【八年级数学讲义】视图与投影-教师讲义

1、中 正 教 育 教 师 辅 导 讲 义年 级： 九年级 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目： 数学 学科教师：课程主题 视图与投影授课类型T 认识投影和视图的基本概念和基本性质C 分析立体图形和平面图形之间的联系，提高空间想象能力T 通过实例了解视点、视线、盲区的含义及其在生活中的应用授课日期时段年 月 日 A段（8：00-10：00）教学内容 【学习目标】1.以分析实际例子为背景，认识投影和视图的基本概念和基本性质；2.通过讨论简单立体图形与它的三视图的相互转化，经历画图、识图等过程，分析立体图形和平面图形之间的联系，提高空间想象能力；3.通过实例了解视点、视线、盲区的含义及其在生活中的应

2、用.【要点梳理】要点一、三视图1.三视图的概念（1）视图从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图.（2）正面、水平面和侧面用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的面叫做正面，正面下面的面叫做水平面，右边的面叫做侧面.（3）三视图一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图.2.三视图之间的关系（1）位置关系三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边，如图(1)

3、所示.（2）大小关系三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则.如图(2)所示.要点诠释：物体的三视图的位置是有严格规定的，不能随意乱放.三视图把物体的长、宽、高三个方面反映到各个视图上，具体地说，主视图反映物体的长和高；俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽，抓住这些特征能为画物体的三视图打下坚实的基础.3.画几何体的三视图画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下：(1)确定主视图的位置，画出主视图；(2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；(3)在主视图的正右方画出左视图，注意与

4、主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线.要点诠释：画一个几何体的三视图，关键是把从正面、上方、左边三个方向观察时所得的视图画出来，所以，首先要注意观察时视线与观察面垂直，即观察到的平面图是该图的正投影；其二，要注意正确地用虚线表示看不到的轮廓线；其三，要充分发挥想象，多实践，多与同学交流探讨，多总结；最后，按三视图的位置和大小要求从整体上画出几何体的三视图.4.由三视图想象几何体的形状由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形.要点诠释：由物体的三视图想象几何体的形

5、状有一定的难度，可以从如下途径进行分析：(1)根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状以及几何体的长、宽、高；(2)根据实线和虚线想象几何体看得见和看不见的轮廓线；(3)熟记一些简单的几何体的三视图会对复杂几何体的想象有帮助；(4)利用由三视图画几何体与由几何体画三视图为互逆过程，反复练习，不断总结方法.要点二、平行投影1.一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样的光线照射在物体上，所形成的投影叫做平行投影.由此我们可得出这样两个结论：(1)等高的物体垂直地面放

6、置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.2. 物高与影长的关系（1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西西北北东北东，影长也是由长变短再变长.（2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.即：.利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.要点诠释：1平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下

7、产生的.利用平行投影知识解题要分清不同时刻和同一时刻.2物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线.要点三、中心投影若一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论：(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长

8、度还短.在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.要点诠释： 光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧.要点四、中心投影与平行投影的区别与联系1.联系：（1）中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，通常的平行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，通常状况下，灯泡的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光线.（2）在平

9、行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化.在中心投影中，固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化.2.区别：（1）太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的影子与物体高度不一定成比例.（2）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向.要点诠释：在解决有关投影的问题时必须先判断准确是平行投影还是中心投影，然后再根据它们的具体特点进一步解决问题.要点五、视点、视线与盲区视点是指人的观看位置，由视

10、点发出的射线称为视线，两条视线的夹角称为视角，看不到的地方称为盲区.【典型例题】类型一、三视图1在图中，根据下列主视图和俯视图(大致形状)，找出对应的物体【答案与解析】(1)D；(2)A；(3)B；(4)C【总结升华】此类问题要求能正确描述基本几何体的三种视图与实物原形之间的相互转换过程，并在平面图形与几何体的相互转换中发展空间观念举一反三：【变式】分别画出图中几何体的主视图、左视图、俯视图 【答案】类型二、投影的作图问题2如图，路灯下一墙墩（用线段AB表示）的影子是BC，小明（用线段DE表示）的影子是EF，在M处有一颗大树，它的影子是MN（1）指定路灯的位置（用点P表示）；（2）在图中画出表

11、示大树高的线段；（3）若小明的眼睛近似地看成是点D，试画图分析小明能否看见大树【思路点拨】根据中心投影的特点可知，连接物体和它影子的顶端所形成的直线必定经过点光源所以分别把AB和DE的顶端和影子的顶端连接并延长可交于一点，即点光源的位置，再由点光源出发连接MN顶部N的直线与地面相交即可找到MN影子的顶端线段MG是大树的高若小明的眼睛近似地看成是点D，则看不到大树，MN处于视点的盲区 【答案与解析】解：（1）点P是灯泡的位置；（2）线段MG是大树的高（3）视点D看不到大树，MG处于视点的盲区（叙述不清，只要抓住要点，酌情给分）【总结升华】本题考查中心投影的作图，难度不大，体现了学数学要注重基础知

12、识的新课标理念解题的关键是要知道：连接物体和它影子的顶端所形成的直线必定经过点光源举一反三：【变式】如何才能使如图所示的两棵树在同一时刻的影长分别与它们的原长相等，试画图说明【答案】连结物体顶点与其影长的顶点，如果得到的是平行线，即为平行投影；如果得到相交直线，则为中心投影，这是判断平行投影与中心投影的方法，也是确定中心投影光源位置的基本做法 (1)如图所示可在同一方向上画出与原长相等的影长，此时为平行投影 (2)如图所示，可在两树外侧不同方向上画出与原长相等的影子，连结影子的顶点与树的顶点相交于点P此时为中心投影，P点即为光源位置类型三、投影的应用3如图，阳光通过窗口照到教室内，竖直窗框在地

13、面上留下2.1m长的影子如图所示，已知窗框的影子DE到窗下墙脚的距离CE=3.9m，窗口底边离地面的距离BC=1.2m，试求窗口的高度（即AB的值）【答案与解析】解：由于阳光是平行光线，即AEBD，所以AEC=BDC又因为C是公共角，所以AECBDC，从而有又AC=AB+BC，DC=ECED，EC=3.9，ED=2.1，BC=1.2，于是有，解得AB=1.4（m）答：窗口的高度为1.4m【总结升华】本题考查了平行投影特点：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例要求学生通过投影的知识结合图形相似的性质巧妙地求解或解直角三角形，是平行投影性质在实际生活中的应用4如图，王琳同学在晚上由路灯A走向路灯

14、B，当他行到P处时发现，他在路灯B下的影长为2米，且恰好位于路灯A的正下方，接着他又走了6.5米到Q处，此时他在路灯A下的影子恰好位于路灯B的正下方（已知王琳身高1.8米，路灯B高9米）（1）标出王琳站在P处在路灯B下的影子；（2）计算王琳站在Q处在路灯A下的影长；（3）计算路灯A的高度【答案与解析】解：（1）线段CP为王琳在路灯B下的影长；（2）由题意得RtCEPRtCBD，解得：QD=1.5米；（3）RtDFQRtDAC，解得：AC=12米答：路灯A的高度为12米【总结升华】此题考查的是中心投影；相似三角形的应用类型五、视点、视线与盲区5如图，点P的对面是一面东西走向的墙，某人在点P观察一

15、辆自西向东行驶的汽车AB，汽车的长为6米，根据图中标示的数据解决下列问题：（1）画出此人在汽车与墙之间形成的盲区，并求出该盲区的面积；（2）当汽车行驶到CD位置时，盲区的面积是否会发生变化？为什么？【思路点拨】（1）根据已知画出形成的盲区为梯形AEFB，再利用梯形面积求法得出答案即可；（2）根据PCD与PMN仍然相似，且它们的高不变，所以相似比不变，汽车长度不变，所以MN的长不变，所以梯形CMND的面积不变，即盲区的面积不变【答案与解析】解：（1）形成的盲区为梯形AEFB，ABEF，PABPEF，EF=9，盲区的面积为：（6+9）102=75m2；（2）当汽车行驶到CD位置时，盲区的面积不会发

16、生变化，PCD与PMN仍然相似，且它们的高不变，所以相似比不变，汽车长度不变所以MN的长不变，所以梯形CMND的面积不变，即盲区的面积不变【总结升华】此题主要考查了盲区的确定方法以及梯形面积求法，根据已知得出MN的长不变，进而得出梯形CMND的面积不变是解题关键【变式】如图所示，一段街道的两边沿所在直线分别为AB，PQ，并且ABPQ，建筑物的一端DE所在的直线MNAB于点M，交PQ于点N，小亮从胜利街的A处，沿着AB方向前进，小明一直站在点P的位置等待小亮（1）请你画出小亮恰好能看见小明的视线，以及此时小亮所在的位置（用点C标出）（2）已知：MN=30m，MD=12m，PN=36m求（1）中的

17、点C到胜利街口的距离【答案】解：（1）如图1所示，CP为视线，点C为所求位置（2）ABPQ，MNAB于M，CMD=PND=90又CDM=PDN，CDMPDN，MN=30m，MD=12m，ND=18m=，CM=24（m）点C到胜利街口的距离CM为24m 【巩固练习】一、选择题1如图所示是一个几何体的实物图，则其主视图是 ( )2从左边看图1中的物体，得到的是图2中的( )3 如图所示，身高为16米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC20米，BC80米，则旗杆的高度是( ) A64米 B70米 C80米 D90米4如图下列物体的影子，不正

18、确的是（ ）5关于盲区的说法正确的有（）（1）我们把视线看不到的地方称为盲区（2）我们上山与下山时视野盲区是相同的（3）我们坐车向前行驶，有时会发现一些高大的建筑物会被比它矮的建筑物挡住（4）人们常说“站得高，看得远”，说明在高处视野盲区要小，视野范围大A1个B2个C3个D4个6如图所示，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是15米，那么路灯A的高度AB等于( ) A45米 B6米 C72米 D8米 二、填空题7一个几何体是由一些大小相同的小正方体摆成的，其主视图与左视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体

19、最少有_个8下图是由两个长方体组合而成的一个立体图形的三视图，根据图中所标尺寸(单位：mm)，计算出这个立体图形的表面积是_mm29如图所示上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲、乙同学相距1米，甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是_米 第9题 第10题10如图所示，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_m11一个圆柱体的轴截面平行于投影面，圆柱体的正投影是边长为4的正方形，则圆柱的表面积为 ；体积为 12如图，房间里有一只老鼠，门外蹲着一只小猫，如果每块正方形地砖的边长为1米，那

20、么老鼠在地面上能避开小猫视线的活动范围为 平方米 三、解答题13 用小立方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示，这样的几何体只有一种吗？它最少需要多少个小立方块？最多需要多少个小立方块？俯视图俯视图主视图主视图14学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律如图所示，在同一时间，身高为16 m的小明(AB)的影子BC长是3m，而小颖(EH)刚好在路灯灯泡的正下方H点，并测得HB6m(1)请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置G； (2)求路灯灯泡的垂直高度GH； (3)如果小明沿线段BH向小颖(点H)走去，当小明走到BH中点

21、B1处时，求其影子B1C1的长；当小明继续走剩下的路程的到B2处时，求其影子B2C2的长；当小明继续走剩下路程的到B3处时，按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的到处时，其影子的长为_m(直接用含n的代数式表示)15如示意图，小华家（点A处）和公路（l）之间竖立着一块30米长且平行于公路的巨型广告牌（DE），广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点A的盲区，并将盲区的那段公路记BC，一辆以60公里/小时匀速行驶的汽车经过公路BC段的时间为6秒，已知广告牌和公路的距离为35米，求小华家到公路的距离【答案与解析】一、选择题1【答案】C【解析】观察一个物体，主视图是从正面看到的图形，本题中物体由上下

22、两个部分组成，上面的物体从正面看到的是一个等腰梯形，下面是一个长方体，从正面看到的是一个长方形，再由上面的物体放置的位置特征可知选C2【答案】B 【解析】从左边看，圆台被遮住一部分，故选B3【答案】C【解析】由题意得，即， 旗杆的高度为80米4【答案】B【解析】太阳光线是平行的，故影长与物体高度成正比例，所以A正确太阳光线画得不平行，所以B错因为物体在光源两侧，故影子方向不同，所以C正确因灯光是发散的，故影长与物体高度不成比例且物体在光源同侧，影子方向相同，所以D正确规律：(1)太阳光线是平行的，故太阳光下的影子都与物体高度成比例；灯光光线是发散的，灯光下的影子与物高不一定成比例 (2)同一时刻，太阳光下的影子总是在同一方向；而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向5【答案】C【解析】根据视点，视角和盲区的定义，我们可以判断出（1）（3）（4）是正确的，而（2）中，要注意的是仰视时越向前视野越小盲区越大，俯视时视线越向前视野越大，盲区越小6【答案】B【解析】如图所示，GCBC，ABBC， GCAB GCDAB