【数学讲义】2相似三角形(二)教师版

1、初中数学备课组教师 班级 初三学生日期上课时间学生情况：-主课题：第2课 相似三角形的判定与性质教学目标：知道相似三角形的概念、相似比的含义，理解相似的传递性，并能体会相似与全等的关系；能用5条相似三角形判定定理证明三角形相似；熟悉相似三角形的几种基本类型会利用角的等量转换寻找相似三角形；能通过相似确定两个量的函数关系；掌握相似三角形的3条性质，并能利用相似三角形的性质求长度或面积；能利用相似三角形的性质找出两个量之间的函数关系；能综合利用相似三角形的判定和性质解决问题。教学重点：对几种基本相似类型的理解；通过相似和比例线段建立两个量之间的函数关系。教学难点：对几种基本相似类型的理解；通过相似

2、和比例线段建立两个量之间的函数关系。考点及考试要求：知识精要相似三角形的判定相似三角形的预备定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。相似三角形判定定理1如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。即：两角对应相等，两个三角形相似。相似三角形判定定理2如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。即：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。相似三角形判定定理3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。即：三边对应成比例，两个三角形相似。直角三角形相似的判

3、定定理如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。即：斜边和直角边对应成比例，两直角三角形相似。相似三角形的性质相似三角形的对应角相等，对应边成比例；相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。相似三角形的周长比等于相似比。相似三角形的面积比等于相似比的平方。热身练习1、若 ，则 （ B ） A、11：10：15 B、8：3：7； C、3：2：5； D、6：7：82、两个相似三角形的面积比为4:49，它们的两条对应的角平分线和为45，那么这两条角平分线分别为10、35.3、如图3，DE是ABC的中位线，AD、C

4、E相交于点G，那么= 4:1.4、如图4、梯形ABCD中，ADBC，O是对角线AC、BD的交点，则16.5、如图5，已知点D为ABC的边AB上的一点，且，则AC:AB=1:2.6、如图6，G为ABC的重心，过点G作EFBC，MNAB，则=1:9.7、如图7，若G是ABC的重心，GDBC，则=2:9.8、如图8，矩形ABCD的长和宽分别为4和2，BPPQ，且AP：PD=3:7，则BP：PQ=5:7.精解名题例1、如图，正方形ABCD中，点E是BC边上一点，且BE：EC=2:1，AE与BD交于点F，则AFD与四边形DFCE的面积之比是 9:11. 例2、如图，已知ABC与ADE的边BC、AD相交于

5、点O，且1=2=3.求证：ABOCDO；1=2,1=2,AOB=CODABOADE求证：1)ABOADE B=D1=2 BAC=DAE ABCADE2)例3、如图，已知P为正方形ABCD边BC延长线上一点，联结AP交对角线BD于点E，交边CD于点F，M为FP中点。(1)填空：AE2=；(2)线段AE、EM、MP能否构成直角三角形？证明你的结论。解：（2）联结EC、CM利用三角形相似以及直角三角形斜边中线等于斜边一半证明即可。例4、已知直线在轴的截距为3，且过点A（2,1）。求这条直线的函数解析式；点P是此直线上的一点（与点A不重合），分别过点A、P作轴的垂线，垂直分别为，如果和相似，求出点P的

6、坐标。解：1) 将A(2,1)代入直线解析式，易算得： 2)因为P点在直线上，可设其坐标为(m,-m+3) 若P在第二象限，即m0时，易知PP1=BP1，所以OP10,-m+30时，此时根据对应边不同，可解得P为(1,2)或者(2,1)，但是因为P与A不重合，所以舍去(2,1).P(1,2)若P在第四象限，即m0,-m+3PP1，解得P(6,-3)综上，P点坐标为(-3,6)、(6,-3)或者(1,2)例5、如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4，将一个直角的顶点P放置于对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边与BC和DC的延长线分别交于点E、Q. 如果CE=CQ，求AP的长；如果，

7、求AP的长。解：1)过P作AD平行线交AB、CD于M、N.BPQ=90 BPMPQNBP:PQ=BM:PN=NC:PN=CD:AD=3:4CE=CQ，ECQ=90CEQ、NPQ为等腰直角三角形PEB=CEQ=45 BPQ=90BPE、BMP也是等腰直角三角形MP:PN=3:4 MN=AD=4 2)联结BQ，延长BP，与CD交于H且BPQ=BCQ=90BPEBCQPBC=QBCBP:PQ=3:4设BP=3k，PQ=4k易知BH=BQ=5k，PH=2k，AC=5AP=3巩固练习选择题在ABC中，直线DE分别与AB、AC相交于D、E，下列条件不能推出ABC与ADE相似的是(D)A.B.ADE=ACB

8、C.D.如图，已知ACBE，垂足为C，EDAB，垂足为D，AC、DE相交于F，则图中共有相似三角形(D)A.3对B.4对C.5对D.6对已知ABC和ADC均为直角三角形，点B、D位于AC的两侧，ACB=角ADC=90，BC=a，AC=b，AB=c，要使ACD与ABC相似，CD可以等于(C)A.B、C、D、如图，ADBC，D=90，DC=7，AD=2，BC=4，若在边DC上有点P使PAD和PBC相似，则这样的点P有(C)个。A.1B.2C.3D.4下列语句中，不正确的是(A)A.两个三角形相似，且有一条边相等，则两个三角形全等；B.两个三角形相似，且周长相等，则两个三角形全等；C.两个三角形相似

9、，且面积相等，则两个三角形全等；D.两个三角形相似，且相似比为1，则两个三角形全等。如图，E、F、G、H分别是矩形ABCD四条边上的点，且EFGH，若AB=2，BC=3，则EF：GH的值为(B) A.2:3B.3:2C.4:9D.9:4在ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，DEBC，BC=6，则DE的长为(D)A.1.5cmB.2cmC.2.5cmD.3cm8、已知P为线段AB的黄金分割点，且APPB，则( C ) A、； B、； C、； D、填空题如图，1=2，C=E，AB=2AD，当DE=4cm时，BC=8cm.一个直角三角形的两边长分别为3和6，另一个直角三角形的两边长分别为2和4

10、，那么这两个直角三角形不一定相似。(填“一定”、“不一定”或“一定不”)如图，O是ABC的重心，=9cm2,则=3cm.如图，已知等腰ABC中，顶角A=36，BD为ABC的平分线，那么.解答题：把一个矩形截去一个正方形后，所剩的矩形与原矩形相似，求原矩形的短边与长边之比。如图，在梯形ABCD中，CDAB，SAOB=9，SCOD=4，求梯形ABCD的面积。如图，已知ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，点D是AB上的一点，B=EDC，DE交AC于点F。设CD=x，EDC的周长为y。求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。解：自我测试两个相似三角形的周长分别为5cm和16cm，则它们的对

11、应角的平分线的比为(B)A.25:256B.5:16C.：4D.以上答案都不对下列命题中，正确的有(B).有一组角相等的两个等腰三角形相似；两组边对应成比例的两个直角三角形相似；两个等腰直角三角形相似；两个等边三角形不一定相似；三角形的重心到一边的距离等于到这边所对的顶点的距离的一半；相似三角形的相似比等于面积比的平方根；相似三角形的面积比等于相似比的平方。A.2个B.3个C.4个D.5个已知ABC的三边分别是6、7.5、9，DEF的一边长为5，若这两个三角形相似，则DEF的另两边长是下列各组中的(B)A.2、3B. 4、6C. 6、7D.7、94、两个相似三角形的相似比为2:3，它们的面积之

12、和为78，则较大三角形的面积为(A)A.54B.46.8C.31.2D.245、在ABC中，D是AB上一点，如果ACD=B，AD=4，BD=5，那么AC=6.6、已知正方形ABCD，点E在CD上，且CE：DE=1:2，EFEA交BC于点F，则EF：EA=1:3.7、在ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，若AD=2，BD=1，AE=3，则EC=1.5时，ADE与ABC相似。8、如图7，ABC中，A=60，BD、CE是ABC的高，已知SABC=1，则SADE=.9、如图8，四边形EFGH是ABC的内接矩形，EF：EH=5:9，若BC=36，高AD=12，那么矩形EFGH的周长是42.10、如图

13、1，D为ABC内一点，E为ABC外一点，且满足，求证：(1)ABDACE；(2)ABD=ACE11、如图，一次函数的图像分别交x轴、y轴于A、B两点，且与反比例函数的图像在第一象限交于点C(4,n)，CDx轴于D.(1) 求m、n的值；(2) 如果点P在x轴上，并在点A与点D之间，点Q在线段AC上，且AP=CQ，那么当APQ与ADC相似时，求点Q的坐标。解：1)把C代入反比例函数，得n=6，将C(4,6)代入一次函数，得m=3.2)由上题可知C(4,6)、D(4,0)，设AP=CQ=x，若APQ与ADC相似，则两种情况：时，解得，对应的Q点坐标为时，解得，对应的Q点坐标为12、在矩形ABCD中，AB=3,BC=4.联结对角线AC,把三角尺的直角顶点放在对角线AC上滑动，且使一条直角边过点B,另一条直角边与AD相交，设交点为M，直角顶点为P.求的值；如果MA=MP，求AP的长；以点P为圆心，PM的长为半径的圆与直线AB相切，求AP的长。解：(1)很明显