(新高考)高考数学一轮复习考点复习讲义第03讲《不等关系与一元二次不等式》（解析版）

1、第3讲 不等关系与一元二次不等式思维导图知识梳理1两个实数比较大小的依据(1)ab0ab.(2)ab0ab.(3)ab0ab.2不等式的性质(1)对称性：abbb，bcaeq avs4al()c；(3)可加性：abaceq avs4al()bc；ab，cdacbd；(4)可乘性：ab，c0acbc; ab0，cd0acbd；(5)可乘方性：ab0aneq avs4al()bn(nN，n1)；(6)可开方性：ab0eq r(n,a)eq avs4al() eq r(n,b)(nN，n2)3一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表判别式b24ac000)的图象一元二次方程ax2bx

2、c0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x10 (a0)的解集x|xx2x|xx1x|xR ax2bxc0)的解集x|x1xx2eq avs4al()核心素养分析用函数理解方程和不等式是数学的基本思想方法。本单元的学习，可以帮助学生用一元二次函数认识一元二次方程和一元二次不等式。通过梳理初中数学的相关内容，理解函数、方程和不等式之间的联系，体会数学的整体性。题型归纳题型1 不等式的性质及应用【例1-1】（2020春湖北期中）下列命题中，正确的是 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A若 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 B若 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1

3、0 ，则 SKIPIF 1 0 C若 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 D若 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 【分析】根据不等式的基本性质，对选项中的命题判断正误即可【解答】解：对于 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 错误；对于 SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 时，有 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 错误；对于 SKIP

4、IF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时，有 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 正确；对于 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，得出 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 错误故选： SKIPIF 1 0 【跟踪训练1-1】（2020玉溪二模）若 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】分别根据幂函数指数函数对数函数的单调性

5、，可以排除 SKIPIF 1 0 ，问题得以解决【解答】解： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 为增函数，可得 SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 错； SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 对， SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 错误， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 错误故选： SKIPIF 1 0 【名师指导】比较大小的方法(1)作差法，其步骤：作差变形判断差与0的大

6、小得出结论(2)作商法，其步骤：作商变形判断商与1的大小得出结论(3)构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小(4)赋值法和排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论题型2 一元二次不等式的解法【例2-1】（2019秋河东区期中）不等式 SKIPIF 1 0 的解集为 【分析】不等式化为 SKIPIF 1 0 ，求出解集即可【解答】解：不等式 SKIPIF 1 0 可化为 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，所以不等式的解集为 SKIPIF 1 0 故答案为： SKIPIF 1 a2(aR)的解集【分析】根据a的取值分类讨论.【解答】原不等式可化为12x2

7、axa20，即(4xa)(3xa)0，令(4xa)(3xa)0，解得x1eq f(a,4)，x2eq f(a,3).当a0时，不等式的解集为eq blc(rc)(avs4alco1(，f(a,4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,3)，)；当a0时，不等式的解集为(，0)(0，)；当a0时，不等式的解集为eq blc(rc)(avs4alco1(，f(a,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,4)，).【跟踪训练2-1】（2020春启东市校级月考）一元二次不等式 SKIPIF 1 0 的解集为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0

8、 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】一元二次不等式化为 SKIPIF 1 0 ，求出解集即可【解答】解：一元二次不等式 SKIPIF 1 0 可化为 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 ，所以原不等式的解集为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 故选： SKIPIF 1 0 【跟踪训练2-2】（2019秋嘉兴期末）已知不等式 SKIPIF 1 0 的解集是 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则不等式 SKIPIF 1 0 的解集是 SKIPIF 1

9、 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 【分析】根据不等式 SKIPIF 1 0 的解集得出 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是一元二次方程 SKIPIF 1 0 的实数根，得出 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 的关系，把不等式 SKIPIF 1 0 化为 SKIPIF 1 0 ，求出解集即可【解答】解：不等式 SKIPIF 1 0 的解集是 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，

10、 SKIPIF 1 0 是一元二次方程 SKIPIF 1 0 的实数根，且 SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 不等式 SKIPIF 1 0 化为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ；化为 SKIPIF 1 0 ；又 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 不等式 SKIPIF 1 0 的解集为： SKIPIF 1 0 ，故选： SKIPIF 1 0 【名师指导】1.解一元二次不等式的4个步骤2.解含参数的一元二次不等式的步骤(1)若二次项系数含有参数，则应讨论

11、参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式；(2)判断方程根的个数，讨论判别式与0的关系；(3)确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集题型3 一元二次不等式的恒成立或有解问题【例3-1】（2020一卷模拟）已知关于 SKIPIF 1 0 的不等式 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上有解，则实数 SKIPIF 1 0 的取值范围是 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0

12、 【分析】由题意不等式化为 SKIPIF 1 0 ，讨论 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 时，分别求出不等式成立时 SKIPIF 1 0 的取值范围即可【解答】解： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 时，不等式可化为 SKIPIF 1 0 ；当 SKIPIF 1 0 时，不等式为 SKIPIF 1 0 ，满足题意；当 SKIPIF 1 0 时，不等式化为 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 0 时取等号，所以 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ；当 SKIPIF 1 0 时， S

13、KIPIF 1 0 恒成立；综上知，实数 SKIPIF 1 0 的取值范围是 SKIPIF 1 0 故选： SKIPIF 1 0 【例3-2】（2018秋凌源市期末）不等式 SKIPIF 1 0 对任意实数 SKIPIF 1 0 都成立，则实数 SKIPIF 1 0 的取值范围是 【分析】设 SKIPIF 1 0 ，将不等式恒成立的问题转化为函数 SKIPIF 1 0 图象始终在 SKIPIF 1 0 轴上方，进而根据判别式处理即可【解答】解：依题意，设 SKIPIF 1 0 ，因为不等式 SKIPIF 1 0 对任意实数 SKIPIF 1 0 都成立，所以 SKIPIF 1 0 ，解得 SK

14、IPIF 1 0 ，故答案为： SKIPIF 1 0 【跟踪训练3-1】（2020春湖北期中）若关于 SKIPIF 1 0 的不等式 SKIPIF 1 0 的解集为 SKIPIF 1 0 ，则实数 SKIPIF 1 0 的取值范围是 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 【分析】对二次项系数分为0和不为0两种情况讨论，在不为0时，把解集为 SKIPIF 1 0 化为所对应图象均在 SKIPIF 1 0 轴上方

15、，列出满足的条件即可求实数 SKIPIF 1 0 的取值范围【解答】解：当 SKIPIF 1 0 时，不等式化为 SKIPIF 1 0 ，解集为空集，符合要求；当 SKIPIF 1 0 时，因为关于 SKIPIF 1 0 的不等式 SKIPIF 1 0 的解集为 SKIPIF 1 0 ，即所对应图象均在 SKIPIF 1 0 轴上方， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ；综上，满足要求的实数 SKIPIF 1 0 的取值范围是 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 故选： SKIPIF 1 0 【跟踪训练3-2】（2019秋崇川区校级月考）关于

16、 SKIPIF 1 0 的不等式 SKIPIF 1 0 在区间 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上有实数解，则实数 SKIPIF 1 0 的取值范围是 .【分析】关于 SKIPIF 1 0 的不等式 SKIPIF 1 0 在区间 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上有解，等价于 SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，求出 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的最大值即可【解答】解：关于 SKIPIF 1 0 的不等式 SKIPIF 1 0 在区间 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上有实数解，等价于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ；设 SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 内单调递减，当 SKIPIF 1 0 时，函数 SKIPIF 1 0 取得最大值为 SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 ；所以实数 SKIPIF