达朗贝尔定理

1、 第12章 达朗贝尔原理返回总目录Theoretical Mechanics 第三篇 动 力 学1Theoretical Mechanics例 题例 球磨机的滚筒以匀角速度 绕水平轴O转动，内装钢球和需要粉碎的物料。钢球被筒壁带到一定高度的A处脱离筒壁，然后沿抛物线轨迹自由落下，从而击碎物料。设滚筒内壁半径为r，试求脱离处半径OA与铅直线的夹角1（脱离角）。 解：以随着筒壁一起转动、尚未脱离筒壁的某个钢球为研究对象，它所受到的力有重力P、筒壁的法向约束力FN和切向摩擦力F及惯性力FI，如图所示。 返回首页达朗贝尔原理2Theoretical Mechanics 钢球随着筒壁作匀速圆周运动，只有

2、法向惯性力I，大小 ，方向背离中心 O。列出沿法线方向的平衡方程： 脱离角当 时，10，钢球始终不脱离筒壁，球磨机不工作。 钢球不脱离筒壁的角速度 为了保证钢球在适当的角度脱离筒壁，故要求 返回首页例 题达朗贝尔原理3Theoretical Mechanics例 质量为m的均质杆AB用球铰链A和绳子BC与铅垂轴OD相连，绳子在C点与重量可略去的小环相连，小环可沿轴滑动，如图所示。设ACBCl，CDOAl/2，该系统以角速度匀速转动，求绳子的张力、铰链A的约束力及轴承O、D的附加动约束力。 解：研究AB杆，画受力图其作用点在距A点 AB处首先将AB杆上三角形分布的惯性力简化 返回首页例 题达朗贝

3、尔原理4Theoretical Mechanics由达朗贝尔原理 返回首页例 题达朗贝尔原理5研究整体，画受力图，解得 FOymg 附加动约束力为Theoretical Mechanics 返回首页例 题由达朗贝尔原理 达朗贝尔原理6Theoretical Mechanics例 图中飞轮的质量为 m ，平均半径为R，以匀角速度 绕其中心轴转动。设轮缘较薄，质量均匀分布，轮辐的质量忽略不计。若不考虑重力的影响，求轮缘各横截面的张力。 解 截取半个飞轮研究，由对称条件，两截面处内力相同，即F1T = F2T = FT。飞轮作匀角速度 转动，半圆环的惯性力分布如图示，对应于微小单元体积的惯性力dFI

4、为 返回首页例 题达朗贝尔原理7Theoretical Mechanics式中 ，为单位弧长的质量。由动静法，这半圆环两端的拉力F1T、F2T与分布的惯性力系dFI组成平衡力系。由平衡方程 飞轮匀速转动时，轮缘各截面的张力相等，张力的大小与转动角速度的平方成正比，与其平均半径成正比。 返回首页例 题达朗贝尔原理8Theoretical Mechanics例 题例 长度为 、质量为m的均质杆AB静置于半径为r的光滑圆槽内。当圆槽以匀加速度a在水平面上运动时，AB杆的平衡位置用角表示。如果要求AB杆在30时保持平衡，试求此时圆槽的加速度a应该多大？作用在AB杆上的约束力FAR、FBR分别是多少？不

5、计摩擦。 解：这是刚体的平行移动问题，研究杆AB，画受力图，其中惯性力为 返回首页刚体惯性力系的简化9Theoretical Mechanics杆AB惯性力为由达朗贝尔原理 FARFBR ；解得： a2. 625 m/s2 ；0.732mg 返回首页例 题刚体惯性力系的简化10Theoretical Mechanics例 图示圆轮的质量m2 kg，半径r150 mm，质心离几何中心O的距离e50 mm，轮对质心的回转半径75mm。当轮滚而不滑时，它的角速度是变化的。在图示C、O位于同一高度之瞬时，12rad/s。求此时轮的角加速度。 解：这是刚体的平面运动问题，研究圆轮。设角加速度和受力分析如

6、图所示，其中 返回首页例 题刚体惯性力系的简化11Theoretical Mechanics由达朗贝尔原理由运动学关系 返回首页例 题刚体惯性力系的简化12Theoretical Mechanics得负号表示方向与图示方向相反。 返回首页例 题刚体惯性力系的简化13Theoretical Mechanics例 图中均质杆AB的长度为l，质量为m，可绕O轴在铅直面内转动，OA= ，用细线静止悬挂在图示水平位置。若将细线突然剪断，求AB杆运动到与水平线成角时，转轴O的约束力。 解：设 AB杆转至 角位置时，角速度、角加速度为、。质心 C 至转轴 O 的距离OC = ，因此质心的加速度、杆对转轴的转

7、动惯量分别为 返回首页例 题刚体惯性力系的简化14Theoretical Mechanics虚加于转轴O处的惯性力主矢、主矩，大小为 它们与重力mg，轴承约束力FOx、FOy在形式上组成一平衡力系。 返回首页例 题刚体惯性力系的简化15Theoretical Mechanics分离变量、积分，即 返回首页例 题由达朗贝尔原理刚体惯性力系的简化16Theoretical Mechanics解得AB杆转动至角位置时的轴承约束力 由此可以看出，运用达朗贝尔原理，可用平衡方程的形式建立动力学方程式，为了求解角速度，仍需进行积分计算。 也可先用动能定理解出，再用达朗贝尔原理解出FOx、FOy。这种做法具

8、有一定的普遍意义。 返回首页例 题刚体惯性力系的简化17Theoretical Mechanics例 题例 一电动机水平放置，转子质量m300 kg，对其转轴z的回转半径0.2 m。质心偏离转轴e2 mm。已知该电动机在起动过程中的起动力矩M150 kNm，当转子转至图示的瞬时位置，转速n2400r/min。试求此瞬时转子的角加速度和轴承的动约束力。不计轴承的摩擦。 解：首先，运用方程组中的最后一个方程式，计算图示瞬时的角加速度，即 返回首页定轴转动刚体的轴承动约束力18Theoretical Mechanics而此瞬时的角速度为由此可得质心C的加速度：惯性力系向O点简化的主矢、主矩为方向如图

9、 返回首页例 题定轴转动刚体的轴承动约束力19Theoretical Mechanics 根据空间力系的平衡条件，列平衡方程并计算轴承约束力为 返回首页例 题定轴转动刚体的轴承动约束力20Theoretical Mechanics在y向的静约束力和附加动约束力分别为 返回首页例 题定轴转动刚体的轴承动约束力21Theoretical Mechanics附加动约束力与静约束力之比为 由此可见，仅仅由于质心偏离转轴2mm，轴承的附加动约束力竟高达静约束力的12.89倍。这说明，在制造安装转速比较高的转子时，必须尽量减小质心偏离转轴的距离e。 返回首页例 题定轴转动刚体的轴承动约束力22Theoretical Mechanics例 题例 图示装有圆盘的轴绕水平轴转动。在过轴线两相互垂直的平面内装有质量m10.5kg、m21kg两质点。轴的两端附有2cm厚的圆盘。为了均衡，在盘上离轴d8cm处各钻一孔。已知钢的密度为7.8103kg/m3，ce9cm，b18cm。求孔的直径d1、d2和方位角1、2。 返回