线性代数秩逆

1、线性代数秩逆作者：日期：2一、矩阵的秩定义1在一个mn矩阵A中，随意选定k行和k列（kminm,n），位于这些选定的行和列的交点上的k2个元素按本来的序次所构成的k矩阵的队列式，称为A的一个k阶子式。例1在矩阵11310214A00050000中，选第1,3行和第3,4列，它们交点上的元素所成的2阶队列式311505就是一个2阶子式。又如选第1,2,3行和第1,2,4列，相应的3阶子式就是11102410.005定义2非零矩阵的不为零的子式的最高阶数称为该矩阵的秩，零矩阵的秩规定为0。矩阵A的秩记为rankA。例2证明：矩阵A与其转置矩阵AT有相同的秩。例3证明：阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的

2、个数。证设A是一个阶梯形矩阵，不为零的行数是r。选用这r个非零行以及各非零行第一个非零元素所在的列，由这些行和列交点上的元素所成的r阶子式是一个上三角队列式，而且主对角线上的元素都不为零，所以它不等于零。而A的全部阶数大于r的子式都起码有一行的元素全为零，因此子式为零。所以rankAr。因为矩阵的子式的阶数不超出矩阵的行数及列数，所以mn矩阵A的秩rankAminm,n。而假如rankAm，就称A是行满秩的；假如rankAn，就称A是列满秩的。别的，假如A的全部r1阶子式全为零，由队列式的定义可知，A的r2阶子式也必定为零，进而A的全部阶数大于r的子式全都为零。所以秩有下边等价的定义：定理1m

3、n矩阵A的秩为r充分必需条件是：在A中存在一个r阶3子式不为零，且在rankAminm,n时，矩阵A的全部r1子阶式都为零。定理2初等变换不改变矩阵的秩。换句话说，等价的矩阵拥有相同的秩。证设Amn经初等行变换变为Bmn，且rankAr1,rankBr2。当对A施以互换两行或以某非零数乘某一行的变换时，矩阵B中的任何r11阶子式等于某非零数c与A的某个r11阶子式的乘积，此中c1或其余非零数。因为A的任何r11阶子式皆为零，故B的任何r11阶子式也都为零。当对A施以第i行的k倍加到第j行的变换时，矩阵B的任何一个r11阶子式B1，若它不含B的第j行或既含第j行又含第i行，则它等于A的一个r11

4、阶子式；若B1含B的第j行但不含第i行，则B1A1kA2，此中A1,A2是A的两个r11阶子式，由A的任何r11阶子式均为零，知B的任何r11阶子式也全为零。依据以上剖析，若对A施以一次初等行变换获得B，则r2r11，即r2r1。因为B可经一次合适的行变换变回A，相同地就有r1r2。所以r1r2。明显，上述结论对列变换也建立。此刻我们来看一下，如何计算一个矩阵的秩。因为初等变换不改变矩阵的秩，而阶梯形矩阵的秩就等于它的非零行的个数。所以，为了计算一个矩阵的秩，只需用初等变换把它变为阶梯形（依据第一节定理1，仅用行的初等变换就能够做到），这个阶梯形矩阵中非零行的个数就是本来矩阵的秩。例4设164

5、1432361A，2015332050求矩阵A的秩，并求A的一个最高阶非零子式。解对A作初等行变换，使之变为阶梯形：416414r2r404311A0153232050r32r1r43r11641404311012971101612812r33r2r44r2164141641404311r4r30431100048000480004800000，因为上式右端阶梯形矩阵的非零行数是3，所以rankA3。再求A的一个最高阶非零子式。由rankA3知，A的最高阶非零子式是3阶的，A的3阶子式共有C43C5340个，要从中找出一个非零子式是比较麻烦的。假如B是矩阵A仅用行的初等变换变为的阶梯形矩阵，用

6、B的各非零行第一个非零元素所在的列按在B中的序次构成矩阵B1，把A中相应列按在A中的序次构成的矩阵记作A1。那么B1也是阶梯形的，它的非零行个数与B的相同，而且就等于B1的列数。所以，B1是一个与B有相同秩的列满秩矩阵。同时，用那些将A变为B的行变换可将A1变为B1，这说明A1是与A有相同秩的列满秩矩阵。考虑到A1是由A的某些列按在A中的序次构成的矩阵，A1的子式必是A的子式，A1的最高阶非零子式必是A的最高阶非零子式。在本例中，1641416116104311041326B0048，B104，A10。002500000000325A1的三阶子式只有C434个，此中必有不为零的，如子式1613

7、26322055就不为零，那么它也是A的一个最高阶非零子式。例5设1112A312，536已知rankA2，求与的值。r23r11112c41211c2解A5r103440443r308540458r3r212110443，0015因rankA2，故10,50，进而1,5。例6证明：矩阵增添一列（或一行），则秩或不变，或增添1。证设矩阵Aaij的秩为r。在A中随意增添一列mnb1,b2,bmT，经过一些列的互换，总能够使所得矩阵变为A,B，而秩不变。所以我们只需研究AA的秩与A的秩之间的关系。用初等行变换将A化成阶梯形矩阵A1，相应地，A的子矩阵A也化成A1,B1的mn阶子矩阵A1，而且A1也

8、是阶梯形的，其非零行都在了A1矩阵的上部。因为rankAr，所以A1恰巧有r个非零行。这样，A1的前r。要否则，r行也都是非零行。假如A1只有这r个非零行，则rankA的第r1行也是非零行。这时，因为A只有个非零行，所以的第A1rA11r是阶1行的前n个元素必然都是零，只有最后那个元素不为零，因为A1梯形矩阵，A1的第r1行以后的各行（假如还有的话）必然都是零行，r1。所以，rankA这就证了然增添一列的情况，近似地可证明增添行的情况。定理2还说明，在mn矩阵A的标准形6Er0r,nr0mr,r0mr,nr中，rrankA。进而，n阶方阵A非退化的充分必需条件是nrankA。二、逆方阵定义3关

9、于方阵A，假如存在同阶方阵B，使得ABBAE则称A可逆，B就称为A逆矩阵，记为A1。若方阵A可逆，那么A的逆矩阵是独一的。事实上，假如A还有一个逆矩阵C，则由定义ACCAE，所以CECA1ACA1ACA1EA1下边要解决的问题是：在什么条件下方阵A是可逆的？假如A可逆，如何求A1？定义4设Aij是方阵a11a12a1na21a22a2nAan1an2ann中元素aij的代数余子式，矩阵A11A21An1A*A12A22An2A1nA2nAnn称为A的陪伴矩阵。由队列式的定义和性质立刻得出A00AA*A*0A0AAE00A假如A0，那么7A1A*1A*AEAA1131）定理矩阵A可逆的充分必需条

10、件是A非退化，而A11A*A证明当A0，由（1131）可知，A可逆，且A11A*。A反过来，假如A可逆，那么有A1，使AA1E，两边取队列式，得AA1E1，因此A0，即A非退化。逆方阵合适以下规律：A11AT1A1TAAB1B1A1kA11A1,k0kA11A此中A,B都是可逆方阵，k是不为零的常数。推论关于同阶方阵A,B，假如ABE，那么A,B都是可逆的而且它们互为逆矩阵。证BEBA1ABA1ABA1EA1不难看出，初等矩阵都是可逆的，它们的逆矩阵仍是初等矩阵。事实上Pi,j1Pi,j,Pik1Pik1,Pi,jk1Pi,jk。定理n阶方阵A可逆的充分必需条件是它能表成一些初等矩阵的乘积：定理两个矩阵乘积的秩不超出每个因子的秩。特别地，当有一个因子是可逆矩阵时，乘积的秩等于另一因子的秩。证设A是一个lm矩阵，B是一个mn矩阵，而且rankAr。由第一节定理2，能够用初等变换将A化为A1Er00。08换句话说，存在l阶初等矩阵P1,Ps和m阶初等矩阵Ps1,Pt，使P1PsAPs1PtA1，于是P1PsABP1PsAPs1PtPt1Ps11BA1Pt1Ps11BA1B1，这里B1Pt1Ps11B。明显，A1B1除了前r行外，其余各行