(新高考)高考数学一轮复习考点复习讲义第61讲《离散型随机变量的均值与方差、正态分布》（讲）（解析版）

1、第61讲 离散型随机变量的均值与方差、正态分布思维导图知识梳理1均值一般地，若离散型随机变量X的分布列为：Xx1x2xixnPp1p2pipn则称E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量X的均值或数学期望它反映了离散型随机变量取值的平均水平2方差设离散型随机变量X的分布列为：Xx1x2xixnPp1p2pipn则(xiE(X)2描述了xi(i1,2，n)相对于均值E(X)的偏离程度而D(X)eq isu(i1,n, )(xiE(X)2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根eq r(DX)为随机变量X的

2、标准差3两个特殊分布的期望与方差分布期望方差两点分布E(X)pD(X)p(1p)二项分布E(X)npD(X)np(1p)4正态分布(1)正态曲线的特点曲线位于x轴上方，与x轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线x对称；曲线在x处达到峰值eq f(1,r(2)；曲线与x轴之间的面积为1；当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移；当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散(2)正态分布的三个常用数据P(X)0.682 6；P(2X2)0.954 4；P(3X3)0.997 4.题型归纳题型1 离散型随机变量的均值与方

3、差【例1-1】为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为eq f(1,4)，eq f(1,6)；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为eq f(1,2)，eq f(2,3)；两人滑雪时间都不会超过3小时(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量(单位：元)，求的分布列与数学期望E()，方差D()【解】(1)两人所付费用相同，相同的费用

4、可能为0,40,80元，两人都付0元的概率为P1eq f(1,4)eq f(1,6)eq f(1,24)，两人都付40元的概率为P2eq f(1,2)eq f(2,3)eq f(1,3)，两人都付80元的概率为P3eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,4)f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,6)f(2,3)eq f(1,4)eq f(1,6)eq f(1,24)，故两人所付费用相同的概率为PP1P2P3eq f(1,24)eq f(1,3)eq f(1,24)eq f(5,12).(2)由题设甲、乙所付费用之和为，可能取值为0,40,80,120,16

5、0，则：P(0)eq f(1,4)eq f(1,6)eq f(1,24)，P(40)eq f(1,4)eq f(2,3)eq f(1,2)eq f(1,6)eq f(1,4)，P(80)eq f(1,4)eq f(1,6)eq f(1,2)eq f(2,3)eq f(1,6)eq f(1,4)eq f(5,12)，P(120)eq f(1,2)eq f(1,6)eq f(1,4)eq f(2,3)eq f(1,4)，P(160)eq f(1,4)eq f(1,6)eq f(1,24).的分布列为04080120160Peq f(1,24)eq f(1,4)eq f(5,12)eq f(1,4)

6、eq f(1,24)E()0eq f(1,24)40eq f(1,4)80eq f(5,12)120eq f(1,4)160eq f(1,24)80.D()(080)2eq f(1,24)(4080)2eq f(1,4)(8080)2eq f(5,12)(12080)2eq f(1,4)(16080)2eq f(1,24)eq f(4 000,3).【跟踪训练1-1】(2019浙江高考)设0a1，随机变量X的分布列是X0a1Peq f(1,3)eq f(1,3)eq f(1,3)则当a在(0,1)内增大时，()AD(X)增大BD(X)减小CD(X)先增大后减小 DD(X)先减小后增大【解析】选

7、D由题意知E(X)0eq f(1,3)aeq f(1,3)1eq f(1,3)eq f(a1,3)，因此，D(X)eq blc(rc)(avs4alco1(f(a1,3)0)2eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(a1,3)a)2eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(a1,3)1)2eq f(1,3)eq f(1,27)(a1)2(12a)2(a2)2eq f(1,27)(6a26a6)eq f(2,9)eq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(af(1,2)2f(3,4).当0aeq f(1,2)时，D(X)

8、单调递减；当eq f(1,2)aeq f(4,5)，peq f(3,5).又peq f(1,3)q1，q0，peq f(2,3).p的取值范围为eq blc(rc(avs4alco1(f(3,5)，f(2,3).(3)假设丙选择“投资股市”的方案进行投资，记X为丙投资股市的获利金额(单位：万元)，随机变量X的分布列为X402Peq f(1,2)eq f(1,8)eq f(3,8)则E(X)4eq f(1,2)0eq f(1,8)(2)eq f(3,8)eq f(5,4).假设丙选择“购买基金”的方案进行投资，记Y为丙购买基金的获利金额(单位：万元)，随机变量Y的分布列为Y201Peq f(1,

9、2)eq f(1,3)eq f(1,6)则E(Y)2eq f(1,2)0eq f(1,3)(1)eq f(1,6)eq f(5,6).E(X)E(Y)，丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大【跟踪训练3-1】(2019广东省七校联考)某工厂的检验员为了检测生产线上生产零件的情况，现从产品中随机抽取了80个零件进行测量，根据测量的数据作出如图所示的频率分布直方图注：尺寸数据在63.0,64.5) 内的零件为合格品，频率作为概率(1)从产品中随机抽取4个，记合格品的个数为，求的分布列与期望；(2)从产品中随机抽取n个，全是合格品的概率不小于0.3，求n的最大值；(3)为了提高产

10、品合格率，现提出A，B两种不同的改进方案进行试验若按A方案进行试验后，随机抽取15个产品，不合格品个数X的期望是2；若按B方案进行试验后，随机抽取25个产品，不合格品个数Y的期望是4.你会选择哪种改进方案？【解】(1)由频率分布直方图可知，抽取的产品为合格品的频率为(0.750.650.2)0.50.8，即抽取1个产品为合格品的概率为eq f(4,5)，从产品中随机抽取4个，合格品的个数的所有可能取值为0,1,2,3,4，则P(0)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,5)4eq f(1,625)，P(1)Ceq oal(1,4)eq f(4,5)eq blc(rc)(avs4al

11、co1(f(1,5)3eq f(16,625)，P(2)Ceq oal(2,4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,5)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,5)2eq f(96,625)，P(3)Ceq oal(3,4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,5)3eq f(1,5)eq f(256,625)，P(4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,5)4eq f(256,625).所以的分布列为01234Peq f(1,625)eq f(16,625)eq f(96,625)eq f(256,625)eq f(256,625)的数学期

12、望E()4eq f(4,5)eq f(16,5).(2)从产品中随机抽取n个产品，全是合格品的概率为eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,5)n，依题意得eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,5)n0.3，故n的最大值为5.(3)设按A方案进行试验后，随机抽取1个产品是不合格品的概率是a，则随机抽取15个产品，不合格品个数XB(15，a)；设按B方案进行试验后，随机抽取1个产品是不合格品的概率是b，则随机抽取25个产品，不合格品个数YB(25，b)依题意得E(X)15a2，E(Y)25b4，所以aeq f(2,15)，beq f(4,25).因为eq f(2,15)eq

13、 f(4,25)，所以应选择方案A.【跟踪训练3-2】(2018全国卷)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验设每件产品为不合格品的概率都为p(0p0；当p(0.1,1)时，f(p)400，故应该对余下的产品作检验【名师指导】离散型随机变量的期望和方差应用问题的解题策略(1)求离散型随机变量的期望与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用期望、方差公式进行计算(2)要注意观察随机变量的概率分布特征，若属于二项分布

14、，可用二项分布的期望与方差公式计算，则更为简单(3)在实际问题中，若两个随机变量1，2，有E(1)E(2)或E(1)与E(2)较为接近时，就需要用D(1)与D(2)来比较两个随机变量的稳定程度即一般地将期望最大(或最小)的方案作为最优方案，若各方案的期望相同，则选择方差最小(或最大)的方案作为最优方案题型4 正态分布及其应用【例4-1】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(，2)(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3，

15、3)之外的零件数，求P(X1)及X的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3，3)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查试说明上述监控生产过程方法的合理性；下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：99510.129.969.9610.019.929.9810.0410269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得eq xto(x)eq f(1,16)eq isu(i1,16,x)i9.97，seq r(f(1,16)isu(i1,16, )xixto(x)2)eq r(f(1,16)blc(r

16、c)(avs4alco1(isu(i1,16,x)oal(2,i)16xto(x)2)0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i1,2，16.用样本平均数eq xto(x)作为的估计值eq o(,sup6()，用样本标准差s作为的估计值eq o(,sup6()，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(eq o(,sup6()3eq o(,sup6()，eq o(,sup6()3eq o(,sup6()之外的数据，用剩下的数据估计和(精确到0.01)附：若随机变量Z服从正态分布N(，2)，则P(3Z3)0.997 4,0.997 4160.959 2，eq r(0.008)0.

17、09.【解】(1)抽取的一个零件的尺寸在(3，3)之内的概率为0.997 4，从而零件的尺寸在(3，3)之外的概率为0.002 6，故XB(16,0.002 6)因此P(X1)1P(X0)10.997 4160.040 8.X的数学期望为E(X)160.002 60.041 6.(2)如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3，3)之外的概率只有0.002 6，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(3，3)之外的零件的概率只有0.040 8，发生的概率很小因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的由

18、eq xto(x)9.97，s0.212，得的估计值为eq o(,sup6()9.97，的估计值为eq o(,sup6()0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(eq o(,sup6()3eq o(,sup6()，eq o(,sup6()3eq o(,sup6()之外，因此需对当天的生产过程进行检查剔除(eq o(,sup6()3eq o(,sup6()，eq o(,sup6()3eq o(,sup6()之外的数据9.22，剩下数据的平均数为eq f(1,15)(169.979.22)10.02，因此的估计值为10.02.eq isu(i1,16,x)eq oal(2,i)160.2

19、122169.9721 591.134，剔除(eq o(,sup6()3eq o(,sup6()，eq o(,sup6()3eq o(,sup6()之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为eq f(1,15)(1 591.1349.2221510.022)0.008，因此的估计值为eq r(0.008)0.09.【跟踪训练4-1】(2020开封模拟)某商场经营的某种包装的大米质量(单位：kg)服从正态分布N(10，2)，根据检测结果可知P(9.910.1)0.96，某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利，若该公司有1 000名职工，则分发到的大米质量在9.9 kg以下的职工数大约为()

20、A10B20C20 D40【解析】选B由已知得P(9.9)eq f(1P9.910.1,2)eq f(10.96,2)0.02，所以分发到的大米质量在9.9 kg以下的职工数大约为1 0000.0220.故选B.【跟踪训练4-2】(2019济南市学习质量评估)某医药公司研发生产一种新的保健产品，从一批产品中随机抽取200盒作为样本，测量产品的一项质量指标值，该指标值越高越好由测量结果得到如下频率分布直方图：(1)求a，并试估计这200盒产品的该项指标值的平均值(2)由样本估计总体，结合频率分布直方图认为该产品的该项质量指标值服从正态分布N(，102)，计算该批产品该项指标值落在(180,220上的概率；国家有关部门规定每盒产品该项指标值不低于150均为合格，且按该项指标值从