人教版A版高中数学选修3-4直积课件

1、直 积直 积一、外直积 定义2.4.1 设 是群， 构造集合 与 的 卡氏积 并在 中定义乘法运算: 则 关于上述定义的乘法构成群， 称为群 与 的 外直积 (external direct product)， 记作 一、外直积 定义2.4.1 设 注 (1)如果 分别是群 和 的单位元， 则 是 的单位元。 (2) 设 ， 则 ， (3) 当 和 都是加群时， 与 的外直积也 可记作 注 (1)如果 分别是群 和 的单位元， 定理2.4.1 设 是群 与 的外直积，则 (1) 是有限群的充分必要条件是 与 都是 有限群。 并且， 当 是有限群时， 有 (2) 是交换群的充分必要条件是 与 都

2、是 交换群; (3) 定理2.4.1 设 证 (1) 由卡氏积的性质知， 这是显然的， (2) 如果 与 都是交换群， 则对任意的 ， ， 有 所以 是交换群。 反之， 如果 是交换群， 那么对任意的 有 证 (1) 由卡氏积的性质知， 这是显然的， 即 故所以 ， 都是交换群。 (3) 构造映射 则 是一一对应， 且 即 故所以 ， 都是交换群。 (3因此， 是 到 的同构映射， 即 例1 设 分别是3阶和5阶的 循环群， 则 是一个15阶的循环群。 证 首先， 由定理2.4.1(1)和(2)知， 是一个15阶的交换群。设 因此， 是 到 的同构映射， 即 是 的单位元。则 所以 ， 都不等

3、于 ， 可知 ， 由拉格朗日定理知， 。 即 是15阶循 环群。 是 的单位元。则 所以 ， 都不等于 例2 ， 这里 证 对于4阶群 中的任意元 ， 有 因此， 中没有4阶元素， 故 不是循环群。 而4阶群必同构于循环群或 ， 于是 。 事实上， 到 的任意一个将零元(0，0)映到(1) 的一一对应都是一个群同构。 例2 ， 定理2.4.2 设 是群， 和 分别是 和 中 的有限阶元素。则对于 ， 有 证 设 则 (2.4.1) 从而 的阶有限， 设其为 ， 则我们要证明 。 由(2.4.1)， 我们得 。 又因为 定理2.4.2 设 是群， 所以于是 且 ， 从而 是 和 的公倍数。 而

4、是 和 的最小公倍数， 因此 。 结 合以上讨论得 。 例3 我们来确定 中5阶元素的个数。 由定理2.4.2， 我们就是要确定 中满足 的元素 的个数。显然 这就要求:或者 且 或5; 或者 所以于是 且 ， 从而 是 和 的公倍数。 而且 。 我们分情况来讨论。(1) 此时 有4种选择(即: 3， 6， 9，12)， 也有4种选择，从而共有16个5阶元。(2) 此时 仍有4种选择， 而 只有一种选择， 故共有4个5阶元。(3) 此时 只有一种选择， 而 有4种选择， 故也有4个5阶元。 于是， 共有24个5阶元。且 。 我们分情况来讨论。(1) 此时 有4种 定理2.4.3 设 和 分别是

5、 阶及 阶的循环 群。 则 是循环群的充要条件是 。 证 设 ， 假设 是循环群。 若 。 则由于 而 和 的阶都是 ， 因此 和 是循环群 中的两个不同 的 阶子群。 而这与第一章定理1.5.5的推论2相矛盾， 所以 。 定理2.4.3 设 和 分别是 反之， 假设 ， 则 所以 是 的生成元， 因此 是循环群。 反之， 假设 ， 则 所以 是 二、内直积 定义2.4.2 设 和 是群 的正规子群。 如果 群 满足条件: 则称 是 和 的内直积(it internal direct product)。 二、内直积 定义2.4.2 设 和 是群 定理2.4.4 设 和 是 的子群。 则 是 和

6、 的内直积的充分必要条件是 满足如下两个条件: (1) 中每个元可惟一地表为 的形式， 其中 (2) 中任意元与 中任意元可交换， 即: 对任 意 ， ， 有 。 证 如果 是 和 的内直积， 则 。 所 以， 中每个元 都可表为 的形式， 其中 定理2.4.4 设 和 是 的子群 ， 。 如果 则 ， 从而 。 因此 ， ， 即条件(1)成立。 对任意的 ， ，考虑 ， 则由于 ， 故 又由于 ， 。 如果 则 故 。 所以 ， 即 。 于是条件(2)成立。反之， 若 是 的子群， 且条件(1)和(2)成立。 则 。又对任意的 ， ，其中 ， ， 则由条件(2)， ，所以 故 。 所以 ，

7、即 。 于是 。 同理可得 。 对任意的 ， 有 而由条件(1)， 表为 的形式是惟一的， 故得 ， 即 从而 是 和 的内直积。 于是 。 同理可得 。 对任意的 例4 设 。 则容 易验证: 是 的子群。 令 则 和 是 的正规子群。 显然 ， 且对 ，有所以由定义知 是 和 的内直积。 例4 设 例5 将 自然地看作 的子群， 设 则 是 的正规子群。 显然， 。 因此 从而 。 但是由于 不是 的正规子群， 因此 不是 和 的内直积。 例5 将 自然地看作 的子群， 设 则 是 定理2.4.5 如果群 是正规子群 和 的内直 积， 则 ; 反之， 如果群 ， 则存在。 的正规子群 和

8、， 且 与 同构( =1，2)， 使得 是 与 的内直积。 证 如果群 是正规子群 和 的内直积。 定义 映射 定理2.4.5 如果群 是正规子群 则由于 ， 故 是满射。 又由定理2.4.4知 中 元表为 形式时表法惟一， 故 是单射。 又对任意的 由于 中的元与 中的元可交换， 故 所以， 是同构映射， 从而 如果 ， 令 则由于 ， 故 是满射。 又由定理2.4.4知 则容易验证 都是 的子群， 且对任意的 这一表法是惟一的。 且对任意的 ， ， 有 所以由定理2.4.4知 是 与 的内直积。 而 则容易验证 都是 的子群， 且对任意的 这一表法是以及 分别为 到 和 到 的同构映射。 以及 分别为 到 和 到 的同构映射。 三、多个群的直积 定义2.4.3 设 是有限多个群。 构造 并在 中定义运算: 则 关于上述运算构成群， 称为群 的外 直积。三、多个群的直积 定义2.4.3 设 定义2.4.4 设 是群 的有限多个 正