《向量的数量积》综合能力升华题_第1页
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1、PAGE6平面向量的数量积综合能力升华题一、基本概念问题例1已知，当（1），（2），（3）与的夹角为，分别求与的数量积。分析：已知与，求，只需确定其夹角。需注意到时，有和两种可能。解析：（1），若与同向，则，=；若与反向，则，=。（2）当时，=。（3）当与的夹角为时，=。评注：（1）对于数量积=，其中的取值范围是；（2）非零向量和，；（3）非零向量与共线的充要条件是。例2已知，。（1）若，求；（2）若，求。分析：利用两向量垂直和平行的条件解题。解析：（1）设，又，联立解得或，或。（2）设，又，联立解得或，或。评注：根据向量的知识及向量的坐标表示，把问题转化为解方程（组），这是我们常用的方法思想

2、。二、有关模的问题例3设，且函数的最大值为0，最小值为，且向量的夹角为，求。分析：要求，需知道，故可利用函数的最值确定的值。解析：，当时，；当时，。由解得，。评注：该例将三角函数的极值与向量的模、数量积的运算结合在一起。例4已知平面上三个向量的模均为1，它们相互之间的夹角为。（1）求证：；（2）若，求的取值范围。分析：解答该例的突破口在于准确理解平面向量相互夹角为。（1）证明：，（2）解析：，且相互之间的夹角为，。故的取值范围为。评注：该例第问考查了转化的思想，即把有关向量模的不等式转化为实数不等式求解。三、开放性问题例5已知点，问能否在轴上找到一点，使，若不能，请说明理由；若能，求出点的坐标

3、。分析：该例是开放性问题，没有明确的标准，需要去探究。解此类问题，一般是假设存在，通过推理或运算，求出结果或找出矛盾。解析：设存在点，使，则。，即，又在方程中，方程无解，即不存在满足条件的点。评注：该例通过运算得出无解，从而说明假设不正确。四、函数问题例6已知平面向量。（1）证明；（2）若存在不同时为0的实数，使，试求函数关系式；分析：从向量垂直的条件入手。（1）证明：，。（2）解析：，即。点评：该例为向量与函数的综合题，求解要灵活，及时调整思维角度，并注意解题的严谨性，如容易被忽略。五、几何问题例7以原点和为两顶点作等腰直角三角形，使，求点和向量的坐标。分析：本题关键是求出点的坐标，设，由和，可得关于，的方程组，解方程组可得点坐标。解析：设，则，。，又，即

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