1,42200当100时，Sma2500 m2题型eqavs4al一用函数图象刻画变化过程1如图，不规则图形ABCD中：AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线lAB于E，当l从左至右移动与线段AB有公共点时，把四边形ABCD分成两部分，设AE，左侧部分面积为y，则y关于的大致图象为答案D解析由题意得，当增大时，左侧部分的面积y，开始时增大的速度快，后来均匀增大，最后缓慢增大，只有D选项符合题意2如图，矩形ABCD的周长为8，设AB13，线段MN的两端点在矩形的

6、边上滑动，且MN1，当N沿ADCBA在矩形的边上滑动一周时，线段MN的中点3和煤气费f元满足关系feqblcrcavs4alco1C，0A已知某家庭2022年前三个月的煤气费如下表：月份用气量煤气费一月份4 m4元二月份25 m14元三月份35 m19元若四月份该家庭使用了20 m3的煤气，则其煤气费为A元B11元C元D10元答案A解析根据题意可知f4C4，f25CB25A14，f35CB35A19，解得A5，Beqf1,2，C4，所以feqblcrcavs4alco14，05，所以f204eqf1,2205，故选A22022四川高考某食品的保鲜时间y单位：小时与储藏温度单位：满足函数关系ye

7、be为自然对数的底数，b为常数若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在答案24解析由题意得eqblcrcavs4alco1eb192,e22b48，即eqblcrcavs4alco1eb192,e11f1,2，所以该食品在33 的保鲜时间是ye33be113ebeqblcrcavs4alco1f1,2319224小时题型eqavs4al三构建函数模型的实际问题角度1构造一次函数、二次函数模型1已知直角梯形ABCD如图所示，CD2，AB4，AD2，线段AB上有一点年剩余面积为原来的eqfr2,2，则a1meqfr2,2a，即eqblcrcavs4alco1f

8、1,2eqsu,10eqblcrcavs4alco1f1,2eqsu,10eqf1,2，解得m5故到今年为止，该森林已砍伐了5年角度3构造分段函数模型3某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆为了便于结算，每辆自行车的日租金元只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y元表示出租自行车的日净收入即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分1求函数yf的解析式；2试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能

9、使一日的净收入最多解1当6时，y50115，令501150，解得，为整数，36，Z当6时，y50361153268115令32681150，有32681150，结合为整数得620，Zyeqblcrcavs4alco15011536，Z,3268115620，Z2对于y5011536，Z，显然当6时，yma185；对于y32681153eqblcrcavs4alco1f34,32eqf811,36185，当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多角度4构造yeqfa,a0型函数4某企业每年需要向自来水厂缴纳水费约4万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安

10、装这种净水设备的成本费单位：万元与管线、主体装置的占地面积单位：平方米成正比，比例系数约为为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费C单位：万元与安装的这种净水设备的占地面积单位：平方米之间的函数关系是Ceqf,502500，为常数记y为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和1试解释C0的实际意义，并建立y关于的函数关系式并化简；2当为多少平方米时，y取得最小值，最小值是多少万元解1C0表示不安装设备时每年缴纳的水费为4万元，C0eqf,2504，1000，yeqf1000,502504eqf80

11、,502y5eqf80,512eqr5f80,517，当5eqf80,5，即15时，ymin7，故当为15平方米时，y取得最小值7万元1解函数应用题的一般步骤第一步：审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：解模求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：反思对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性2建模的基本原则1在实际问题中，若两个变量之间的关系是直线上升或直线下降或图象为直线或其一部分，一般构建一次函数模型，利用一次函数的图象与性质求解2

12、实际问题中的如面积问题、利润问题、产量问题或其图象为抛物线或抛物线的一部分等一般选用二次函数模型，根据已知条件确定二次函数解析式结合二次函数的图象、最值求法、单调性、零点等知识将实际问题解决3实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解12022福建三明联考用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的eqf3,4，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是参考数据：lg2A3B4 C5D6答案B解析设至少要洗次，则eqblcrcavs4alco11f3,4eqf1,100，eqf1,lg2，因此至少需要洗4次，故选B2

13、某人准备购置一块占地1800平方米的矩形地块，中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路如图阴影部分所示，大棚占地面积为S平方米，其中ab12，若要使S最大，则y_答案45解析由题可得，y1800，b2a，则yab33S2a3b38a38eqfy3,318083eqf8,3y解法一：S18083eqf8,3eqf1800,1808eqblcrcavs4alco13f4800,0，18082eqr3f4800且仅当3eqf4800,，即40时取等号，S取得最大值此时yeqf1800,45所以当40，y45时，S取得最大值解法二：设Sf1808eqblcrcavs4alco13f4800,0，feqf4800,23eqf34040