(新高考)高考数学一轮复习考点复习讲义第20讲《任意角和弧度制及任意角的三角函数》（解析版）

1、第20讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数思维导图知识梳理1角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形(2)分类eq blc(avs4alco1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角.,按终边位置不同分为象限角和轴线角.)(3)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|2k，kZ2弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式：角的弧度数公式|eq f(l,r)(l表示弧长)角度与弧度的换算1eq f(,180)rad；1 radeq blc(rc)(avs4al

2、co1(f(180,)弧长公式l|r扇形面积公式Seq f(1,2)lreq f(1,2)|r23.任意角的三角函数(1)定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin y，cos x，tan eq f(y,x)(x0)(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0)如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角的正弦线、余弦线和正切线题型归纳题型1 象限角及终边相同的角【例1-1】（2020春延庆区期末）与角 SKIPIF 1 0 终边相同的角为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SK

3、IPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】写出与角 SKIPIF 1 0 终边相同的角的集合，取 SKIPIF 1 0 值得答案【解答】解：与角 SKIPIF 1 0 终边相同的角的集合为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，取 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 与角 SKIPIF 1 0 终边相同的角是 SKIPIF 1 0 故选： SKIPIF 1 0 【例1-2】（2020春浦东新区校级期中）已知 SKIPIF 1 0 是第二象限角，则 SKIPIF 1 0 是 SKIPI

4、F 1 0 SKIPIF 1 0 A锐角B第一象限角C第一、三象限角D第二、四象限角【分析】由 SKIPIF 1 0 是第二象限角对应的范围，即可求解结论【解答】解： SKIPIF 1 0 是第二象限角，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 是第一象限或第三象限角，故选： SKIPIF 1 0 【跟踪训练1-1】（2019秋东湖区校级期末） SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角

5、【分析】由 SKIPIF 1 0 ，知 SKIPIF 1 0 是第三象限角【解答】解： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 是第三象限角故选： SKIPIF 1 0 【跟踪训练1-2】（2019秋西昌市期末） SKIPIF 1 0 终边在三象限，则 SKIPIF 1 0 的终边可能在 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A一三象限B二四象限C一二象限或 SKIPIF 1 0 轴非负半轴D三四象限或 SKIPIF 1 0 轴非正半轴【分析】由题意得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，从而 SKIPIF 1 0 进而

6、SKIPIF 1 0 的终边可能在一二象限或 SKIPIF 1 0 轴非负半轴【解答】解： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 终边在三象限， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 的终边可能在一二象限或 SKIPIF 1 0 轴非负半轴故选： SKIPIF 1 0 【跟踪训练1-3】（2020春杨浦区校级期末）下列角的终边与 SKIPIF 1 0 的终边在同一象限的是 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF

7、 1 0 【分析】根据象限的范围即可判断【解答】解： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 终边相同的是 SKIPIF 1 0 则 SKIPIF 1 0 在第三象限， SKIPIF 1 0 的终边在第三象限， SKIPIF 1 0 在第二象限， SKIPIF 1 0 在第一象限， SKIPIF 1 0 在第四象限， SKIPIF 1 0 在第三象限，故选： SKIPIF 1 0 【跟踪训练1-4】（2019秋赤峰期末）设终边在 SKIPIF 1 0 轴的负半轴上的角的集合为 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIP

8、IF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】找出 SKIPIF 1 0 内终边在 SKIPIF 1 0 轴的负半轴上的角，再写出终边在 SKIPIF 1 0 轴负半轴上的角的集合【解答】解：在 SKIPIF 1 0 内，终边在 SKIPIF 1 0 轴的负半轴上的角为 SKIPIF 1 0 ，所以终边在 SKIPIF 1 0 轴的负半轴上的角可以表示为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 故选： SKIPIF 1 0 【名师指导】(1)终边在某直线上角的求法4步骤数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线；按逆时针方向写出0，2内

9、的角；再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合；求并集化简集合(2)判断象限角的2种方法图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角；转化法：先将已知角化为k360(0360，kZ)的形式，即找出与已知角终边相同的角，再由角终边所在的象限判断已知角是第几象限角(3)确定k，eq f(,k)(kN*)的终边位置3步骤用终边相同角的形式表示出角的范围；再写出k或eq f(,k)的范围；然后根据k的可能取值讨论确定k或eq f(,k)的终边所在的位置题型2 扇形的弧长及面积公式的应用【例2-1】（2019春玉山县校级月考）已知在半径为6的圆 SKIPIF 1

10、 0 中，弦 SKIPIF 1 0 的长为6，（1）求弦 SKIPIF 1 0 所对圆心角 SKIPIF 1 0 的大小；（2）求 SKIPIF 1 0 所在的扇形的弧长 SKIPIF 1 0 以及扇形的面积 SKIPIF 1 0 【分析】（1）根据题意，分析可得 SKIPIF 1 0 为等边三角形，即可得 SKIPIF 1 0 的值；（2）根据题意，由弧长公示以及扇形面积公式计算可得答案【解答】解：（1）根据题意，半径为6的圆 SKIPIF 1 0 中，弦 SKIPIF 1 0 的长为6，则 SKIPIF 1 0 为等边三角形，则 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，（2）根

11、据题意，由（1）的结论， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 【跟踪训练2-1】（2020春太原期末）已知扇形的半径为1，圆心角为 SKIPIF 1 0 ，则该扇形的弧长为 【分析】根据弧长公式进行计算即可【解答】解：由题意得，扇形的半径为 SKIPIF 1 0 ，圆心角为 SKIPIF 1 0 ，故此扇形的弧长为： SKIPIF 1 0 故答案为： SKIPIF 1 0 【跟踪训练2-2】（2020春徐汇区期末）已如扇形的圆心角为 SKIPIF 1 0 ，弧长为 SKIPIF 1 0 ，则扇形的面积为 【分析】根据弧长公式和扇形的面积公式计算即可【解答】解：扇形的圆心角为 SKI

12、PIF 1 0 ，弧长为 SKIPIF 1 0 ，根据弧长公式可得 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，根据扇形面积公式， SKIPIF 1 0 ，故答案为： SKIPIF 1 0 【名师指导】弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形题型3 三角函数的定义及应用【例3-1】（2020春丽水期末）已知角 SKIPIF 1 0 的终边经过点 SKIPIF 1 0 ，且 S

13、KIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】根据三角函数的定义，先计算 SKIPIF 1 0 ，再利用正弦函数的定义求出 SKIPIF 1 0 ，进而求解结论【解答】解：因为角 SKIPIF 1 0 的终边经过点 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 因为 SKIPIF 1 0 ，所以： SKIPIF 1 0 ；所以 SKIPIF 1 0 （正值舍）故 SKIPIF 1 0 ；故选： SKIPIF 1 0 【例3-2】（2020春兴宁区校级期末

14、）角 SKIPIF 1 0 的顶点在坐标原点，始边在 SKIPIF 1 0 轴正半轴上，且终边过点 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得结果【解答】解： SKIPIF 1 0 角 SKIPIF 1 0 的顶点在坐标原点，始边在 SKIPIF 1 0 轴正半轴上，且终边过点 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，故选： SKIPIF 1 0 【例3-3】（2020春金华期末）若 SKIPIF 1 0

15、 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角【分析】由三角函数值的符号判定是第几象限角，通常记住口诀“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，应用方便【解答】解： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 可能是第二、或第三象限角，或 SKIPIF 1 0 负半轴角；又 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 可能是第一、或第三象限角；综上， SKIPIF 1 0 是第三象限角；故选： SKIPIF 1 0 【跟踪训练3-1】（2020春河池期末）若 SKIPIF 1 0 角的终边上有一点 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A2B4C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，特殊角的三角函数值，求出 SKIPIF 1 0 的值【解答】解： SKIPIF 1 0 角的终边上有一点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则