托勒密定理与圆的其它定理

1、.托勒密定理定理图定理的内容 托勒密(Ptolemy)于两条对角线的乘积。 原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等共圆性的基本性质定理提出定理的内容 。摘出并完善后的托勒密 (Ptolemy) 定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。定理表述：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式， 托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质定理内容指圆内接 凸四边形 两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。证明一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。）

2、在任意凸四边形 ABCD 中(如右图)，作ABE 使BAE=CAD ABE=ACD, 连接 DE.则ABEACD所以 BE/CD=AB/AC, 即 BEAC=ABCD (1)学习参考.由ABEACD 得 AD/AC=AE/AB, 又BAC=EAD,所以ABCAED.BC/ED=AC/AD, 即 EDAC=BCAD(1)+(2),又因为 BE+EDBD（仅在四边形 ABCD 是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）复数证明用a、b、c、d分别表示四边形顶点 A、B、C、D的复数，则 AB、CD、ADBCACBD的长度分别是：(a-b)(c-d)(a-d)(b-c)(a-c)(b-d)。

3、首先注意到复数恒等式： (ab)(cd) + (ad)(bc) = (ac)(b d模(a-b)(c-d) 与(a-d)(b-c) 的辐角相等，这与 A、B、C、D同一平面。 平面上，托勒密不等式是三角不等式的 反演形式。二、ABCD。 在BC圆周角BAC = BDC，而在AB，ADBACBACK，使得ABKCBD； 因为+ CBK = ABC = CBD + ABD，所以CBK = ABD。因此ABK 与DBC相似ABD KBCAK/ABCD/BDCK/BCDA/BDAKBDABCD，且 CKBDBCDA； 两式相加，得(AK+CK)BD = ABCD + BCDA；AK+CK = ACAC

4、BD = ABCD + BCDA。证毕。三、托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩的面积)等于两组对边乘积之和 (一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和 )已知：圆内接四边形 ABCD ，求证： ACBD=ABCD+ADBC证明：如图 1，过 C 作 CP 交 BD 于 P，使1=2，又3=4，ACDBCP得 AC：BC=ADBP，ACBP=ADBC 。又ACB=DCP，学习参考.5=6，ACBDCP得 AC：CD=ABDP，ACDP=ABCD 。+ 得 AC(BP+DP)=ABCD+ADBC 即 ACBD=ABCD+ADBC四、广义托勒密定理：设四边形 A

5、BCD 四边长分别为 a,b,c,d, 两条对角线长分别为 m,n，则有：m2*n2=a2*c2+b2*d2-2abcd*cos(A+C)推论任意凸四边形 ABCDACBDABCD+ADBC，当且仅当 时取等号。逆定理于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆、推广托勒密不等式 ：凸四边形的两组对边乘积和不小于其对角线的乘积， 取等号当且仅当共圆或共线。简单的证明：复数恒等式： (a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d) ，两边取模，得不等式 ACBD|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a- d)|=ABCD+BCAD 运用要点等号成立的条件是 (a-b)(c-d)

6、(a-d)(b-c)ABC、D四点不限于同一平面。欧拉定理 ：在一条线段上 AD 上，顺次标有 B、C 两点，则ADBC+ABCD=ACBD弦切角定理学习参考.弦切角定义顶点在圆上，一边和圆相交，另图示一边和圆相切的角叫做 弦切角。(弦切角就是 切线与弦所夹的角）如右图所示，直线 PT 切圆 O 于点 C，BC、AC 为圆 O 的弦， TCB，TCA，PCA，PCB 都为弦切角。弦切角定理弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.弦切角理证明：证明一：设圆心为 O，连接 OC，OB,。TCB=90-OCBBOC=180-2OCB,BOC=2 TCB（一半）BOC=2CAB（圆

7、心角等于圆周角的两倍）TCB=CAB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）ACOABOA 为切点，弧是弦切角 BAC的弧.弦切角定理证明：分三种情况：（1） 圆心 O 在 BAC 的一边 AC 上学习参考.AC 为直径， AB 切 O 于 A，CmA=CA为半圆 , CAB=90= 弦 CA 所对的圆周角B 点应在 A 点左侧OBAC 的内部. AADOD,若在优弧 m 所对的劣弧上有一点 E 那么，连接 EC、ED、EACED=CADDEA=DAB CEA=CAB （弦切角定理）OBAC 的外部, AADOD那么 CDA+CAD=CAB+CAD=90CDA=CAB（弦切角定理）弦切角推

8、论学习参考.推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1RtABCC=90AB为弦的O与AC相切于点 ACBA=60 , AB=a 求 BC解：连结 OA，OB.在 RtABC 中, C=90BAC=30BC=1/2a(RT 中 30角所对边等于斜边的一半）2ADABCBAC 的平分线，经过点 AOBCDAB，ACE，F.求证： EFBC. 证明：连 DF.AD是BAC的平分线BAD=DACEFD=BADEFD=DACOBCD FDC=DACEFD=FDC EFBC学习参考.3：如图，ABC 内接于 O，ABOCDABD，MNOC， ACMCD，BCNCD.证明： AB 是

9、 O 直径ACB=90CDABACD=B，MN 切 O 于 CMCA=B， MCA= ACD， ACMCD，同理： BC 平分 NCD.相交弦定理概念相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两弦，各弦被这点所分成的两段的积相等）学习参考.相交弦说明几何语言：若弦 AB、CD 交于点 P则 PAPB=PCPD（相交弦定理）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项几何语言：ABCDABP， 则 PC2=PAPB（相交弦定理推论）如何证明证明：连结 AC，BD，由圆周角定理 的推论，得 A=DC=B（推论2: 同(等)弧所对圆周角

10、相等 .）PACPDBPAPD=PCPB，PAPB=PCPD注：其逆定理可作为证明圆的内接四边形的方法 . P 点若选在圆内任意一点更具一般性。其逆定理也可用于证明四点共圆。比较相交弦定理、切割线定理 及割线定理 (切割线定理推论 )以及他们的推论统称为 圆幂定理。一般用于求线段长度。切割线定理学习参考.定理切割线定理：从圆外一点引圆的 切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的 比例中项 。是圆幂定理 的一种。切割线定理示意图几何语言：PT 切O 于点 T，PBA 是O 的割线PT 的平方=PAPB（切割线定理）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长

11、的积相等几何语言：PBA，PDCOPDPC=PAPB（切割线定理推论） (割线定理 ） 由上可知 :PT 的平方=PAPB=PCPD证明切割线定理证明 :ABPOPTO 的一条切线，切点为 TPT2=PAPB证明：连接 AT, BTPTB=PAT( 弦切角定理 )切割线定理的证明P=P(学习参考.PBTPTA(两角对应相等 ,两三角形相似 ) PB：PT=PTAP即：PT2=PBPA比较论统称为圆幂定理。一般用于求直线段长度。圆幂定理求助编辑百科名片圆幂定理圆幂定理是对相交弦定理切割线定理及（切割线定理推论推论统一归纳的结果。定义圆幂=PO2-R2（）所以圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数

12、，圆上的点的幂为零。相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。切割线定理：从圆外一点引圆的 切线和割线， 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的 比例中项 。割线定理： 从圆外一点 P 引两条割线与圆分别交于 ABCD统一归纳：过任意不在圆上的一点P引两条直线 L1、L2，L1与圆交于 A、B（重合，即切线），L2与圆交于 C、D（可重合则有 PAPB=PCPD。证明圆幂定理（相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统一归纳为圆幂定理）学习参考.问题 1相交弦定理：圆内的两条相交弦 ,被交点分成的两条线段长的乘积相等。证明：连结 AC，BD，由圆周角定理 的推论，得 A

13、=D， C=B。PACPDBPA/PD=PC/PBPAPB=PCPD问题 2PA.B.C.DPAPB=PCPD，当 PA=PBAB 重合，即 PAPA2=PCPD证明：（令 A 在 P、B 之间， C 在 P、D 之间）ABCD 为圆内接四边形CAB+CDB=180 CAB+PAC=180PAC=CDB APC 公共APCDPBPA/PD=PC/PBPAPB=PCPD切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项几何语言： PT 切 O 于点 T，PBA 是 O 的割线PT2=PAPB（切割线定理）推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的

14、交点的两条线段长的积相等几何语言： PBA、PDC 是 O 的割线PDPC=PAPB（切割线定理推论）问题 3过点 P 任作直线交定圆于两点 A、B，证明 PAPB 为定值（圆幂定理）。证：以 P 为原点，设圆的方程为(x-xO)2+(y-yO)2=a 过 P 的直线为x=k1t学习参考.y=k2t则 A、B 的横坐标是方程(k1t-xO)2+(k2t-yO)2=r2 即(k12+k22)t2-2(k1xO+k2yO)t+xO2+yO2-r2=0 的两个根 t1、t2。由韦达定理t1t2=(xO2+yO2-2)/(k12+k22) 于是PAPB=(k1t1)2+(k2t1)2)(k1t2)2+

15、(k2t2)2)=(k12+k22)2|t1|t2|=k12+k22|(xO2+yO2-r2)/(k12+k22)|=|(xO2+yO2-r2)| 为定值，证毕。圆也可以写成x2+y2-2xOx-2yOy+xO2+yO2-a=0 其中 a为圆的半径的平方。所说的定值也就是（原点）与圆心O的距离的平方去半径的平方。当 P在圆外时，这就是自 P向圆所引切线（长）的平方。这定值称为点 P 到这圆的幂。在上面证明的过程中，我们以 P 为原点，这样可以使问题简化。如果给定点 O，未必是原点，要求出 P 关于圆的幂（即OP2-r2AB是 的倾斜角， 表示直线上的点与 的距离 将代入得即， 是它的两个根，所

16、以由韦达定理是定值是 关于的幂（当 是原点时，这个值就是它也可以写成即 与圆心 距离的平方减去半径的平方当 P 在圆内时，幂值是负值； P 在圆上时，幂为 0；P 在圆外时，幂为正值，这时幂就是自 P 向圆所引切线长的平方。以上是圆幂定理的证明，下面看一看它的应用学习参考.问题 4自圆外一点 向圆引割线交圆于 、 两点，又作切线 、 ， 、 为切点， 与 相交于 ，如图 8求证 、 、 成调和数列，即证：设圆的方程为点 的坐标为 ， 的参数方程为其中 是 的倾斜角， 表示直线上的点 与 的距离代入得即、 是它的两个根，由韦达定理另一方面，直线 是圆的切点弦，利用前边的结论，的方程为代入得因此，

17、这个方程的根 满足综合，结论成立。可以证明，当 在圆内时，上述推导及结论仍然成立。说明：问题 4的解决借用了问题 3的方法，同时我们也看到了问题4与问题 1、问题 2 的内在联系。西姆松定理西姆松定理图示（此线常称为西姆松线）学习参考.西姆松定理说明相关的结果有：垂心H。西姆松线和 PHPH九点圆上。两点的西姆松线的交角等于该两点的 圆周角。若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P对应两者的姆松线的交角，跟 P的位置无关。三角形的三边所引垂线的垂足共线的 在三角形的外接圆上。(5) 过三角形垂心的任意直线都是三角形的的西姆松线证明ABC 外接圆上有点 PPEACE，PFBCF，PDAB D

18、，分别连 FE、FD、BP、CP.P、B、D、FP、F、C、EA、D、P、E在 PBDF 圆内，DBP+DFP=180 度，在 ABPC 圆内ABP+ACP =180 度，ABP=DBP于是DFP=ACP ，在 PFCE 圆内 PFE=PCE 而ACP+PCE=180 DFP+PFE=180 即D、F、E 共线. 反之，当D、F、E 共线时，由可见A、证明一（图） B、P、C证明二：如图，若 L、M、N 三点共线，连结 BP，CP，则因 PL 垂直于BC，PM 垂直于 AC，PN 垂直于 AB，有 B、L、P、N 和学习参考.P、M、C、L 分别四点共圆，有NBP = N LP= M LP=

19、MCP.A、B、P、CA、P、B、CN BP= MCP。因 PLBC，PMAC，PNAB， B、L、P、NP、M、C、LNBP = N LP= MCP= M LP.L、M、N相关性质的证明连 AH 延长线交圆于 G,PGR,BC如图连其他相关线段AHBC,PFBC=AG/PF=1=2A.G.C.P 共 圆 =2=3 PEAC,PFBC=P.E.F.C 共圆=3=4学习参考.=1=4PFBC=PR=RQ BHAC,AHBC=5=6A.B.G.C 共圆=6=7=5=7AGBC=BC 垂直平分 GH=8=2=48+9=90,10+4=90=9=10=HQ/DF=PM=MH第二个问，平分点在九点圆上，

20、如图：设O,G,H 分别为三角形 ABC外心，重心和垂心。则 O 是,确定九点圆的中点三角形 XYZ 的垂心，而 G 还是它的重心。那么三角形 XYZ 的外心 O1 ， 也在同一直线上，并且HG/GO=GO/GO1=2 ，所以 O1 是 OH 的中点。ABCXYZ圆心都在 OH 上，并且两圆半径比为 1:2所以 G 是三角形 ABC 外接圆和三角形 XYZ 外接圆(九点圆)的反位似中心(相似点在位似中心的两边 ),H 是正位似中心 (相似点在位似中心的同一边)。所以H到三角形 ABC的外接圆上的连线中点必在三角形DEF的外接圆上。垂径定理求助编辑百科名片垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且平

21、分这条弦所对的两条弧 如图 DCDCAE=EBACBC学习参考.定义垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。逆定理：平分弦（不是直径）或平分弧的直径垂直于弦。证明如图 ，在 ODC 为直径， ABABDC，AB、CDEAE=BEACBCAD= 弧 BD垂径定理证明图连 OA、OBOA、OB 是半径OA=OB OAB 是等腰三角形ABDCAE=BEAOE=BOE（等腰三角形三线合一）ADBDAOC=BOC弧 AC=弧 BC推论推论一:平分弦(不是直径 )的直径垂直于这条弦 ,并且平分这条弦所对的两段弧推论二:弦的垂直平分线经过圆心 ,并且平分这条弦所对的弧推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂

22、直平分这条弦,并且平分这条弦所对的一条弧推论四:在同圆或者等圆中 ,两条平行弦所夹的弧相等(证明时的理论依据就是上面的五条定理 )但是在做不需要写证明过程的题目中 ,可以用下面的方法进行判断 :一条直线，在下列 5 条中只要具备其中任意两条作为条件 ,就可以推出其他三条结论平分弦所对的优弧学习参考.平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）垂直于弦经过圆心圆的有关性质知识点圆、圆的对称性、点和圆的位置关系、不在同一直线上的三点确定一个圆、三角形的外接圆、垂径定理逆定理、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系、圆周角定理、圆内接四边形的性质大纲要求正确理解和应用圆的点集定义，掌握点和圆的

23、位置关系；熟练地掌握确定一个圆的条件，即圆心、半径；直径；不在同一直线上三点。一个圆的圆心只确定圆的位置， 而半径也只能确定圆的大小， 两个条件确定一条直线，三个条件确定一个圆，过三角形的三个顶点的圆存在并且唯一；熟练地掌握和灵活应用圆的有关性质：同（等）径是半径的 2 倍；直径是最大的弦；圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线都是对称轴；圆是 中心对称图形 ，圆心是对称中心；圆具有旋转不变性；垂径定理及其推论； 圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系；掌握和圆有关的角：圆心角、圆周角的定义及其度量；圆心角等于同（等弧上的圆周角的 2 倍；同（等）弧上的圆周角相等；直径（半圆）上的圆周角是直角

24、； 90的圆周角所对的弦是直径；决有关问题；（1）条弦”“平分这另一条弦”“平分这另一条弦所对的劣弧”“ 平分这另一条弦所对的优弧”的五个条件中任意具有两个条件，则必具有另外三个结论（当为条 件时要对另一条弦增加它不是直径的限制） ，条理性的记忆，不但简化了对它实际代表的 10 条定理的记忆且便于解题时的灵活应用，垂径定理提供了证明线段相等、角学习参考.相等、垂直关系等的重要依据； （2）有弦可作弦心距组成垂径定理图形；见到直径要想到它所对的圆周角是直角，想垂径定理；想到过它的端点若有切线，则与它垂直，反之，若有垂线则是切线，想到它被圆心所平分； （3）见到四个点在圆上想到有 4相等的同弧所对

25、的圆周角，要想到应用圆内接四边形的性质。考查重点与常见题型考查学生对基本概念和基本定理的正确理解，如：下列语句中，正确的有（）(A)相等的圆心角所对的弧相等(B)平分弦的直径垂直于弦(C)长度相等的两条弧是等弧(D)弦过圆心的每一条直线都是圆的对称轴证明重点考查了全等三角形和相似三角形判定，垂径定理及其推论、圆周角、圆心角的性质及切线的性质，弦切角等有关圆的基础知识，常以解答题形式出现。二，知识点相交弦定理、切割线定理及其推论大纲要求正误相交弦定理、切割线定理及其推论；了解圆幂定理的内在联系；熟练地应用定理解决有关问题；注意（ 1）圆和相似三角形结合的产物。这几个定理可统一记忆成一个定理：过圆

26、内或圆外一点作圆 的两条割线，则这两条割线被圆截出的两弦被定点分（内分或外分）成两线段长的积 相等（至于切线可看作是两条交点重合的割线） 。使用时注意每条线段的两个端点一个是公共点，另一个是与圆的交点；（2）见圆中有两条相交想到相交弦定理；见到切线与一条割线相交则想到切割线定理；若有两条切线相交则想到切线长定理，并熟悉此时图形中存在着一个以交点和圆心连线为对称轴的对称图形。考查重点与常见题型割线定理及其推论，相交弦定理及圆的一些知识。常见题型以中档解答题为主，也有一些出现在选择题或填空割线定理学习参考.定义割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。从圆外一点 P 引两条割线与圆分别交于 A.B.C.D 则有 LALB=LCLD。如下图所示。(LT 是切线）相关及证明概述切割线定理相交弦定理证明如图直线 ABPCDPPO 的两条割线，则 PAPB=PCPD 证明:连接 AD、BCACBD由，得 A=C APD=CPBADPCBPAP:CP=DP:BP, 也就是 AP