九章习题课课件

1、第九章 习题课一、基本概念与理论 二、基本方法 四、练习三、例题讲析 第九章 习题课一、基本概念与理论 二、基本方法 1.欧几里得空间的定义和基本性质，度量矩阵 的定义及性质。2.施密特（Schimidt）正交化过程，正交矩阵、 正交变换的定义及性质，线性空间的正交分 解。3.对称矩阵的标准形理论。 一、基本概念与理论 1.欧几里得空间的定义和基本性质，度量矩阵一、基本概念与理论二、基本方法 1.欧氏空间有内积，因而具有度量性质：向量 的长度、夹角、正交。2.标准正交基，Schmidt正交化、正交矩阵和正 交补空间。3.掌握欧氏空间的正交变换对称变换和实数域 上正交矩阵、对称矩阵的对应关系。二

2、、基本方法 1.欧氏空间有内积，因而具有度量性质：向九章习题课课件例1 设 是n维欧氏空间V的一个单位向量.定义线性变换 :称 为一个镜面反射.证明:(1) 是正交变换;(2) 是第二类的;(3)三、例题讲析 例1 设 是n维欧氏空间V的一个单位向量.定义线性变换 证(1)任取故 为正交变换.证(1)任取故 为正交变换.(2)将 扩充为V 的标准正交基 由 的定义从而 即 为第二类的.故 在基 下的矩阵(2)将 扩充为V 的标准正交基 (3)注: 根据线性变换与矩阵的关系,由(2)也可证 (3)注: 根据线性变换与矩阵的关系,由(2)也可证 例2 设 是n维欧氏空间V的第二类正交变换.则存在镜

3、面反射 及第一类正交变换 使分析: 由 知 有特征值 对应的单位特征向量设为 即 将 扩充为标准正交基: 设 在该基下的矩阵为 .则 为正交矩阵且由矩阵与线性变换的关系,拆分 即将例2 设 是n维欧氏空间V的第二类正交变换.则存在镜面分成与一行列式为1的正交矩阵的积.设由 B, 均为正交矩阵,C 必为正交阵. 且 .C 对应的线性变换即为要求的 .分成与一行列式为1的正交矩阵的积.设由 B, 证:由 知 有特征值 对应的单位特征向量设为 即 将 扩充为V的标准正 交基: 设则 为正交矩阵且 则 证:由 知 有特征值 定义则 为镜面反射.则 为第一类的.故 命题成立.定义则 为镜面反射.则 为第

4、一类的.故 例 3 设V为n维欧氏空间,若 为 V 的线性变换,则 为正交变换当且仅当 保持向量间的距离不变.证:故故 为正交变换.例 3 设V为n维欧氏空间,若 为 V 的线性变例4 给定 的标准度量,求出 中所有保持下列正方形(A(1,1),B(-1,1),C(-1,-1),D(1,-1)整体不变(即正方形四条边上的点经过变换后仍落在四条边上)的正交变换.ABCD例4 给定 的标准度量,求出 中所有分析:根据题意,求这样的正交变换,即将标准正交基(在正方形上)变为仍在正方形上的标准正交基即可.只可能为解:由 的标准正交基 在正方形上,经正交变换后仍在正方形上,且为标准正交基,分析:根据题意

5、,求这样的正交变换,即将标准正交基(在正方形上故所求正交变换为:故所求正交变换为:例5 设A是 n 阶实对称矩阵.证明: A正定的充分必要条件为A的特征多项式的根全大于0.分析:由A为实对称阵,我们可以找到正交阵T使为对角阵,这样A的特征值就全暴露出来了.证:由A为实对称阵,存在正交阵T使由A正定, 正定,故由 , 正定,故A正定.例5 设A是 n 阶实对称矩阵.证明: A正定的充分必要条例6 设A、B均为同阶实对称阵, A正定,则存在可逆阵P使 为对交阵.证:A由正定,存在可逆阵Q使 . 对有正交阵T使 为对角阵.取 即可.分析: 因为A正定,我们可先将A合同于E,又正交阵T具有性质 .这样

6、变化后的 A将不再改变.例6 设A、B均为同阶实对称阵, A正定,则存在可逆阵P使 例7 实二次型经正交线性替换 化为标准形(1)求a,b及正交阵P；(2)问二次型 f 是否正定?为什么？分析：由于实二次型的矩阵是实对称阵.由标准形可知矩阵的特征值,从而可求a,b,而P为特征值的特征向量组成的.例7 实二次型经正交线性替换 解:(1)二次型的矩阵 的特征多项式由 f 的标准形为 知, A的特征值为将1,0代入 得解得b=1,a=3.解:(1)二次型的矩阵 的特征多项式分别解 得单位特征向量故(2)由标准形知 f 的秩为 2 ,故不正定.分别解 例8 欧氏空间V的对称变换 称为正定的,若 满足对

7、任意的 证明: 正定 在标准正交基下的矩阵为正定阵.证: 设 为V的标准正交基, 在该基下的矩阵为对称阵A.对任意的 令 则故 ,即A正定. 例8 欧氏空间V的对称变换 称为正定的,若 满任取 ,设 ,则故 ,即 为正定的.例9 设V为 n 维欧氏空间.证明:对V中给定的向量 , V上的函数 连续.证: 设 为V的标准正交基,设任取 则 , 当 时 , 即 连续.例10 (1)A为 n 阶实矩阵.证明存在正交阵T使得 为上三角当且仅当A的特征值全为实数.(2) A为正交阵,特征值全为实数.则A为对角阵.则 , 当 证:对 n 归纳. n=1时显然成立,设为 n 1时成立.则为 n 时,设 为A

8、的特征值, 为相应的特征向量.将 单位化并扩充为标准正交基 ,令 则 为正交阵且这里 为n-1阶实矩阵.特征值全为实数.由假设,存在正交阵Q使得 为上三角,令,则T为正交阵且 为上三角.证:对 n 归纳. n=1时显然成立,设为 n 1时成立.(2)A的特征值全为 1 , 1 .由(1),存在正交阵T使得对角线上前 s 个为 1 ,后 s 个为 1 ,令, 由这里 为 1 或 1 ,和,可算出故 为对角阵,从而A为对角阵.(2)A的特征值全为 1 , 1 .由(1),存在正交阵T例11且有特征向量1,1,1) .构造一个 3 阶实对称阵A,使其特征值为 2, 1 ,1 .分析:注意对称矩阵的不

9、同特征值的特征向量正交.解: 设正交阵T使得 即将(1,1,1)扩充为正交基(1,1,1),(0,1, 1 ),(2, 1 , 1 ) 并单位化得 ,令A满足要求.例11且有特征向量1,1,1) .构造一个 3 阶实对称阵A解：例12 对下列各实对称矩阵，分别求一正交矩阵 ，使 为对角阵.(1)第一步 求 的特征值解：例12 对下列各实对称矩阵，分别求一正交矩阵 ，()的基础解系求出由第二步AxA,0=-Eil()得由对,0,41=-=x4EAl解之得基础解系 ()得由对,0,12=-=xAEl解之得基础解系()的基础解系求出由第二步AxA,0=-Eil()得由对,0()得由对,0,23=-=

10、xA-2El解之得基础解系将特征向量正交化第三步 将特征向量单位化()得由对,0,23=-=xA-2El解之得基础解系将特征九章习题课课件得基础解系()由对,02,21=-=xAEl()得基础解系由对,04,432=-=xAEll4-=-10-13-l000llEA()(),42ll-=3-l2得基础解系()由对,02,21=-=xAEl()得基础解系由九章习题课课件于是得正交阵于是得正交阵 1. 设 是n维欧氏空间V的线性变换,若对任意都有称 为反对称变换.证明:矩阵为反对称矩阵.(1) 为反对称变换当且仅当 在标准正交基下的(2)若M为 子空间，则 也为 子空间.(3) 的特征值为或纯虚数.四、练习 1. 设 是n维欧氏空间V的线性变换,