2020年全国高中数学联赛福建预赛试题及答案

1、2020年全国高中数学联赛福建预赛试题及答案2020年全国高中数学联赛福建省赛区)预赛&2020年福建省高中数学竞赛试卷(考试时间；加20年6月27日上午沢00-11-30)一、填空题共10小题，每小题6分，满分60分.请直接将答案写在答题卷相应位置上)已知复数二满足|2-1|=|-/|-若三|为正实数，则-已知0)=%個(砒+护)血0，|诃|百押人若/()=0f(斗=且/()的最小正周期大于则炉=.3+已知工表示不超过上的最大整数，集合力工-朋町，/?=r|2.则加目=*一已知函数/(是定义在况上的偶函数且对任意实数I都有y(.T+i)=/(i-x).立，TOC o 1-5 h z出IS赫2

2、吋./(x)=lnx.若关于工的方程/+商-2D在工打3上有两个不相等的实数根+则a的取值范围为女*卡爭设片、耳为双曲线：(fJ0-b)的左、右焦点，过打的直线r交双曲线的右支于两点t且AFtAF2=0,巧R+绍“(h则刈曲线的离心率认一匚在哄凸十八边形的顶点为顶点构成的三角形中，任取一个三帝形，则所取的三角闿与该十八边形无公共边的概率为*bcd【第7题图)7.如图在正方体ABCD-C中，点止、F、石分别在林丄4”.n.ma2总战丈*则wr的最大馆为_.101设正整数”为合数.八叩为”的最小的三个正约数之和.肌町为丹的最大的两牛正的数之和.若g(tf)=fn)+则片的所有可能值为*，二、解答题

3、(共5小题，每小题20分，满分100分要求写出解题过程，写在答题卷相应位置上)己知数列满足=1=5tan2=4flrM+I3an(we；V*).(1)求数列“的通项公式：设b严丄一,7；是数列的前项的和，求证：Tb0)的离心率为右焦点F到直线x-y+2=0的cro2距离为20,4、4分别为椭圆C的左、右顶点.求椭圆C的方程；过点F的直线/交椭圆C于/1、两点(点4在A轴上方)，y为直线/、舄的交点.当点丁的纵坐标为6州时，求宜线/的方程.C分别切于点D、E.13如图，在川心？中，AB0恒成立，求实数a的取值范围.将一个2020 x2020方格表的每个小方格染黑、白两种颜色之一，满足以下条件：方

4、格表中的任意一个小方格，它所在的行与列的所有小方格中，与/异色的小方格多于与/同色的小方格证明：染色后，方格表中每行、每列两种颜色的小方格一样多.2020年全国高中数学联赛（福建赛区）预赛暨2020年福建省高中数学竞赛试卷参考答案（考试时间：2020年6月27日上午9：00-11：30,满分160分）一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分请直接将答案写在题中的横线上）1.已知复数三满足|z-l|=|z-/|,若一三为止实数，则三=【答案】2+2/=(x-l)+.v+5(.丫_1)_词(x-)2+x2【解答】山|二一1|=|二一/|=(x-l)+.v+5(.丫_1)_词(x-)2+x2o

5、il-=z-l+=x+x/-l+-二一1二一1X+X/-1=(.v-l)+5(x-l)(x-l)2+x25x(x_l)2+x2心甘皿实数，知（-）+需+0,占寸解彳所1以，r=2+2z.2.已矢2.已矢|l/(x)=3cos(ex+0)(0|俨|兀），若/（芈20,/（学）=3,11./（对的Oo最小正周期大丁最小正周期大丁2兀则卩11兀【答案】12【解答】ill/()=()f()=3ft/-inkeZ.TOC o 1-5 h z?-r41另山fW的最小止周期大于2兀tftjIn.069I.于是,0-(2m-k)co32丄2m-kdilldi,keZ得2m-k=14lbr?211lbr【人I此

6、，q=二.将。=二代入(o+(p=2ni7t(ineZ)W(p=2jji7t5wZ)结?3812的11兀7r9rx=12已知珂表示不超过x的彼大桀数，集tA=xZ?=.r|2.v2-3.v-5=0,贝Ij/C.【答案】【解答】易知(-2,3),【解答】易知(-2,3),ixA,则x=-2一l,(),1.2、lx=-2时，若.丫w3,则2.v:+6-5=0,x不存/l当x=_l时,若XW”，则2x2+3-5=0,x=1.x=l不符合要求,x=-l符合要求.、la-、la-=0时，林xwB,Wij2x2-0-5=0,、二】0,均不符合要求.z2,均不符介要求.为x=2时，z2,均不符介要求.为x=

7、2时，VixeB.则2x2-6-5=0,.Y=土互.X=至符介要求，.至不222符介耍求.所以AfB所以AfB=已知函数/是定义在人上的偶函数，且对任意实数x,都仃/(x+l)=/(l-x)成立,当1x2时，/(.v)=Inx.若关J：.V的方/(.v)+ax-1=0在xw3,5I*.网个不相等的实数根，则c的取值范用为.【答案】0丄A15J【解答】如图，分别作出函数py=f(a)丄Jy=-ax+1的图像，其中-P(0l),6(-,0).a-1012345GX山图像可Sn,仏=丄，即(第4题答题图)0l|bJ,两函数图像在.0方0）的左、右焦点，过E的肛线/交双曲线C的右支于X、B两点,IIA

8、F.AFO,F2B+2F2A=09则双曲线C的离心率为.【答案】【解答】如图，设AF2=t,则依题意旬刃订=力，|肋|=3，|础|=2+八|眄|=2a+2F.山祈廷=0,知/斥丄月/所以,I舫r+i；r=i衲AFl2+AB2=FlB2讪(2+/)+，3.解得,(2a+t)2+f=(2+2川TOC o 1-5 h zx/17!=a,c=a3I人I此，离心率e=.在以凸|八边形的顶点为顶点构成的三角形中，任取一个三角形，则所取的三角形与该I八边形无公共边的概率为.【答案】136【解答】以凸丨八边形的顶点为顶点的二角形个数为G；.对尸凸I八边形的任意个顶点要作为与凸边I八形无公共边的三角形的-个顶点

9、，则二角形的另外两个顶点p、c不能为顶点川在凸I八边形中的两条边的另外两个顶点,只能是1L它15个顶点屮的不相邻的两个顶点，共冇（；：-14种不同的选収方法.所以，9原凸I-八边形无公共边的三角形的个数为7X18X（C,25-14）.因此，所求的概率为-x!8x(C-14)91136557.如图.在匸方体ABCD-ACp,中，点F、G分别在棱側、/“、D.C,I：,E为AA.中点，竺=笑=丄记屮|（|EFG*jT:Ifll4即Q的交线为八则（L线wUT:IfllDXADXCX3ABCD所成角的iF切值为【答案】35858【解答】如图，设4Z）.F的交点为八延长GF、4交J：点Q则PQ为平面EF

10、G与平血Afi.CD的交线为m.不妨设正方体棱长为3,D.FDfi3AQ=AXF=2知，（第7题图）作PH1ADJ=H,则皿丄平Iftl,连结07,则ZPQH就是I工线尸0与平而A、BGD所成的角.设PH则倂f山欝嘖是，QI12=QA;+AJI1=224-(y)2,QII=-所以,tanZ?(/=QH3x5858（第7题答题图）111平IfllABCD/平Ifll耳CQ知,在线PQf亍平面4巧3、平血叙Q所成角相等所以，直如与平面M3所成角的正切值为警.8.己知o、b、c.为正数.ILf/+20A=c+2（W=2,则丄+丄的最小值为abed【答案】字【解答】由条件知,。宀存如佥笃吟哙.所以,丄

11、+丄二+込丄丄+竺）（卄20方）（40】+叱型聚abedah2ah2abrfOb20c)_44120b20为L仅c=2(WL=,HPa=A=-ab21所以，丄+丄的放小值为巴.abed2山鶴时等号成立.已知实数加满足:当关于X的实系数元二次方程亦+&T+C有实根时,(a-b)2+(b-c)2+(c-7):ma2总成工，则加的最大flT.为【答案】-8【解答】设“=(匕上(二匚,英中4、b、。为实数，。工0.a当方程ax2+bx+cO有实根时,设轧两根为旺、耳山韦达定理知,bcX+Xy=，XXy=,aaJ是.(a-Z)2+(/)-c)2+(c-)2fb2bc、2qzn=；=(1)+()+(I)a

12、aaaa=(1+勺+兀)+(兀一*2-勺丫2y+(兀勺-I)2=2(X；+A；+l)(x；+x2+1)、3392xx=.TOC o 1-5 h z48ioill仅H|Jp)，则f(n)=+p+(j=+p(mod/),/(2(l+p)(modq)illp(in,知g()=+上为g的倍数，g()三0(modq)J：是，(l+/?)3三0(modq)P山q为素数知I，q|l+“.J：是，pc+p,符介条件的素数“、q只有p=2,q=3.又p=2,7=3时,/()=6,gGO=,illg()=/*()得=6s,n=144.经验证=】44符合耍求.所以，”的所仃町能值为=I44.解法二：若”是奇数,则n

13、的世约数都是奇数,山/()与g)的定义知f()为奇数,g()为偶数，故”不满足条件.因此只需考虑”是偶数的情况，此时1、2是”的最小的两个止约数，上是”的最大的两个正约数.设d是”的第三小的lK约数，则/(”)=1+2+d=d+3,g(n)=”+弓=3彳，丿0以，3#=(+3)，从而,(3d)y=30(m(xi3)F是,3d,这样丹的第三小的止约数只能是3此时/(”)=6，故3-=63,U|Iw=144.2因此的所有可能值为n=144.解答题（共5小题，每小题20分，满分100分要求写出解题过程）已知数列。”满足竹=1,a2=59%2=他+i（“”）（1）求数列%的通项公式：设$=一，7；是数

14、列的前”项的和，求证:Tn2时,a=（b0)的离心率为丄，右焦点尸到1T.线x-v+2=0的/V2距离为2近,4、4分别为椭闘C的左、右顶点求椭圜c的方程:过点F的直线/交椭圆C-A.B两点(点力在x轴上方),卩为直线如4、曲的交点当点7的纵坐标为6石时，求IT线/的方程【解答】(1)山右焦点F(c【解答】(1)山右焦点F(c,0)到直线x-y+2=0的亚离为2近,=2x/2.结ioO,得c=2乂椭阴的离心率为W此，=2e=4b=2.7所以,椭圆C的方程为-4-=1612(2)解法一：如图，易知化线/斜率不为所以,椭圆C的方程为-4-=1612(2)解法一：如图，易知化线/斜率不为0,设厂方程

15、为X=mv+2x=my+2v2v2,得(3r+4)V2+12wv-36=0+=11612方程的判别式(),冇两个不相等的实根.设/i(X，H),(丫2，儿)，则Jy】+)2=讪儿“2=讪二设口/,6馆).山4、A.厂共线得，墜二2=21二9,即llH1.(第12题答题图)/+4X+4“4=6石（“+4）=6石仙+仝）,11山払、7*共线得，朋-=212,即/-4x2-4z_4=6A.v;-4)=6(w_A)TOC o 1-5 h z儿儿10分（/+4）-3（/一（/+4）-3（/一4）=6y/3（m+-3m+）=6命（一2也+6：、）=6/J（-27+6匚）=027】儿一36山11匕町得,/=

16、815分所以，门46馆)，直线/方程为y=(x+4),与MMC的方稈丄+二=1联“得21612/(0,2后所以,.1工线4F方程即直线/方程为y=-命x+2/?,即VJx+y-2命=020分解法二：如图，易知宜线/斜率不为()，设/方程为x=w+2(3解法二：如图，易知宜线/斜率不为()，设/方程为x=w+2(3厂+4)y2+12wv-36=0 x=my+2山彳X2V2，W+=11612方程的判别AAo,有两个不相等的实根.设心必),B(x2,设心必),B(x2,y2),则y+y2=-12m3+4一363沪+4设T(t,6/3).山岀、设T(t,6/3).山岀、A.T共线得，理二2=21二V,

17、|1|J6a/s(x.+4)/T.6/+4=6丁3(/).山4、R、厂其线得，仝二2=21二2,即/-4y2-4一6凤-J屈22联立两式消f,W-8=6/3(+),+丄=二312123(310分所以,3|1二所以,3|1二(”+儿)+2儿_2)y2)y23运一12m宀2-36;2v7=尸x；3+43/33厂+41515分-18加+4巧代入儿比=一363/+4得r沪春,解得，”占所以,11线/方程为v+2H|Ja/Jx+j-2/3=0.20代入儿比=一363/+4得r沪春,解得，”占所以,11线/方程为v+2H|Ja/Jx+j-2/3=0.20分y=k(x-2)ill丫22,得(3+42川2_1

18、6斤2兀+16/_48=0+=1161216,3+4疋16，-4R3+4疋的判别式=576(，+i16,3+4疋16，-4R3+4疋设J（Xj,y）,B（x2,y2）,则x,+x2=山勺、a.r共线待也二即“4二迢也叽、共线得学产器仙亠警于/+4a*.+4k(X2)叽、共线得学产器仙亠警于10分隔(“半(笫一3孝)=半弋爲害严山一2斗斗+10（斗+斗）一32=-2乂“一?+10=（x+4）,与椭闘C的方程+=1联立得121612/（0.2巧）所以，flfftAF方程即11纟戈/方用为y=-/3x+2/3,U|Jy/x+y-2/3=020分MN（第13题图）VN（第13MN（第13题图）VN（第

19、13题答题图）15分如图，在/IBC中,AB0恒成工，求实数a的取值范I札【解答】/(X)=(2.v+a-l)er+卜，+(a-l).v+1ex=(x+1)(.r+a)ex.设g(x)=x2+(a-l).r+1.当一时，方程r+(a)x+i=o的判别式=(a1)2-450,此时g(x)0恒成立,f(.v)+e2=g(.v)ex+e2e20恒成立.5分当a3U寸，xv-a或丫一1时，f(x)0:-avxv-l时，f(x)0,/(.r)4-e20成71.半x-a时，/(x)的皿小值为/(-l)=(3-a)el.ill/(.v)+e20恒成工知，(3-6/)e_1+e20,ae3+3.Wilt,3aSe十3.10分当。一111寸，“一11寸，厂(x)()；-lx-aIbj,fXx)(rj-l)x0,f(x)+e20JjK立.当x-l时,/(.v)的最小值为f(-a).山/(