《现代控制理论》课后习题答案

1、现代控制理论参考答案第一章答案1-1试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。图1-271-1试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。图1-27系统方块结构图解：系统的模拟结构图如下：系统的状态方程如下：x=x12Kx=bx2J32KK1Kx=pxnx+x+px3J3J4J5J61111x=x43x=Kx+KX51316KKKx=1xix+4U6K1K6Kppp令0(s)=y,则y=xi所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为10 x1x2x3JK2-Px4X5X600K3-110-K100KnJ010001J000

2、0KpJ01KK1-i-Kpx+x4x5X600000Ki-Kpy=100001-2有电路如图1-28所示。以电压u(t)为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻r2上的电压作为输出量的输出方程。既得R既得R11x=-jx一x+u1L1L3L111R1x=-x+x2L2L32211x=x+x3C1C2y=Rx22解：由图，令=X1，1=,Uc=X3，输出量y=R2X2Rx+LX+x=uTOC o 1-5 h z1113有电路原理可知：Lx2+Rx=x2223x=x+C123写成矢量矩阵形式为：11010X10X55x1x2x3R1L1R2L21L010 x1x2

3、X31-4两输入uU2两输出人u1y2的系统其模拟结构图如图i-30所示试求其状态空间表达式和传递函数阵。u2图1-30双输入-双输出系统模拟结构图bzhr1V+0i00X10i00X100_xb02+1X003X1A0bc0a601aa43u42解：系统的状态空间表达式如下所示：aa2ii00a5x1x2x3a(sIA)=11s+a10a5000a6s1aa4300-1-00_0ab061s100aa0b432s1as+aW(s)=(siA)-1B=2iux100aW(W(s)=C(sI-A)-1B=10uys-100-1-00_as+a0a0216-10s-100aaa0b1543121-

4、5系统的动态特性由下列微分方程描述(2)节+5y+7y+3y=u+3u+2u列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。X2=y，X3=X2=y，X3=y则有_010_X1x2001+0-3-7-5X31y，ux1xx1x2x3相应的模拟结构图如下：1-6,试求出系统的约旦标准型的实现并画出相应的模拟结构图(2)1-6,试求出系统的约旦标准型的实现并画出相应的模拟结构图(2)已知系统传递函数W(s)=6(s+1)s(s+2)(s+3)2-1016(s+1)4333解：W(s)=+丄s(s+2)(s+3)2(s+3)2s+3s+2s1-300-41000-20313当当九1=1时,1-7

5、1-7给定下列状态空间表达式01.x(si01.x(si-A)-1=1(s+3)(s+2)(s+1)(s+3-2(s+3)-s-5s+3s(s+3)s-100(s+1)(s+2)010_X1-2-30X2+1-11-3X321x2&3x12uX3（1）画出其模拟结构图（2）求系统的传递函数解：(2)W(s)=(sI-A)=2s+30|sI-A=s(s+3)2+2(s+3)=(s+3)(s+2)(s+1)1r(s+3s+30_OW(s)-(si-A)-1B-2(s+3)s(s+3)01ux(s+3)(s+2)(s+1)-s-5s-1(s+1)(s+2)21(s+3)(s+2)(s+1)(s+_(

6、s+3)1.s1(s+3)(s+2)(s+1)_(s+3)1.s(s+3)(2s+1)(s+3)W(s)=C(si-A)-1B=louy1(s+3)(s+2)(s+1)(2s+1)(s+2)(s+1)1-8求下列矩阵的特征矢量-010-(3)A-302-12-7-6-10-解：A的特征方程|Xi-A-3九-2兀+62+11九+60127九+6解之得：九=一1,九=一2,九=一312310_p11P1102p21P21-7-6P31P3103-12解得：p2i-/1一Pn令Pn=1P11-1_P-121P1解得：p2i-/1一Pn令Pn=1P11-1_P-121P1Q11-1P1（或令P11=-

7、1得P1_010_PP1212302P-2P2222-12-7-6P32P32当入1=-2时,1令P12=2解得：P22=_2P12,P32=2P12P12-2_P22-4P11P212（或令p12=t得P222-212_010_PP1313302P-3P2323-12-7-6P33P33p32当九1=-3时,解得：p23=-3P13,P33二3P13令P13二1得1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型(并联分解)1&41102X1-12)3y1121201-2_X132X2+273X531311X1x2u解：A解：A的特征方程九-4|XlA|=1-1-12九2=（九一1）（九3）2=01九

8、一3九=3,九=11,2341-2_p11P11102p21=3P211-13P31P31当入广3时,令P1广1解之得叮P3广P11p11丁p21=1p1O111P141-2_p11p11丁当九2=3时，102p21=3p21+11-13Lp31Lp3111解之得p12=p+1,P令p=112P241-2_p13p13当当3=1时，LL102p23=p231-131p33p332222=p328-58-5-3解之得P13=0，P23=2P33令P33=1得1100-12_=102T-1=11-210101-10-12318-1T-1B=LL11-2LL27=LL-5201-1531-34112

9、0_110314_CT=0111LL102203110111-10已知两系统的传递函数分别为W(s)和W2(s)1s+40试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果解：（1）串联联结1111s+31s+40s+10s+2s+1_s+1s+2_W(s)=W(s)W(s)=211s2+5s+7(s+1)(s+3)(s+2)(s+3)(s+4)11(s+1)2(s+1)(s+2)2）并联联结_11-11_s+1s+2+s+3s+4s+11八00_s+2_s+1_W(s)=W(s)土W(s)=11其中子系统1、2的传递函数阵分别为1-11（第其中子系统1、2的传递函数阵分别为W

10、(s)W(s)=1_1s1s+2W2（s）二0l求系统的闭环传递函数解：10W(s)W(s)121I+W/s)W_10W(s)W(s)121I+W/s)W_1ss+3s+2b+W(s)W(s)11=二112s+31ss+2s+1W(s)=tl+W(s)W(s)11W(s)=121s+3s+1s(s+3)s+2s+31ss+21s+1s_1s1s+211s+1s_s+2s(s+3)110s+1_s+3_s+1s+3(s+2)(s+1)01-111-11（第2版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为0-0-2W(s)=1W2（s）二I+W(s)W(s)=11tl+W(

11、s)W(s)li=11s(s+1)s2+5s+2IlW(s)=1W2（s）二I+W(s)W(s)=11tl+W(s)W(s)li=11s(s+1)s2+5s+2Il+W(s)W(s)liW(s)=s(s+1)s2+5s+2-2s(s+1)(s+2)2s(s+2)s(s+2)s2+5s+22(s+2)s+1一一+s+1(s+l)2(3s+8)(s+2)2(s2+5s+2)s3+6s2+6s(s+2)(s2+5s+2)s+1s2+5s+2s+2s2+5s+21-12已知差分方程为y(k+2)+3y(k+1)+2y(k)=2u(k+1)+3u(k)试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u的系数

12、b（即控制列阵）为1）b=解法1：2z+3z2+3z+211+z+1z+2-1x(k+1)=0 x(k)+11u(k)求系统的闭环传递函数解：111111s+1s101s+1s2101_21s+2_s+2_11s+210sW(s)W(s)=11y(k)=&11x(k)解法2：11x(k+1)=x(k)12x(k+1)=-2x(k)-3x(k)+u212y(k)=3x(k)+2x(k)12x(k+1)=0-21-3x(k)+01u(k)y(k)=b2x(k)求T,使得T-iB=T-1AT=1101-2-3得T-1=01-4-5所以-1C=b2：0b-1所以，状态空间表达式为11u(11u(k)z

13、(k+1)=51z(k)+51y(k)=b1z(k)第二章习题答案2-4用三种方法计算以下矩阵指数函数eAt。2)A=解：第一种方法：令解：第一种方法：令卜IA|=0九-1九-1-4-1九一1=0，即C-1)2-4=0。当九=3当九=3时,1特征矢量p1=_1p3p11=1141p213p21P11P21由A/1耳，得11当当21时特征矢量P：由AP21pP121241P22P2221p12P22i2P2，得可令P2=p12+P22一P124p+p1222一P2222T1eAt=211-1111_e3t+ete3tet0242244et1111e3t+ete3t+_24_2224e3t0第二种

14、方法，即拉氏反变换法rsiisiA=4s1sisiA1=1(s-3)(s+1)1s1ss1(s-3)(s+1),4,、(s-3)(s+1)1(s3)(s+1)s1(s3)(s+1)eAt=LeAt=L1r(siA)-111e3t+et22e3tet11e3tet4411e3t+et221r11)1r11+2js3s+1丿4js3s+1丿111r11)一+s3s+12js3s+1丿第三种方法，即凯莱哈密顿定理由第一种方法可知入-3，几2=13-1e3t1et1113_-13_一e3t+et4e3t441et111-e3tet4L441414(13)10-(13)1eAt=e3t+e-t+e3t+

15、e-1144丿_01144丿4111e3t+e-t22e3t-e-t11e3te-14411e3t+e-t222-5下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的A阵。(t)=解：(3)因为4)2e-t-e-2te-t-e-2t(t)=解：(3)因为4)2e-t-e-2te-t-e-2t(0)=2e-2t-2e-t2e-2t-e-t(4)(t)=卩(e-1+e3t)2-e-1+e3t=I,所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件2e-t+2e-2t4e-2t+2e-1-0-2_t=0e-1+2e-2t4e-2t+e-t_1-3_01t=010所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件A=(&(t)

16、因为(0)=A=(&(t)13131et+e3te-t+e3t2244e-t+3e3t13et+e3t2201t=0t=01(-e-t+e3t(e-t+e3t2)2-6求下列状态空间表达式的解：01101x+001y=(1,0)x初始状态x(0)=H，输入u(t)时单位阶跃函数。解：s-1siA=0s(sI(sI-A)-1=-1s(t)=eAt=L-1(si-A)-111t1一一01因为u(t)=I(t)因为x(t)=Q(t)x(0)+jt(tT)BuG)dT0+jt+jt0tT1dT1t-丁+jt1tT_OdT01100111t+1-t21+21-1t12+t+12t+1y0 x=212+1

17、+12-9有系统如图2.2所示试求离散化的状态空间表达式。设采样周期分别为Ts和1s,而ui和u2为分段常数。图2.2系统结构图解：将此图化成模拟结构图列出状态方程x&=kux111x&=xu212y=x+2x21-10k0_ux=x+1100-1u11112y=2lXix2则离散时间状态空间表达式为x(k+1)=G(T)x(k)+H(T)u(k)y(k)=cx(k)+Du(k)-10k0-2A=B=CT=100-11由G-10k0-2A=B=CT=100-11由G(T)=eAt和H(T)=JTeAtdtB得:0s+10e-Tr(si-a)-ieAt=L-1e-t0_k0一1-e-t0k0一k

18、(1-e-t)0_1-e-T1dt_0-1T-1+e-TT_0-1k(T-1+e-T)-T=L-11s000e-1x(k)+x(k+1)=H=JTeAtdt=JT0k(1-e-1)当T=1时1-e-1u(k)ke-1-1y(k+1)=21x(k)当T=0.1时x(k+当T=0.1时x(k+1)=e-0.11-e-0.1x(k)+k(1-e-0.1)0k1-0.9)-0.1u(k)y(k+1)=21x(k)第三章习题3-1判断下列系统的状态能控性和能观测性。系统中a,b,c,d的取值对能控性和能观性是否有关，若有关，其取值条件如何？（1）系统如图3.16所示：xuxu解：由图可得：状态空间表达式

19、为：图3.16系统模拟结构图x=-ax+u11x=-解：由图可得：状态空间表达式为：图3.16系统模拟结构图x=-ax+u11x=-bx22x=-cx+x+x=x+x-cx332x=x-dx43y=x3x1x2=x3x4-y=00-a000_x11丁0-b00 x02+11-c0 x03001-dx40uox1由于x、x、x与u无关,234能观的，为不能观系统。因而状态不能完全能控，为不能控系统。由于y只与x3有关，因而系统为不完全3）系统如下式：解：如状态方程与输出方程所示，A解：如状态方程与输出方程所示，A为约旦标准形。要使系统能控，控制矩阵b中相对于约旦块的最后一行x-110_x-211

20、x=0-10 x+a022x00-2xb033u兀素不能为0,故有a丰0,b丰0。要使系统能观，则C中对应于约旦块的第一列元素不全为0,故有CH0,d丰0。3-2时不变系统X=X=u-31-X+j1_1-311j1-X1-1y=试用两种方法判别其能控性和能观性。解：方法一：M=IbM=IbabL-2-2-2-2-31-1111_A=,B=,C=1-3111-1rankM=12,系统不能控。CCA1CCA11-2-41-1-24rankN=2,系统能观。方法二：将系统化为约旦标准形。|xi|xiA=(X+31=0九=2,X=412则状态矢量：AP=XPnP=11111AP22=AP22=XPnP

21、=2221-111T=11T=1-1T-1=T-1AT=-311T-1AT=-311-3111-1-20-411100T-1B=2110021111-11-1CT=2002T-陀中有全为零的行，系统不可控。CT中没有全为0的列，系统可观。3-3确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数a和Bii11112-1解：构造能控阵：a+11a2要使系统完全能控，则a+1丰a，即a-a+1h01212构造能观阵：N=CN=CCA-1要使系统完全能观，则1-aH-a，即aa+1h021123-4设系统的传递函数是y(s)_s+au(s)s3+10s2+27s+18当a取何值时，系统将是不完全能控

22、或不完全能观的？当a取上述值时，求使系统的完全能控的状态空间表达式。当a取上述值时，求使系统的完全能观的状态空间表达式。解：(1)方法1:W(s)_凹_su(s)(s+1)(s+3)(s+6)系统能控且能观的条件为W(s)没有零极点对消。因此当a=1，或a=3或a=6时，系统为不能控或不能观。方法2：a-1a3a-6y(s)s+a106丄_丄u(s)(s丄1)(s丄3)(s丄6)s丄1s丄3s丄6九_1，九_3，九_6123-1-100-丁030X丄100-61系统能控且能观的条件为矩阵C不存在全为0的列。因此当a=1，或a=3或a=6时，系统为不能控或不能观。(2)当a=1，a=3或a=6时

23、，系统可化为能控标准I型uu-010-Ox=001x+0-18-27-101y=Da10 x(3)根据对偶原理，当a=1,a=2或a=4时，系统的能观标准II型为00-18-a10-27x+101-100u0lxy=t)3-6已知系统的微分方程为：+6y+11y+6y=6u试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。解：a=6，a=11，a=6，a=3，b=601230系统的状态空间表达式为010-x=001x+0-6-11-61y=D600 xu传递函数为s-10一-10s-10611s+610W(s)=C(sI-A)-1B=k0s3+6s2+11s+6其对偶系统的状态空间表达式为：00-

24、6-610-11x+001-60u0lxy=D)传递函数为W(s)=s3-6s2一11s+63-9已知系统的传递函数为W(s)=斗s2+4s+3试求其能控标准型和能观标准型。解:W(s)=s2+6s+8=1+2s+5s2+4s+3s2+4s+301-0_x+_-3-41系统的能控标准I型为uy=k2L+u能观标准II能观标准II型为u0100 x=-2-30X+1-11-32y=t001Xu0-35_X+1-42x=+u0-35_X+1-42x=+uy=t)11c3-10给定下列状态空间方程，试判别其是否变换为能控和能观标准型。M=bAbA2bL1-2-5-3711系统为不能控系统，不能变换为

25、能控标准型。c-001_N=CA=-1-1-3CA21-79rankM=23,rankN=3，系统为能观系统，可以变换为能观标准型。010-2-30，b=1-11-32解：A=c=bo111试将下列系统按能控性进行分解12-厂010,b=00-4311)A=,C=1-11解：M=bAbA2b=-409rankM=23，系统不是完全能控的。0-100，R=Ab=0，R=123130=b=，其中R是任意的，只要满足R满秩。3c0-10301001得R-1=-100130c010构造奇异变换阵R：cR1即R=cAA=R-1AR=cc3-121)_0-32-丁14-2b=R-1b=0001c0试将下列

26、系统按能观性进行结构分解c=cR=12-1c12-1o010,b=00-431A=,C=1-11C_1-1则有N=CA=2-32CA24-74解：由已知得A=rankN=2v3,该系统不能观12-12-1O010,b=00-431,C=1-11构造非奇异变换矩阵R-1,0-1-30-101=cRox=h0氐y=3-13=cRox=h0氐y=3-13试将下列系统按能控性和能观性进行结构分解100丁1)A=223,b=2-2012,C=11解：由已知得M=AAbAb221120126-2010-230%+2-7321uX=R-1AR张+R-1bu=000rankM=3，则系统能控c112_N=cA

27、=-125cA2-7411则系统能观rankN=3,所以此系统为能控并且能观系统77311取T=212c220126-2，则T-i=7c2-3141_2144-354002-10-5，B=T-1b=0c20140则A=c=cT3-14求下列传递函数阵的最小实现。c2=71323解：11a=1，B=，A=0011c1011-B=，C=，D=c_01c11cws+111-10-10000系统能控不能观(s)=1)10-00C=CR=，D=c01000=1，所以最小实现为Am(s)=1)10-00C=CR=，D=c01000=1，所以最小实现为Am=11，100，D=1m00Cm/I八1/验证：CU

28、i-A户Bmmm=w(s)3-15设Z和Z是两个能控且能观的系统1201-0z：A=，b=11-3-411=-2，A2b=1，2C=12C=211z：21)试分析由Z和Z所组成的串联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数;122)试分析由z和z所组成的并联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数。12解：1)Z1和Z2串联111-，则R=01001取R-1=0-10-1R-1AR=，B=R-1B=000-10c01所以A=丫丫s+2当为的输出y是为的输入u时，X=-2x+2x+x11223312_01_01o-0_-3-40 x+121-20y=00lx01-4M=bAbA2b=1-41301-

29、4则rankM=2v3，所以系统不完全能控。W(sW(s)=C(sI-A)-1B=(s+2)(s+3)(s+4)s2+7s+12当2得输出y是2的输入u时221因为M=bAbA2b因为M=bAbA2b011-0_-3-41x+000-21u，y=21ox01-21-6-4rankN=23rankM=3则系统能控rankN=23c210_cA=-3-21cA2654因为N=则系统不能观W(s)=C(si-A)-1B=s2+7s+12(2)工和工并联12因为rankM=3，010-因为rankM=3，010-0_-3-40 x+100-21M=AAbAb2u，所以系统完全能控y=211x1-4-2

30、-413-4c211_N=cA=-3-2-2cA2654因为rankN=3，所以系统完全能观w(w(s)=C(sI-A)-1B=f近2s+2+2八U1Xs+2)(s+3)现代控制理论第四章习题答案1判断下列二次型函数的符号性质：(1)Q(X)=X23X211x2+2XXXX2XX12312231313(2)v(x)=x2+4x2+x22xx6xx2xx13123解：(1)由已知得Q(x)=X3X1XX11x1X1X2X3x33x2X1111A=10，A1233=3710,A1602X33A2因此Q(X)不是正定的4-2已知二阶系统的状态方程x1x11TOC o 1-5

31、 h z_（aa&=1112x、aa.2122试确定系统在平衡状态处大范围渐进稳定的条件。解：方法（1）：要使系统在平衡状态处大范围渐进稳定，则要求满足A的特征值均具有负实部。即：尢一a尢一aiia21a12九一a22=九2(a+a)九+aaaa112211221221有解，且解具有负实部。即：a+aaa112211221221方法（2）：系统的原点平衡状态x=0为大范围渐近稳定，等价于AtP+PA=Q。e取Q=I，令P取Q=I，令P=P11P12P12P22，则带入ATP+PA=Q，2a2a0_一P一-112111aa+aaP=0121122211202a2aP1112222211得到2a1

32、12a11a1202a21a+a11222a120a=4(a+a)(aaaa)丰0，则此方程组有唯一解。即211122112212212a22P=2(a+P=2(a+a1122)|A_(aIaI+a2+a22122a+aa)12222111(aa+aa)12222111IaI+a2+a21112其中detA=IAI=aaaa11221221要求P正定，则要求A+a2+a2A=P=212201112(a+a)|A1122(a+a)(a+a)2+(acc4(a+a)1122a)2210因此a+a011224-3试用lyapunov第二法确定下列系统原点的稳定性1_x3解：(1)系统唯一的平衡状态是x=0。选取Lyapunov函数为V(x)=x2+x20，则e12V(x)=2xxx+2xxx1122=2x(x+2x)+2x(2x3x)112212=2x2+6xx6x2112233=2(xx)2x20，则e12V(x)=2xxx+2xxx1122=2x(x+x)+2x(xx)112212=2x22x202221试确定平衡状态的稳定性。解：若采用克拉索夫斯基法，则依题意有：f(f(x)=2a(1+x)2xx21001a4ax3ax22Q(x)=Jt(x)+J(x)11a4ax3ax22202a8ax6ax2220