高考数学专题复习精课件-06函数的解析式

1、函数解析式 在给定条件下求函数的解析式 f(x), 是高中数学中经常涉及的内容, 形式多样, 没有一定的程序可循, 综合性强, 解起来有相当的难度, 但是只要认真仔细去探索, 还是有一些常用之法. 下面谈谈求函数解析式 f(x) 的方法.一、配凑法例1 已知 f( )= + , 求 f(x). xx+1x2x2+1x1f(x)=x2-x+1(x1). 解: f( )= + xx+1x2x2+1x1=1+ +x21x1=( +1)2-( +1)+1 x1x1并且 1, xx+1=( )2-( )+1 xx+1xx+1评注: 若在给出的函数关系式中 与 的关系不明显时, 要通过恒等变形寻找二者的关

2、系. + x2x2+1x1xx+1二、换元法 所以 f(x)=2lnx-3 (x0). 评注: 通过换元, 用“新元”代替原表达式中的“旧元”, 从而求得 f(x). 又如: 已知 f(cosx-1)=cos2x. 求 f(x). 例2 已知 f(ex)=2x-3, 求 f(x). 解: 设 t=ex, 则 x=lnt 且 t0, 有:f(t)=2lnt-3 (t0). f(x)=2x2+4x+1(-2x0) 三、解方程组法例3 已知 f(x)+f( )=1+x (x0, 1), 求 f(x). xx-1解: 记题中式子为式, 用 代替中的 x, 整理得:xx-1f( )+f( )= , xx

3、-11-x1x2x-1再用 代替中的 x, 整理得:1-x1f( )+f(x)= , 1-x11-x2-x解由 , , 组成的方程组, 得: 2x(x-1)x3-x2-1f(x)= . 评注: 把 f(x), f( ), f( ) 都看作“未知数”, 把已知条件化为方程组的形式解得 f(x). 又如: 已知 af(x)+bf( )=cx, 其中, |a|b|, 求 f(x). xx-1 1-x 1 1xf(x)= (ax- ). a2-b2cbx四、递推求和法 例4 已知 f(n)-f(n-1)=an, n 为不小于 2 的自然数, a0 且f(2)=8, 求 f(n) 的解析式.解: 由已知

4、, f(3)-f(2)=a3, f(4)-f(3)=a4, , f(n)-f(n-1)=an, 将这(n-2)个式子相加, 得: 评注: 这是运用数列中递推公式的思想. f(n)-f(2)=a3+a4+an=n-2 (a=1 时); a3(1-an-2)(1-a)-1 (a1 时). f(n)= n+6 (a=1 时); 8+(a3-an+1)(1-a)-1 (a1 时). f(2)=8, 五、待定系数法例5 设 f(2x)+f(3x+1)=13x2+6x-1, 求 f(x). 解: 由原式可知 fg(x) 中的 g(x) 一个是 2x, 另一个是 3x+1, 都是一次式.而右端是二次式，故

5、f(x) 是一个二次式, 则可设: f(x)=ax2+bx+c, 从而有: f(2x)+f(3x+1)=13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c). 比较系数得: a=1, b=0, c=-1. 从而有: f(x)=x2-1. 评注: 先分析出 f(x) 的基本形式, 再用待定系数法, 求出各系数.又由已知 f(2x)+f(3x+1)=13x2+6x-1, 13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c) 与 13x2+6x-1 表示同一个式子, 即 13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c)13x2+6x-1 . 例6 已知 fff(x)=27x+13, 且 f(x) 是一次式, 求

6、f(x). 解: 由已知可设 f(x)=ax+b, 则: 六、迭代法ff(x)=a2x+ab+b. fff(x)=a3x+a2b+ab+b. 由题意知: a3x+a2b+ab+b27x+13. 比较系数得: a=3, b=1. 故 f(x)=3x+1. 评注: 本题的解法除了用迭代法, 还用了待定系数法. 七、数学归纳法例7 已知 f(n+1)=2+ f(n)(nN+), 且 f(1)=a, 求 f(n). 12解: f(1)=a f(2)=2+ a 12=4-21+2-1a, 故猜想: f(n)=4-23-n+21-na, 用数学归纳法证明如下: f(5)=2+ f(4) 12f(3)=2+

7、 f(2)=3+ a 1214=4-20+2-2a, f(4)=2+ f(3)= + a 127218=4-2-1+2-3a, =4-2-2+2-4a, =4-22+20a, 证明从略.故 f(n)=4-23-n+21-na. 评注: 先用不完全归纳法摸索出规律, 再用数学归纳法证明, 适用于自然数集上的函数. 课堂练习1.已知 f(x) 是一次函数, 且 ff(x)=4x-1, 求 f(x) 的解析式.5.若 3f(x-1)+2f(1-x)=2x, 求 f(x).2.已知 f(4x+1)= , 求 f(x) 的解析式. 4x+616x2+14.已知 2f(x)+f(-x)=10 x , 求

8、f(x). 6.已知 f(0)=1, f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1), 求 f(x). 7.已知 f(x) 是 R 上的偶函数, 且 f(x+4)=f(-x), 当 x(-2, 2)时, f(x)=-x2+1, 求当 x(-6, -2) 时 f(x) 的解析式.f(x)=-2x+1 或 2x- 13x+5 x2-2x+2 f(x)= f(x)=x2-1(x1) f(x)= 10 x - 10-x 1323f(x)=2x+ 25f(x)=x2+x+1 f(x)=-x2-8x-158.已知函数 f(x)= 求 f(x+1) . x2, x0, +), , x(-, 0), 1xf(x+

9、1)= (x+1)2, x-1, +). , x(-, -1), x+1 1 3.已知 f( x +1)=x+2 x , 求 f(x). 9.已知 F(x)=f(x)-g(x), 其中 f(x)=loga(x-b), 当且仅当点 (x0, y0)在 f(x) 的图象上时, 点 (2x0, 2y0) 在 y=g(x) 的图象上(b1, a0 且a1), (1)求 y=g(x) 的解析式; (2)当 F(x)0 时, 求 x 的范围.解: (1) 由已知 y0=loga(x0-b),2y0=g(2x0) g(x)=2loga( -b). x2(2) 由(1) 知: F(x)=f(x)-g(x)=loga(x-b)-2loga( -b). x2故由 F(x)0 可得: loga(