九年级秋季班-第19讲：一模复习之相似三角形的存在性

1、相似三角形相似三角形的存在性考点分析考点分析相似三角形的存在性是上海初中数学中考一模考试中的热点，也是难点，通常会在24题和25题中出现，大部分题型分为以二次函数为背景的相似三角形存在性问题和以几何图形为背景相似三角形问题以二次函数为背景的相似三角形问题，即在平面直角坐标系中，通常是用待定系数法求解二次函数的解析式，在求点的坐标过程中需要用到相似三角形的一些性质，如何利用条件找到合适的点使得所求三角形相似是需要重点突破的难点，而且通常不止一种情况，需注意分类讨论以几何图形为背景的相似三角形问题，通常是注重考查相关的几何定理和性质，有时也会涉及到图形运动（翻折、旋转和点的运动）的问题若遇到动点问

2、题，需要弄清“动点有一个还是两个？”、“运动路线是线段、射线，还是直线，或者是折线？”、“点的运动的速度是多少？”这几个问题，然后根据题目给出的条件结合常见的基本图形解题规律是解决此类问题常用的策略相似三角形的存在性问题主要考察同学们根据实际情况对题目进行分类讨论的数学思想，分类讨论的基础上，利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解是常用的方法例题解析例题解析（2015学年徐汇区一模第24题）如图，在中，已知点A（，），点在第二象限，抛物线经过点和（1）求点的坐标；（2）求抛物线的对称轴；OABxy（3）如果该抛物线的对称轴分别和边的延长线交于点，设点在直线上，当和相似时，直接写出点的坐标O

3、ABxy【难度】【答案】【解析】（2015学年黄浦区一模第24题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A（，0）、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，2）（1）求抛物线的对称轴及B点的坐标；（2）求证：；Oxy（3）点D是射线BC上一点（不与B、C重合），联结OD，过点B作，垂足为外一点E，若与相似，求点D的坐标Oxy【难度】【答案】【解析】（2014学年虹口区一模第24题）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（2，0）、（3，1），二次函数的图像为C1（1）向上平移抛物线C1，使平移后的抛物线C2经过点A，求抛物线C2的表达式；（2）平移抛物线C1，使平移后的

4、抛物线C3经过A、B两点，抛物线C3与y轴交于点D，求抛物线的表达式以及点D的坐标；-1ABxyO1-1（3）在（2）的条件下，记OD中点为E，点P为抛物线C3-1ABxyO1-1【难度】【答案】【解析】（2015学年闵行区一模第24题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，），点P是直线BC下方抛物线上的任意一点（1）求这个二次函数的解析式；（2）联结PO、PC，并将沿y轴对折，得到四边形，如果四边形为菱形，求点P的坐标；xyOPABC（3）如果点P在运动过程中，能使得以P、C、BxyOPABC【难度】【答案】【解析】（201

5、5学年闸北区一模第24题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A（，0）和点B，与y轴交于点C（0，2）， 对称轴为直线，对称轴交x轴于点E（1）求该抛物线的表达式，并写出顶点D的坐标；（2）设点F在抛物线上，如果四边形AEFD是梯形，求点F的坐标；（3）联结BD，设点P在线段BD上，若与相似，求点P的坐标ABCDABCDEOxy【答案】【解析】（2014学年徐汇区一模第24题）已知：如图，抛物线C1：的图像开口向上，与x轴交于点A、B（A在B的左边），与y轴交于点C，顶点为P，AB = 2，且OA = OC（1）求抛物线C1的对称轴和函数解析式；（2）把抛物线C1的图像先向右平移

6、3个单位，再向下平移m个单位得到抛物线C2，记顶点为M，并与y轴的交于点F（0，），求抛物线C2的函数解析式；xyABCOP（3）在（2）的基础上，点G是y轴上一点，当xyABCOP【难度】【答案】【解析】（2014学年金山区一模第24题）如图，已知直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线（）经过点和点B（1，0）（1）求抛物线的解析式；（2）在线段上取一点（点不与点重合），过点作轴的垂线交抛物线于点、交轴于点当时，求点的坐标；OABDxy（3）设抛物线的对称轴与直线交于点，抛物线与轴的交点为，点在线段上，当与相似时，求点的坐标OABDxy【难度】【答案】【解析】（2014学年普陀区一模第24题）如

7、图，在平面直角坐标系xOy中，点A（，0）和点B（0，2m）（m 0），点在轴上（不与点重合）（1）当与相似时，请直接写出点的坐标（用表示）；（2）当与全等时，二次函数的图像经过、三点，求的值，并求点的坐标；xyOAB（3）是（2）的二次函数的图像上一点，求点P的坐标及xyOAB【难度】【答案】【解析】（2014学年嘉定区一模第25题）已知在中，点是边上的一个动点，/，联结（1）如图1，如果/，求的长；（2）如图2，如果直线与边的延长线交于点，设，求关于的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如图3，如果直线与边的反向延长线交于点，联结，当与相似时，试判断线段与线段的数量关系，并说明你的理由EF

8、ABCEFABCDPABCDPABCDP图1图2图3【答案】【解析】（2014学年崇明县一模第25题）已知在中，O为边AB上一动点（不与A、B重合），以O为圆心OB为半径的圆交BC于点D，设，（1）如图1，求y关于x的函数关系式及定义域；（2）当与线段AC有且只有一个交点时，求x的取值范围；（3）如图2，若与边AC交于点E（有两个交点时取靠近C的交点），联结DE，当与相似时，求x的值【难度】ABABCDEOABCDO【解析】随堂检测随堂检测（2015学年普陀区一模第24题）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图像经过点A（0，8）、B（6，2），C（9，m），延长AC交x轴于点D.（

9、1）求这个二次函数的解析式及m的值；（2）求的余切值；Oxy（3）过点B的直线分别与y轴的正半轴、x轴、线段AD交于点P（点A的上方）、M、Q，使以点P、A、Q为顶点的三角形与相似，求此时点P的坐标Oxy【难度】【答案】【解析】（2015学年长宁区、金山区一模第24题）如图，直角坐标平面内的梯形，在轴上，在轴上，/，点在对角线上，点在上，直线与轴交于点，已知，（1）求经过、三点的抛物线解析式；（2）求证：；（3）在轴上找一点，使得，直接写出点的坐标xyOABxyOABCDEF【答案】【解析】（2015学年崇明区一模第24题）如图，已知抛物线经过直线与坐标轴的两个交点A、B，点C为抛物线上的一点

10、，且（1）求抛物线的解析式；（2）求点C坐标；yOxAB（3）直线上是否存在点P，使得与相似，若存在，请直接写出PyOxAB【难度】【答案】【解析】（2013学年黄浦区一模第25题），（1）求关于的函数解析式并写出定义域；（2）过点作平行线交于点，在延长线上取一点，使得，联结、，交边于点ABCDEP eq oac(,1)当与相似时，求的值；ABCDEP eq oac(,2)求证：【难度】【答案】【解析】（2013学年虹口区一模第25题）已知：正方形的边长为4，点为边的中点，点为边上一动点，沿翻折得到，直线交边于点，交直线于点，联结（1）如图，当时，求的长；（2）如图，当点在射线上时，设BP =

11、 x，求关于的函数关系式，并写出的取值范围；（3）延长交直线于点，若，求的长ABCDABCDEFGPQ【答案】【解析】课后作业课后作业如图，在平面直角坐标系内，已知直线与x轴、y轴分别相交于点A和点C，抛物线图像过点A和点C，抛物线与x轴的另一交点是B（1）求出此抛物线的解析式、对称轴以及B点坐标；AyCBOx（2）若在y轴负半轴上存在点D，能使得以A、C、D为顶点的三角形与AyCBOx【难度】【答案】【解析】（2015学年杨浦区一模第24题）已知在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线经过A、C两点（1）求抛物线的表达式；（2）如果点P、Q在抛物线上（P点在对称轴左

12、边），且PQ / AO，PQ = 2AO求点P、Q的坐标；（3）动点M在直线上，且与相似，求点M的坐标xyABxyABCO【答案】【解析】（2015学年浦东新区一模第24题）如图，抛物线（）与x轴交于A（，0）、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，），抛物线的顶点为M（1）求a、c的值；（2）求的值；ABCOMxy（3）若点P是线段AC上一个动点，联结OP问：是否存在点P，使得以点O、C、ABCOMxy【难度】【答案】【解析】（2013学年闸北区一模第25题）已知：如图，在等腰直角中，斜边的长为4，过点作射线/，为射线上一点，在边上（不与、重合），且，与交于点（1）求证：；（2）设，求关于的函数解析式，并写出它的定义域；OPABCDE（3）如果与OPABCDE【难度】【答案】【解析】（2015学年宝山区一模第25题）（1）已知二次函数的图像如图，请根据图像直接写出该二次函数图像经过怎样的左右平移，新图像通过坐标原点？ （2）在关于二次函数图像的研究中，秦篆晔同学发现抛物线（）和抛物线（）关于轴对称，基于协作共享，秦同学将其发现口诀化 “、不变，相反”供大家分享，而在旁边补笔记的胡庄韵同学听成了 “、相反，不变