函数定义域及值域经典类型总结练习试题含答案解析

1、.8/8求函数定义域、值域方法和典型题归纳一、基础知识整合1.函数的定义：设集合A和B是非空数集,按照某一确定的对应关系f,使得集合A中任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f与之对应。则称f:为A到B的一个函数。2.由定义可知：确定一个函数的主要因素是确定的对应关系f,集合A的取值范围。由这两个条件就决定了f的取值范围y|y=f,xA。3.定义域：由于定义域是决定函数的重要因素,所以必须明白定义域指的是：1自变量放在一起构成的集合,成为定义域。2数学表示：注意一定是用集合表示的范围才能是定义域,特殊的一个个的数时用列举法；一般表示范围时用集合的描述法或区间来表示。4.值域：是由定义域和对应

2、关系f共同作用的结果,是个被动变量,所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。1明白值域是在定义域A内求出函数值构成的集合：y|y=f,xA。2明白定义中集合B是包括值域,但是值域不一定为集合B。二、求函数定义域一求函数定义域的情形和方法总结1已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。1常见情况简总：表达式中出现分式时：分母一定满足不为0；表达式中出现根号时：开奇次方时,根号下可以为任意实数；开偶次方时,根号下满足大于或等于0非负数。表达式中出现指数时：当指数为0时,底数一定不能为0.根号与分式结合,根号开偶次方在分母上时：根号下大于0.表达式中出现指数函数形式时：

3、底数和指数都含有x,必须满足指数底数大于0且不等于1.0底数1表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时,只需满足真数上所有式子大于0,且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时,要同时满足真数大于0,底数要大于0且不等于1.注：1出现任何情形都是要注意,让所有的式子同时有意义,及最后求的是所有式子解集的交集。2求定义域时,尽量不要对函数解析式进行变形,以免发生变化。练习1、求下列函数的定义域：1、1232.抽象函数没有解析式的函数解题的方法精髓是换元法,根据换元的思想,我们进行将括号为整体的换元思路解题,所以关键在于求括号整体的取值范围。总结为：1给出了定义域就是给出了所给

4、式子中x的取值范围；2在同一个题中x不是同一个x；3只要对应关系f不变,括号的取值范围不变。4求抽象函数的定义域个关键在于求f的取值范围,及括号的取值范围。例1：已知f的定义域为-1,1,求f2x-1的定义域。解：f的定义域为-1,1；及其中x的取值范围是-1,1；x+1的取值范围就是括号的取值范围f的定义域为0,2；f不变,括号的取值范围不变f中f的定义域为练习设函数的定义域为,则函数的定义域为_、； _；函数的定义域为_； 3、若函数的定义域为,则函数的定义域是；函数的定义域为。3.复合函数定义域复合函数形如：,理解复合函数就是可以看作由几个我们熟悉的函数组成的函数,或是可以看作几个函数组

5、成一个新的函数形式。例2：分析：由题目可以看出g是由y=x+1、y=x-2和y=f三个函数复合起来的新函数。此时做加运算,所以只要求出f和f的定义域,再根据求函数定义域要所有式子同时满足,即只要求出f和f的定义域的交集即可。解：由f的定义域为-2,3,则 f的定义域为-3,2,f的定义域为0,4；,解得0 x2所以,g的定义域为0,2.一求函数值域方法和情形总结1.直接观察法利用函数图象一般用于给出图象或是常见的函数的情形,根据图象来看出y值的取值范围。练习 求值域。 2.配方法适用于二次函数型或是可以化解成二次函数型的函数,此时注意对称轴的位置,在定义域范围内以a0为例,此时对称轴的地方为最

6、大值,定义域为内端点离对称轴最远的端点处有最小值；对称轴在定义域的两边则根据单调性来求值域。总结为三个要点：1含参数的二次型函数,首先判断是否为二次型,即讨论a；2a不为0时,讨论开口方向；3注意区间,即讨论对称轴。例1：求解：配方： f的对称轴为x=2在1,5中间端点5离x=2距离较远,此时为最大值所以,f的值域为2,11.练习 求值域。3.分式型1分离常量法：应用于分式型的函数,并且是自变量x的次数为1,或是可以看作整体为1的函数。具体操作：先将分母搬到分子的位子上去,观察与原分子的区别,不够什么就给什么,化为。例2：解：由于分母不可能为0,则意思就是函数值不可能取到,即：函数f的值域为.

7、练习 求值域 32利用来求函数值域：适用于函数表达式为分式形式,并且只出现形式,此时由于为平方形式大多时候x可以取到任意实数,显然用分离常量法是行不通,只有另想它法有界变量法。例3：求函数的值域.解：由于不等于0,可将原式化为即由于只需,则有所以,函数值域.练习4 求值域3方程根的判别式法：适用于分式形式,其中既出现变量x又出现混合,此时不能化为分离常量,也不能利用上述方法。对于其中定义域为R的情形,可以使用根的判别式法。例4：求函数的值域解：由于函数的定义域为R,即原式可化为由于x可以取到任意的实数,那么也就说总有一个x会使得上述方程有实数根,即方程有根那么判别式大于或等于0,注：这里只考虑

8、有无根,并不考虑根为多少所以,所以,函数值域为练习：求值域54.换元法通过换元将一个复杂的问题简单化更便于求函数值域,一般函数特征是函数解析式中含有根号形式,以及可将问题转换为我们熟悉的函数形式等问题。而换元法其主要是让我们明白一种动态的方法来学习的一种思路,注重换元思维的培养,并不是专一的去解答某类问题,应该多加平时练习。注：换元的时候应及时确定换元后的元的取值范围。例5：求函数的值域解：令,带入原函数解析式中得因为,所以,函数的值域为.练习：求值域6一选择题共10小题12007河东区一模若函数fx=的定义域为A,函数gx=的定义域为B,则使AB=的实数a的取值范围是A1,3B1,3C2,4D2,42若函数fx的定义域是1,1,则函数fx+1的定义域是A1,1B0,2C2,0D0,132010XX函数的值域是A0,+B0,4C0,4D0,442009河东区二模函数的值域是A0,+BC0,2D0,5已知函数y=x2+4x+5,x3,3时的值域为A2,26B1,26C1,26D1,266函数y=在区间3,4上的值域是A1,2B3,4C2,3D1,67函数fx=2+3x2x3在区间2,2上的值域为A2,22B6,22C0,20D6,248函数的值域是Ay|yR且y1By|4y1Cy|y4且y1DR