人教A版新教材必修第一册《2.2 第2课时 基本不等式在实际问题中的应用》教案（定稿）

1、第2课时基本不等式在实际问题中的应用学习目标1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决生活中简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决几何中的应用问题导语同学们，数学是和生活联系非常紧密的学科，我们学习数学，也是为了解决生活中的问题，比如：“水立方”是2008年北京奥运会标志性建筑之一，如图为水立方平面设计图，已知水立方地下部分为钢筋混凝土结构，该结构是大小相同的左、右两个矩形框架，两框架面积之和为18 000 m2，现地上部分要建在矩形ABCD上，已知两框架与矩形ABCD空白的宽度为10 m，两框架之间的中缝空白宽度为5 m，请问作为设计师的你，应怎样设计矩形ABCD

2、，才能使水立方占地面积最小？要解决这个问题，还得需要我们刚学习过的基本不等式哦，让我们开始今天的探究之旅吧！一、基本不等式在生活中的应用问题利用基本不等式求最大(小)值时，应注意哪些问题？提示一正：x，y都得是正数；二定：积定和最小，和定积最大；三相等：检验等号成立的条件是否满足实际需要例1(教材46页例3改编)小明的爸爸要在家用围栏做一个面积为16m2的矩形游乐园，当这个矩形的边长为多少时，所用围栏最省，并求所需围栏的长度解设矩形围栏相邻两条边长分别为x m，y m，围栏的长度为2(xy)m.方法一由已知xy16，由eq f(xy,2)eq r(xy)，可知xy2eq r(xy)8，所以2(

3、xy)16，当且仅当xy4时，等号成立，因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m.方法二由已知xy16，可知yeq f(16,x)，所以2(xy)2eq blc(rc)(avs4alco1(xf(16,x)22eq r(xf(16,x)16.当且仅当xy4时，等号成立，因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m.延伸探究如果小明的爸爸只有12 m长的围栏，如何设计，才能使游乐园的面积最大？解由已知得2(xy)12，故xy6，面积为xy，由eq r(xy)eq f(xy,2)eq f(6,2)3，可得xy9

4、，当且仅当xy3时，等号成立因此，当游乐园为边长为3 m的正方形时，面积最大，最大面积为9 m2.反思感悟利用基本不等式解决实际问题的步骤(1)理解题意设变量，并理解变量的实际意义；(2)构造定值利用基本不等式求最值；(3)检验检验等号成立的条件是否满足题意；(4)结论跟踪训练1要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，求该容器的最低总造价解设该长方体容器底面的长和宽分别为a m，b m，成本为y元，由于长方体容器的容积为4 m3，高为1 m，所以底面面积Sab4，y20S102(ab)20(ab)80，由基本不等式可

5、得y20(ab)80202eq r(ab)80160(元)，当且仅当ab2时，等号成立，因此，该容器的最低总造价为160元二、基本不等式在几何中的应用例2如图所示，设矩形ABCD(ABBC)的周长为24，把它沿AC翻折，翻折后AB交DC于点P，设ABx.(1)用x表示DP，并求出x的取值范围；(2)求ADP面积的最大值及此时x的值解(1)矩形ABCD(ABBC)的周长为24，ABx，ADeq f(24,2)x12x，ABBCAD，得x12x，6x12，在APC中，PACPCA，所以APPC，从而得DPPB，APABPBABDPxDP，在RtADP中，由勾股定理得(12x)2DP2(xDP)2，

6、DP12eq f(72,x)(6x12)(2)在RtADP中，SADPeq f(1,2)ADDPeq f(1,2)(12x)eq blc(rc)(avs4alco1(12f(72,x)108eq blc(rc)(avs4alco1(6xf(432,x)(6x12)6x0)，则由DCAM得eq f(ND,ND3)eq f(4,4x)，解得NDeq f(12,x)，矩形AMPN的面积为S(4x)eq blc(rc)(avs4alco1(3f(12,x)243xeq f(48,x)242eq r(3xf(48,x)48，当且仅当3xeq f(48,x)，即x4时等号成立当BM4米时，矩形花坛AMPN

7、的面积最小1知识清单：(1)基本不等式在生活中的应用(2)基本不等式在几何中的应用2方法归纳：配凑法3常见误区：生活中的变量有它自身的意义，容易忽略变量的取值范围1用一段长为8 cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为()A9 cm2 B16 cm2C4 cm2 D5 cm2答案C解析设矩形模型的长和宽分别为x，y，则x0，y0，由题意可得2(xy)8，所以xy4，所以矩形模型的面积Sxyeq f(xy2,4)eq f(42,4)4，当且仅当xy2时，等号成立，所以当矩形模型的长和宽都为2 cm时，面积最大，为4 cm2.2港珠澳大桥通车后，经常往来于珠、港、澳三地的刘先生采用自驾出

8、行刘先生在某段时间内共加油两次，期间燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油，则下列说法正确的是()A采用第一种方案划算B采用第二种方案划算C两种方案一样D无法确定答案B解析假设第一次的油价为m元/升，第二次的油价为n元/升第一种方案的均价为eq f(30m30n,60)eq f(mn,2)eq r(mn)；第二种方案的均价为eq f(400,f(200,m)f(200,n)eq f(2mn,mn)eq r(mn).所以无论油价如何变化，第二种方案都更划算3某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增

9、长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则()Axeq f(ab,2) Bxeq f(ab,2)Cxeq f(ab,2) Dxeq f(ab,2)答案B解析由题意得，A(1a)(1b)A(1x)2，则(1a)(1b)(1x)2，因为(1a)(1b)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1a1b,2)2，所以1xeq f(2ab,2)1eq f(ab,2)，所以xeq f(ab,2)，当且仅当ab时取等号4. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个内接矩形花园(阴影部分)，矩形花园面积的最大值为_答案400解析由题意设矩形花园的长为x0，宽为y0，矩形花园的面积为xy，根

10、据题意作图，如图，因为花园是矩形，则ADE与ABC相似，所以eq f(AF,AG)eq f(DE,BC)，又因为AGBC40，所以AFDEx，FGy，所以xy40，由基本不等式xy2eq r(xy)，得xy400，当且仅当xy20时，矩形花园面积最大，最大值为400.1. 三国时期赵爽在勾股方圆图注中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为“_”的几何解释()A如果ab0，那么eq r(a)eq r(b)B如果ab0，那么a2b2C对任意正实数a和b，有a2b22ab，当且仅当ab时等号成立D对任意正实数a和b，有ab2eq r(ab)，当且仅当ab时等号成立答案C解

11、析可将直角三角形的两直角边长度取作a，b，斜边为c(c2a2b2)，则外围的正方形的面积为c2，也就是a2b2，四个阴影面积之和刚好为2ab，对任意正实数a和b，有a2b22ab，当且仅当ab时等号成立2汽车上坡时的速度为a，原路返回时的速度为b，且0ab，则汽车全程的平均速度比a，b的平均值()A大 B小C相等 D不能确定答案B解析令单程为s，则上坡时间为t1eq f(s,a)，下坡时间为t2eq f(s,b)，平均速度为eq f(2s,t1t2)eq f(2s,f(s,a)f(s,b)eq f(2,f(1,a)f(1,b)eq r(ab)eq f(ab,2).3将一根铁丝切割成三段做一个面

12、积为2 m2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是()A6.5 m B6.8 mC7 m D7.2 m答案C解析设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则eq f(1,2)ab2，ab4，labeq r(a2b2)2eq r(ab)eq r(2ab)42eq r(2)6.828(m)，当且仅当ab2时等号成立故C既够用，浪费也最少4. 如图所示，矩形ABCD的边AB靠在墙PQ上，另外三边是由篱笆围成的若该矩形的面积为4，则围成矩形ABCD所需要篱笆的()A最小长度为8B最小长度为4eq r(2)C最大长度为8D最大长度为4eq r(2)答

13、案B解析设BCa，CDb，因为矩形的面积为4，所以ab4，所以围成矩形ABCD所需要的篱笆长度为2ab2aeq f(4,a)2eq r(2af(4,a)4eq r(2)，当且仅当2aeq f(4,a)，即aeq r(2)时，等号成立，即所需要篱笆的最小长度为4eq r(2).5某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为900元，若每批生产x件，则平均仓储时间为eq f(x,4)天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A30件 B60件C80件 D100件答案B解析根据题意，生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和是900 xe

14、q f(x,4)900eq f(1,4)x2，设平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为y，则yeq f(900f(1,4)x2,x)eq f(900,x)eq f(x,4)(xN*)，由基本不等式，得eq f(900,x)eq f(x,4)2eq r(f(900,x)f(x,4)30，当且仅当eq f(900,x)eq f(x,4)，即x60时，等号成立，即每批生产产品60件时，平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小6(多选)已知某出租车司机为升级服务水平，购入了一辆豪华轿车投入运营，据之前的市场分析得出每辆车的营运总利润y(万元)与运营年数x的关系为yx212x25，则下列判断

15、正确的是()A车辆运营年数越多，收入越高B车辆在第6年时，总收入最高C车辆在前5年的平均收入最高D车辆每年都能盈利答案BC解析由题意可知，yx212x25，是开口向下的二次函数，故A错误；对称轴x6，故B正确；eq f(y,x)x12eq f(25,x)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(25,x)122eq r(25)122，当且仅当x5时，等号成立，故C正确；当x1时，y14，故D错误7矩形的长为a，宽为b，且面积为64，则矩形周长的最小值为_答案32解析由题意，矩形中长为a，宽为b，且面积为64，即ab64，所以矩形的周长为2a2b2aeq f(128,a)2eq r(212

16、8)32，当且仅当a8时，等号成立，即矩形周长的最小值为32.8. 如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上、下空白各宽2 dm，左、右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是_ dm2.答案56解析设阴影部分的高为x dm，则宽为eq f(72,x) dm，四周空白部分的面积是y dm2.由题意，得y(x4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(72,x)2)7282eq blc(rc)(avs4alco1(xf(144,x)822eq r(xf(144,x)56(dm2)，当且仅当xeq f(144,x)，即x12时等号成立即四周空白部

17、分面积的最小值为56 dm2.9. 如图，墙角线互相垂直，长为a m的木棒AB的两个端点分别在这两墙角线上，如何放置木棒才能使围成区域的面积最大？解设OAx m，OBy m，因为OAOB，所以OA2OB2AB2，即x2y2a2，由基本不等式，得xyeq f(1,2)(x2y2)eq f(1,2)a2，当且仅当xyeq f(r(2),2)a时，等号成立，所以SAOBeq f(1,2)xyeq f(a2,4)，所以当OAOBeq f(r(2),2)a m，即当放置木棒使A，B到O点的距离相等时，木棒围成区域的面积最大10为了增强生物实验课的趣味性，丰富生物实验教学内容，我校计划沿着围墙(足够长)划

18、出一块面积为100平方米的矩形区域ABCD修建一个羊驼养殖场，规定ABCD的每条边长均不超过20米如图所示，矩形EFGH为羊驼养殖区，且点A，B，E，F四点共线，阴影部分为1米宽的鹅卵石小径设ABx(单位：米)，养殖区域EFGH的面积为S(单位：平方米)(1)将S表示为x的函数，并写出x的取值范围；(2)当AB为多长时，S取得最大值？并求出此最大值解(1)因为ABx，所以ADeq f(100,x)，EFx2，FGeq f(100,x)1，所以S(x2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(100,x)1)102eq f(200,x)x，因为0 x20,0eq f(100,x)20，解得

19、5x20，所以S102eq f(200,x)x，5x20.(2)S102eq f(200,x)x1022eq r(xf(200,x)10220eq r(2)，当且仅当x10eq r(2)时，等号成立，经验证，符合题意，即当AB10eq r(2)米时，S取得最大值，最大值为(10220eq r(2)平方米11. 无字证明是指只用图象而无需文字解释就有不证自明的数学命题，由于其不证自明的特性，这种证明方式被认为比严格的数学证明更为优雅与条理，现有如图所示图形，在等腰RtABC中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边上异于顶点的一个动点，设ADa，BDb，则该图形可以完成的无字证明为()A.eq f(a

20、b,2)eq r(ab)(a0，b0)B.eq f(2ab,ab)eq r(ab)(a0，b0)C.eq f(ab,2)eq r(f(a2b2,2)(a0，b0)Da2b22eq r(ab)(a0，b0)答案C解析由题意知，ABADBDab，COeq f(1,2)(ab)，ODOBDBeq f(1,2)(ab)beq f(1,2)(ab)，在RtOCD中，CD2OC2OD2eq f(ab2,4)eq f(ab2,4)eq f(a2b2,2)，因为OCCD，所以eq f(ab,2)eq r(f(a2b2,2)(当且仅当ab时等号成立)12中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三

21、边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式Seq r(ppapbpc)求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦秦九韶公式现有一个三角形的边长满足a6，bc8，则此三角形面积的最大值为()A3eq r(7) B8 C4eq r(7) D9eq r(3)答案A解析由题意知，p7，Seq r(77a7b7c)eq r(77b7c)eq r(7)eq f(7b7c,2)3eq r(7)，当且仅当7b7c，即bc4时，等号成立，因此三角形面积的最大值为3eq r(7).13某商场对商品进行两次提价，现提出四种提价方案，提价幅度较大的一种是()A先提价

22、p%，后提价q%(pq)B先提价q%，后提价p%(pq)C分两次提价eq f(pq,2)%(pq)D分两次提价eq r(f(p2q2,2)%(pq)答案D解析设提价前的价格为1，由题意可知，A，B选项的两次提价后的价格均为(1p%)(1q%)；C选项的提价后的价格为eq blc(rc)(avs4alco1(1f(pq,2)%)2，D选项的提价后的价格为eq blc(rc)(avs4alco1(1r(f(p2q2,2)%)2，又eq f(pq,2)eq r(f(p2q2,2)，(1p%)(1q%)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(pq,2)%)20)，右臂长为b(b0)，则ab，再设先称得黄金为x g，后称得黄金为y g，则bx5a，ay5b，xeq f(5a,b)，yeq f(5b,a)，xyeq f(5a,b)eq f(