2018年最新整理弹性力学 第六章 平面问题的直角坐标解

1、 则梁的边界条件为该边界条件要完全满足非常困难。但深入分析发现，只要梁是细长的，则其上下表面为主要边界，这是必须精确满足；而左右端面的边界条件，属于次要边界。根据圣维南原理，可以使用静力等效的应力分布来替代，这对于离端面稍远处的应力并无实质性的影响。因此两端面的边界条件可以放松为合力相等的条件。此外由于梁是外力静定的，固定端的三个反力可以确定，因此在求应力函数时，只要三面的面力边界条件就可以确定。固定端的约束，即位移边界条件只是在求解位移时才使用。这样问题的关键就是选择适当的应力函数，使之满足面力边界条件。2、边界条件与应力函数因为在梁的上下边界上，其弯矩为F(l-x),即力矩与(l-x)成正

2、比，根据应力函呛二J心)行皿+JOh-y)町少的性质，设应力函数为其中fy)为y的任意函数。将上述应力函数代入变形协调方程，可得f(y)=+by+cy+d72?V(=(1刃=0f(y)=+by+cy+d，积分可得由于待定系数d不影响应力计算，可令其为零。所以，应力函数为+卽2+专）将上述应力函数代入应力分量表达式，可得应力分量3、悬臂梁应力3、悬臂梁应力将上述应力分量代入面力边界条件可以确定待定系数。在上下边界9朋=士纟=0在x=l边界上，6可以确定待定系数。在上下边界9朋=士纟=0在x=l边界上，6円自动满足。而T_+h二，则要求自动满足。而则要求联立求解上述三式，可得4ah联立求解上述三式

3、，可得4ah2+ch=F注意到对于图示薄板梁，其惯性矩二着。所以应力分量为注意到对于图示薄板梁，其惯性矩二着。所以应力分量为所得应力分量与材料力学解完全相同。当然对于类似问题，也可以根据材料力学的解答作为基础，适当选择应力函数进行试解，如不满足边界条件，再根据实际情况进行修正。4、悬臂梁变形应力分量求解后，可以进一步求出应变和位移。将应力分量代入几何方程和物理方程二二2Q+V)_2(1小二二2Q+V)_2(1小科_可得加忘卫卽加忘卫卽对于上述公式的前两式分别对x,y积分，可得唁3-討y)+善心其中f(y),g(x)分别为y,x的待定函数。5、悬臂梁位移推导将上式代入应变分量表达式的第三式，并作

4、整理可得辭“-討川笛)-討计力5)与由于上式左边的两个方括号内分别为x，y的函数，而右边却为常量，因此该式若成立，两个方括号内的量都必须为常量。所以f(y)-y2+Q+17)才二朋孑（工）_（丘_穿）*眈+克=（1+y）上式的前两式分别作积分，可得将上式回代位移表达式其中m,n,c,d为待定常数，将由位移边界条件确定。6、悬臂梁端面位移边界显然，上述位移不可能满足位移边界条件x=0，u=v=0。悬臂梁左端完全固定的约束条件太强了，要严格满足非常困难。对于工程构件，端面完全固定仅仅是一种假设，真实的端面约束条件是非常复杂的。在弹性力学讨论中，重要的是分析一般条件下，悬臂梁的弯曲变形。根据圣维南原

5、理，真实约束条件对于悬臂梁位移分析的影响主要是端面附近的位移，对于远离端面处，这个影响主要是刚体位移。因此首先排除刚体位移，平面问题只要有三个约束条件就足够了。至于选用的约束条件与实际约束的差别，将在本节最后讨论。为此首先假定左端截面的形心不能移动，即当x=y=0u=v=0代入位移表达式，可得c=d=0为了确定m和n,除了利用位移边界条件，还必须补充一个限制刚体转动的条件。分别考虑两种情况：一是左端面形心处的水平微分线段被固定；二是左端面形心处的垂直微分线段固定。7、边界条件一对于第一种情况，即增加约束条件由此条件，可得克二0用二寸Q+v)h2对应的位移为悬臂梁变形后的挠曲线方程为这一结果与材

6、料力学的解答完全相同。这时梁的左端面变形为三次曲面，如图所其表达式为在左端面的形心，垂直微分线段将产生转动，转角为竺_FQ+讥2_3F卽丿u4EI2Gh8、边界条件二对于第二种情况，即增加约束条件由此条件，可得对应的位移为梁变形后的挠曲线方程为这时梁的左端面变形为三次曲面，如图所示其表达式为在左端面的形心水平微分线段将产生转动，转角为比较上述结果可见，假设的两种情况实际上仅相差一个刚体转动。如果让第种情况顺时针转动一个角度，即为第二种情况。4EI6.8简支梁受均布载荷作用学习思路:简支梁作用均匀分布力问题是又一个经典弹性力学平面问题解。采用应力解法的关键是确定应力函数，首先根据边界条件，确定应

7、力函数的基本形式。将待定的应力函数代入双调和方程得到多项式表达的函数形式。对于待定系数的确定，需要再次应用面力边界条件。应该注意的是简支梁是几何对称结构，对称载荷作用时应力分量也是对称的。对称条件的应用将简化问题的求解难度。学习要点：1、简支梁及其边界条件；2、应力函数分析；3、应力函数；4、待定系数确定；5、端面边界条件简化；6、简支梁应力分析。1、简支梁及其边界条件试考察一个承受均匀分布载荷的简支梁q，其跨度为l，横截面高度为h(hVVl),单位厚度。并且设其自重可以忽略不计。由于简支梁是外力静定的，两端的支座反力是已知的。因此在求解时，不妨将支座看作外力已知的边界，于是可写出下列边界条件

8、CF.=0CF=0上述条件中，上下表面的边界条件是主要的，必须精确满足。至于两端的边界条件可以根据圣维南原理放松为合力满足。采用半逆解法求解。首先对应力状态做一个基本分析，由材料力学分析可知：弯曲正应力主要是由弯矩引起的；弯曲切应力主要由剪力引起的；而挤压应力应由分布载荷引起的。2、应力函数分析根据上述分析，因此假设挤压应力不随坐标x而改变，即y为坐标y的函数，巧=f(y)因此根据应力函数与应力分量的关系式，可得将上式对x积分，可得饕二h(y)+胃(y)其中f(y),g(y),h(y)均为任意待定函数。对于上述应力函数还需要考察其是否满足变形协调方程，代入变形协调方程，则上式为关于x的二次方程

9、。对于变形协调方程，要求在弹性体的任意点满足。因此要求所有的x均满足，所以这个二次方程的系数和自由项都必须为零。即3、应力函数上述公式的前两式要求fy)=Ay3+By2+Cy+Dg(y)=Ey3+Fy2+Gy这里应力函数的线性项已经略去。而第三式则要求dydXy)=_2ZW=_w_4BdyKy)=-彳才+珊+炉即其中线性项已被忽略不计。将上述各式代入应力函数公式，则趴S)=討(4/+站+6+。)+估+6)嶋才一歆+砒+审将上述应力函数代入应力分量表达式十_沪爲十_沪伊f_ESf貝一石厂，占一冠一，忘齐可得6、=y(64v+2S)+X(6y+2F)-24y3-25y2+6/Yy+2(ry=Ay3

10、+By2+Cy+D=-x(34y2+2+C)-(32+2?+G)4、待定系数确定上述应力分量已经满足平衡微分方程和变形协调方程，现在的问题是根据面力边界条件氏=crj+m坊二匸丿+b严确定待定系数。在考虑边界条件之前，首先讨论一下问题的对称性，这样往往可以减少计算工作。由于y轴是结构和载荷的对称轴，所以应力分量也应该对称于y轴，因此和应该是x的偶函数，而t应为x的奇函数。因此xyxyE=F=G=0对于细长梁，由于梁的高度远小于跨度，所以上下边界为主要边界，其边界条件必须精确满足，我们首先考虑上下两边的边界条件。+%十匚血十=0%842%k3+-h2-h+D=-q842-x(lAh2-Bh+U)

11、=02Bh+C=05、端面边界条件简化根据上述主要边界的面力边界条件，可得将上述七个待定系数分别代入应力分量表达式将上述七个待定系数分别代入应力分量表达式可得以下考虑简支梁左右两端面的面力边界条件，确定剩余的两个待定系数。由于对称性已经讨论，所以只需要考虑其中的一个端面，比如右端面。如果右端面的边界条件能满足，左端面的边界条件由对称性自然满足。首先，在梁的右端面没有水平面力，这要求在x=-处，b二0，根据应力2x分量计算公式，如果该条件满足，只有q=0。但是这与问题是矛盾的，因此这个边界条件只能利用圣维南原理，放松为合力边界条件，将应力分量分别代入上述两式，则m将应力分量分别代入上述两式，则m

12、另外在梁的右边切应力的合力应等于支反力。将切应力计算公式代入，积分可见这个条件已经满足。综上所述，已经求出了所有的待定系数。将上述结论代入应力分量表达式，并作整理，可得6、简支梁应力分析下面讨论简支梁的应力分布注意到梁的惯性矩为，静矩为s=妒-壬才，而梁的弯曲内力为则应力分量表达式可以改写为让我们将上述应力分量，即弹性力学解答结果与材料力学的结果作一比较。首先考虑横截面，即沿铅垂方向的应力分布，如图所示在弯曲正应力的表达式中，第一项是主要项，与材料力学的解完全相同，X而第二项是弹性力学提出的修正项。对于细长梁，这个修正项很小，可以忽略不计。应力分量C是梁的各纤维之间的挤压应力，在材料力学中一般

13、是不考虑这y个应力分量的。而弯曲切应力T的表达式则和材料力学解答里完全相同。xy6.9楔形体水坝学习思路:楔形体水坝受重力和液体压力作用问题是弹性力学平面问题的另一个应用。注意到楔形体水坝由于底部在无限远，而液体作用至顶部。由于力学模型的几何形状不需要长度单位确定，因此问题的应力函数可以采用量纲分析方法确定。量纲分析得到楔形体水坝的应力函数是纯三次函数。应用面力边界条件可以确定待定系数。由于水坝的侧边界是斜边界，应该注意边界法线方向余弦的确定。最后分析楔形体水坝应力，并且与材料力学解答作比较。学习要点：1、楔形体水坝应力函数；2、面力边界条件；3、水坝应力分析。1、楔形体水坝应力函数楔形体水坝

14、左边铅垂，右边与铅直面夹a角度，下端伸向无限长。水坝承受重力和液体压力作用，楔形体的密度为P，液体的密度为Y，如图所示在楔形体内任一点的应力分量都将由两部分组成：一是由重力引起的，应当与楔形体的单位体积重量pg成正比；二是由液体压力引起的，其与液体的单位体积重量Yg成正比。当然，上述应力分量还和a，x，y等有关。由于应力分量的量纲是力长度-2,pg和Yg的量纲是力长度-3,a是无量纲的数量，而x，y的量纲是长度，因此应力分量如果具有多项式的解答，其只能是坐标的x,y的一次幂。即各个应力分量的表达式为x,y的纯一次式，而其应力函数应当是x,y的纯三次式。因此可以假设例（兀）=At3+Bx2y+C

15、xy2+Dy3对于楔形体水坝，体力分量Fbx=0，Fby=pg。根据应力分量的表达式，可得2、面力边界条件上述应力分量是满足平衡微分方程和变形协调方程的，下面考虑面力边界条件以确定各个待定系数。在水坝左侧，面力边界条件为%=o二一妙讪m二在水坝右侧，边界方程x=ytana，面力边界条件为厲冋询心+陀厂刑=$taz一边界法线方向余弦为I-cos(?x)=COSC；m-cos(?iy)=cos(90+tz)=-sina:将应力表达式代入上述边界条件，可得巧二-卿2C=0(2Cytancr+6Dy)coscr-2C-(2B+tancrjsinff=0-2C-(2B+pg)ytanc;cosc;-(2

16、Sy+64/tanor)sinct=0联立求解可得A-唇cotga-cot3a22C=0D二還3、水坝应力分析将计算所得的系数代入应力分量表达式，即可得到6二-您yb$=(pgcotct-lygcot3a)x+cot2a-pg)yf=-cot3ff计算数据如图所示必ml切应力6扌齐压应力弯曲正应力必ml切应力6扌齐压应力弯曲正应力-宓-F割皿讪T-;-col-r/分析表明：应力分量沿水平方向为常数。对于这个挤压应力，材料力学是不讨论的。弯曲应力分量沿水平方向线性分布，在水坝左右两边分别为y弓|汽=-(/-cot2tz)iy勺心论=-cot2ff对于弯曲应力与材料力学偏心压缩公式所得结果相同。切

17、应力分量T也是线性变化，在水坝左右两边分别为xy二辽伸护叫二-怨呻3按材料力学解，横截面切应力T是抛物线分布的，这一结论和弹性力学解答xy是完全不同的。以上解答称为莱维解，在工程上作为三角形重力坝的基本解答。6.10矩形截面梁的级数解法学习思路:弹性力学的经典问题具有多项式解，可以通过半逆解法选取所要求的应力函数。这种方法要求弹性体主要边界作用的载荷必须连续，而且也能表示成代数多项式的形式。对于任意载荷作用的矩形弹性体问题，可以采用三角级数表示的应力函数求解。假设应力函数并且通过双调和方程找到应力函数特解，叠加可以确定级数形式应力函数。对于级数形式应力函数的系数，可以通过面力边界条件，并且应用

18、三角函数的正交性在边界作积分确定。用级数求解平面问题时，用于求解应力表达式的待定系数的计算工作量相当大。如果级数的收敛不快，将需要更多的计算工作量。学习要点：1、应力函数与双调和方程；2、应力函数特解；3、级数形式的应力分量；4、级数应力函数系数的确定。1、应力函数与双调和方程对于弹性力学的经典问题，由于问题具有多项式解，因此可以通过半逆解法选取所要求的应力函数，从而求得应力分量和位移分量。这种方法的局限性是明显的，它要求弹性体主要边界作用的载荷必须连续，而且也能表示成代数多项式的形式。如果载荷不具备上述特点，甚至是不连续的，则不能构造应力函数。对于任意载荷作用的矩形弹性体问题，可以采用三角级数表示的应力函数求解。假设应力函数可以写成如下的形式X(x)Y(y)将上述应力函数代入双调和方程，可得産O)F(y)+2産O)FO)+X(x)Y(y=0等式两边同时除以X(x)Y(y)后，则産（産（X）亠2戏匕）严）丄珥刃_産（兀）産（兀厅。）F（刃将上式对y求一阶偏导数，得2TToT【E若要上式成立，则必须有炉攵）炉攵）2）X（x）严严其中，为任意常数。于是可以得到下列方程”（刃。庫）+滋（工）二0和LF（y）L珥刃2、应力函数特解上述方程的第一式的通解为这里的K1，K为任意常数。对于方程的第二式，它是变形协调方程对