第3章随机变量的数字特征之方差-概率论课件

1、 上节介绍了随机变量的数学期望，它反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.复习五条性质: 2022/10/141 上节介绍了随机变量的数学期望，2 方差 上节的例1 甲班有30名学生，他们的数学考试成绩(按五级记分)如右表所示,成绩 1 2 3 4 5人数 2 5 10 8 5成绩 1 2 3 4 5人数 0 0 14 6 0 乙班则该班的平均成绩也是 你认为两个班的成绩一样吗? 为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度.这个数字特征就是我们要介绍的 数学期望体现的是随机变量取值的平均水平,是随机变量的一个 重要数字特征.则该班的平均成绩

2、2022/10/1422 方差 上节的例1 甲班有30名学生，他们的2.方差 (Variance 或 Dispersion)定义.设X是一随机变量，则称EX-E(X)2称为X的方差,记作D(X)即方差的算术平方根称为 X 的标准差，记作即若EXE(X)2存在，2022/10/1432.方差 (Variance 或 Dispersion)定义注:(2) 方差D(X) 用来体现随机变量X取值分散的程度,反映了X偏离其数学期望E(X)的程度.(3) 如果D(X)值越大(小)，表示X取值越分散(集中),以E(X)作为随机变量X的代表性越差（好）.0 ;(1) 由定义知，D(X)=EX-E(X)2202

3、2/10/144注:(2) 方差D(X) 用来体现随机变量X取值分散的程度,3. 方差的计算 (1)利用随机变量函数的数学期望公式离散随机变量的方差连续随机变量的方差2022/10/1453. 方差的计算 (1)利用随机变量函数的数学期望公式离散随PX -1 0 1 2 0.1 0. 1 0.5 0.3解：求例1. 设随机变量X的分布列为=0.82022/10/146PX -1 0 (2)利用方差公式且E(X2)也存在,则证明:定理：设随机变量X的数学期望E(X)存在，2022/10/147(2)利用方差公式且E(X2)也存在,则证明:定理：设随机变PX -1 0 1 2 0.1 0. 1 0

4、.5 0.3求例1(续). 设随机变量X的分布列为PX2 1 0 1 4 0.1 0. 1 0.5 0.3PX2 1 0 4 0.6 0. 1 0.32022/10/148PX -1 0 解:例2.若XB(n, p), 求方差D(X).已求得=E(X),其中XB(n-1, p)2022/10/149解:例2.若XB(n, p), 求方差D(X).已求得=E解:例3. 若求D(X).已求得=E(X),其中XP( lambda )2022/10/1410解:例3. 若求D(X).已求得=E(X),其中XP( l已求得例4.若XU (a, b), 求D(X).解:2022/10/1411已求得例4.

5、若XU (a, b), 求D(X).解:202解:例5. 若求D(X).已求得=E(X),其中Xe( 1)2022/10/1412解:例5. 若求D(X).已求得=E(X),其中Xe( 指数分布r 为整数 n 时， (n) = (n 1)! 2022/10/1413指数分布r 为整数 n 时， (n) = (n 1)! U(a, b) e( ) P( ) B(n, p) (01) p pq np npq 常用随机变量的期望与方差分布分布列或密度函数期望方差2022/10/1414U(a, b) e( ) P( ) B(n, p) 二、方差的性质证:证:2022/10/1415二、方差的性质证:

6、证:2022/10/1115证:2022/10/1416证:2022/10/1116例.已知随机变量X的数学期望E(X)与设随机变量试证证：(标准化的随机变量)都存在,且2022/10/1417例.已知随机变量X的数学期望E(X)与设随机变量试证证：(标求解：例.设 X1, X2 相互独立，由X1, X2 相互独立，有2022/10/1418求解：例.设 X1, X2 相互独立，由X1, X2 相互独2022/10/14192022/10/1119基本内容： 一、原点矩与中心矩 一、协方差与相关系数第三节 原点矩与中心矩第四节 协方差与相关系数2022/10/1420基本内容：第三节 原点矩与

7、中心矩第四节 协方差与相一、原点矩与中心矩1. k 阶原点矩：2. k 阶中心矩：特别地，k=1,E(X)为数学期望.k=2, EX-E(X)2为方差.k=2,E(X2)为2阶原点矩,其计算公式特别地，k=1, EX-E(X)=0.2022/10/1421一、原点矩与中心矩1. k 阶原点矩：2. k 阶中心矩1.协方差定义.随机变量X与Y的函数X-E(X)Y-E(Y)的数学期望存在，则称其为X与Y的协方差,cov (X, Y),即记作二、协方差和相关系数 反映两个变量X和Y相关性的数字特征2022/10/14221.协方差定义.随机变量X与Y的函数X-E(X)Y-E协方差的简便计算方法：20

8、22/10/1423协方差的简便计算方法：2022/10/1123若X与Y相互独立，则X与Y一定不相关;分析:由于X与Y相互独立,则协方差cov (X, Y) =0, 证明：由X与Y相互独立，有两个随机变量独立与不相关的关系：不一定成立.所以X与Y不相关.反之,X与Y不相关 cov(X,Y)=0.2022/10/1424若X与Y相互独立，则X与Y一定不相关;分析:由于X与Y相互独定义.设随机变量X与Y的数学期望和方差都存在，为X与Y的相关系数，注：相关系数R(X,Y)仅表示X与Y之间的线性关系.则称记作2. 相关系数2022/10/1425定义.设随机变量X与Y的数学期望和方差都存在，为X与Y

9、的相关基本内容： 一、切比雪夫不等式 二、大数定律第五节 切比雪夫不等式与大数定律2022/10/1426基本内容：第五节 切比雪夫不等式与大数定律2022/1对于任意的正数设X的数学期望 E(X) 与方差D(X) 存在, 有或切比雪夫不等式2022/10/1427对于任意的正数设X的数学期望 E(X) 与方差D(X) 存在证：仅选择连续随机变量的情形来证明.设随机变量X的密度函数为f (x),则有2022/10/1428证：仅选择连续随机变量的情形来证明.设随机变量X的密度函数为注 (1)切比雪夫不等式的用途：它给出了在X的分布未知的情况下，估计概率的方法；(2)说明了方差D(X)的确刻画了

10、X对E(X)偏离程度.由可知: D(X)越小(即X偏离E(X)程度越小),越大，(表明X取值越集中在E(X)的附近)；(3) 它是大数定律的理论基础.2022/10/1429注 (1)切比雪夫不等式的用途：它给出了在X的分布未知的情况例.已知正常男性成人的每毫升血液中白细胞数平均在7300, 标准差是700, 利用切比雪夫不等式估计每毫升血液中白细胞数在52009400之间的概率. (P94.19题)解：设随机变量设X表示每毫升血液中白细胞数，依题意得2022/10/1430例.已知正常男性成人的每毫升血液中白细胞数平均在7300, （由切比雪夫不等式）2022/10/1431（由切比雪夫不等

11、式）2022/10/1131则对于任意的正数1. 切比雪夫定理定理：设独立随机变量序列X1, X2, , X n ,的数学期望E(X1), E(X2), , E(X n), ,D(X1), D(X2), , D(X n), 都存在，与方差并且方差是一致有上界的,即存在常数C,使得D (Xi) C, i=1,2,n,有2022/10/1432则对于任意的正数1. 切比雪夫定理定理：设独立随机变量序列X方差都存在，切比雪夫定理解释：若独立序列X1, X2, , X n ,的数学期望和并且方差是一致有上界的, 则n充分大时, 算术平均紧密地集中在其数学期望的附近.2022/10/1433方差都存在，

12、切比雪夫定理解释：若独立序列X1, X2, 2. 伯努利定理定理：在独立试验序列中，设事件的概率P(A)=p,则对于任意的正数有伯努利定理解释：当试验独立重复进行多次时，随机事件A的频率f n(A)将稳定在事件A的概率的附近.2022/10/14342. 伯努利定理定理：在独立试验序列中，设事件的概率P(A1. 理解方差的定义：2. 熟悉方差的性质:内容小结2022/10/14351. 理解方差的定义：2. 熟悉方差的性质:内容小结202(5) 若E(X) 与 D(X) 存在，对于任意的正数(4) 对于任意实数CR，有E ( X-C )2D( X )当且仅当C = E(X)时, E ( X-C )2取得最小值D(X).有2022/10/1436(5) 若E(X) 与 D(X) 存在，对于任意的正数(4)3.熟悉一些常见分布的方差 若XB(n, p), D(X) = npq; 若 若XU(a, b), 若2022/