【八年级数学】《实数和二次根式》全章复习与巩固-教师讲义

1、中 正 教 育 教 师 辅 导 讲 义年 级： 八年级 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目： 数学 学科教师：课程主题 实数和二次根式全章复习与巩固授课类型T 课本同步C 专题辅导T 应用能力提升授课日期时段年 月 日 段（ ：00- ：00）重难点诠释教学内容 【学习目标】1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概

2、念、运算等的一致性及其发展变化.4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.5.理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.6.熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.7.了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用.【知识网络】【要点梳理】要点一、平方根和立方根 类型项目平方根立方根被开方数非负数任意实数符号表示性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论要点二、无理数与实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类实数要点诠释：（1）

3、所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数 （2）无理数分成三类：开方开不尽的数，如，等；有特殊意义的数，如； 有特定结构的数，如0.1010010001 （3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.2.实数与数轴上的点一 一对应数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.实数的三个非负性及性质在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数的绝对值是非负数，即|0；（2）任何一个实数的平方是非负数，即

4、0；（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ().非负数具有以下性质：（1）非负数有最小值零；（2）有限个非负数之和仍是非负数；（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.4.实数的运算数的相反数是；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大；法则2正数大于0，

5、0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.要点三、二次根式的相关概念和性质1. 二次根式形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.要点诠释：二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义.2.二次根式的性质（1）；（2）；（3）.要点诠释：（1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即 （），如（）.（2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义.（3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简.（4）与的异同不同点：中可以取任何实数，而

6、中的必须取非负数；=，=（）.相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=.3. 最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式.要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式.要点四、二次根式的运算1. 乘除法（1）乘除法

7、法则：类型法则逆用法则二次根式的乘法积的算术平方根化简公式：二次根式的除法商的算术平方根化简公式：要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如.（2）被开方数一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如.2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如.【典型例题】类型一、有关方根的问题1、下列命题：负数没有立方根；一个实数的算术平方根一定是正数；一个正数或负数的立方根与这个数同号；如果一

8、个数的算术平方根是这个数本身，那么这个数是1或0；如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0 ，其中错误的有（）A.2个 B.3 个 C.4 个 D.5个 【答案】B；【解析】负数有立方根；0的算术平方根是0；立方根是本身的数有0，1.【总结升华】把握平方根和立方根的定义是解题关键.举一反三：【变式】下列运算正确的是（ ） A B C D【答案】C； 2、若，则 若，则【答案】1.01；7.16；【解析】102.01向左移动2位变成1.0201，它的平方根向左移动1位，变成1.01，注意符号；0.3670向右移动3位变成367，它的立方根向右移动1位，变成7.16【总结升华】一个数向左

9、移动2位，它的平方根向左移动1位；一个数向右移动3位，它的立方根向右移动1位.类型二、与实数有关的问题3、把下列各数填入相应的集合：1、3.14、（1）有理数集合 ；（2）无理数集合 ；（3）正实数集合 ；（4）负实数集合 【思路点拨】首先把能化简的数都化简，然后对照概念填到对应的括号里.【答案与解析】（1）有理数集合1、3.14、 ；（2）无理数集合 、 ；（3）正实数集合 、 ；（4）负实数集合 1、3.14、 【总结升华】有理数是有限小数和无限循环小数，无理数是无限不循环小数.总结常见的无理数形式.举一反三：【变式】在实数，其中无理数有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个 【答案】B；提

10、示：无理数有，.4、计算（1）（2）（3）【思路点拨】先逐个化简后，再按照计算法则进行计算.【答案与解析】解：（1） （2） （3）.【总结升华】根据开立方和立方，开平方和平方互逆运算的关系，可以通过立方、平方的方法去求一个数的立方根、平方根.举一反三：【变式】计算(1) (2) 【答案】解：(1) (2) .5、若，化简【思路点拨】由判断0，再判断绝对值里的数的正负，由绝对值的定义去掉绝对值.【答案与解析】解：，0，【总结升华】含绝对值号的代数式的化简是重点也是难点.分类的标准应按正实数,负实数,零分类考虑.掌握好分类标准,不断加强分类讨论的意识.举一反三：【变式1】实数、在数轴上所对应的点

11、的位置如图所示：化简 .【答案】解：0,0()2.【高清课堂：389318 实数复习，例5】【变式2】实数在数轴上的位置如图所示，则的大小关系是： ；【答案】；类型三、二次根式概念与运算6、 当_时，二次根式在实数范围内有意义.【答案】3.【解析】根据二次根式的性质，必须0才有意义.【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有时才是二次根式.举一反三【变式】成立的条件是_. 成立的条件是_.【答案】 0；(0.) 2.(2)7、化简.【答案与解析】 【总结升华】本题的求解用到了积的乘方的性质，乘法运算律，平方差公式及根式的性质，是一道综合运算题型. 8、已知的值.【答案与解析】【总结

12、升华】 化简求值时要注意的取值范围，如果未确定要注意分类讨论.举一反三【变式】已知=-3, =1,求的值.【答案】解：=-3,=1，,. 【巩固练习】一.选择题1. 下列说法正确的是（ ）A数轴上任一点表示唯一的有理数B数轴上任一点表示唯一的无理数C两个无理数之和一定是无理数D数轴上任意两点之间都有无数个点2下列说法中，正确的是（ ）A0.4的算术平方根是0.2 B16的平方根是4 C的立方根是4 D 的立方根是3. 的同类二次根式是（ ）.A. B. C. D.4. ，则的值是（ ）A. B. C. D. 5. 若式子有意义,则的取值范围是 ( ).A. B. C. D. 以上答案都不对.

13、6. 下列说法中错误的是（ ）A.中的可以是正数、负数或零. B.中的不可能是负数. C. 数的平方根有两个. D.数的立方根有一个.7. 数轴上A，B两点表示实数，则下列选择正确的是（ ）A. B. C. D.8. 估算的值在 （ ）A. 5和6之间 B.6和7之间 C.7和8之间 D.8和9之间二.填空题9. 若的整数部分是，则其小数部分用表示为 10当 时，有意义.11. .12. 已知最简二次根式是同类二次根式，则的值为_.13. 的平方根是 . 14.若，则 .15. 比较大小： ， ， 16. 数轴上离原点距离是的点表示的数是 .三.解答题17 计算：(1) (2) 18.已知：，

14、求的值.19. 已知：表示、两个实数的点在数轴上的位置如图所示，请你化简20. 阅读题：阅读下面的文字，解答问题.大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用1表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗?事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分.请解答：已知：10，其中是整数，且,求的相反数.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】D；【解析】数轴上任一点都表示唯一的实数.2. 【答案】D； 【解析】；16的平方根是4；的立方根是2.3【答案】C ;【解析】判断是否是同类二次根式，一定要先化为最简二次根

15、式，再判断. 因为 A B. C. D .,而，所以选C.4. 【答案】B； 【解析】.5. 【答案】A；6. 【答案】C；【解析】数不确定正负，负数没有平方根.7. 【答案】C；8. 【答案】B； 【解析】，.二.填空题9. 【答案】；10.【答案】为任意实数 ； 【解析】任何实数都有立方根.11.【答案】； 【解析】.12【答案】2； 【解析】因为是同类二次根式，所以,解方程组得.13.【答案】 ；【解析】 7，7的平方根是. 14.【答案】； 【解析】被开方数的小数点向左移动2位，平方根向左移动1位.15.【答案】；16.【答案】； 【解析】数轴上离原点距离是的点有两个，分别在原点的左右

16、两边.三.解答题17.【解析】 解：(1) 原式= (2) =.18.【解析】解：原式.19.【解析】解：020.【解析】解：111012 11，1011 . 【巩固练习】一.选择题1已知、是实数，下列命题结论正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则2. 下列说法正确的有（ ）无限小数不一定是无理数； 无理数一定是无限小数；带根号的数不一定是无理数； 不带根号的数一定是有理数.A B C D 3已知，那么满足上述条件的整数的个数是（ ）.A4 B. 5 C. 6 D. 74若0，则的结果是( ).A0 B-2 C0或-2 D25. 若，则，的大小关系是（ ）A. B. C. D.6.下列

17、运算中正确的是（ ）A. B. C. D. 7. 已知:（ ） A.2360 B.2360 C.23600 D.236008. 27的立方根与的算术平方根的和是（ ）A0B6C6或12D0或6二.填空题9. 下列命题中正确的有 (填序号)(1)若那么; (2)两数的和大于等于这两数的差; (3)若那么; (4)若 则; (5) (6)一个数越大,这个数的倒数越小; (7)有理数加有理数一定是有理数; (8)无理数加无理数一定是无理数; (9)无理数乘无理数一定是无理数;10. 已知和互为相反数，且，_11. 若，则 ，若，则 .12. 已知 : .13. 若有意义，则_.14. 阅读下列材料：

18、设，则，则由得：，即.所以.根据上述提供的方法把下列两个数化成分数. ； 15. 方程 的解 _ .16. 若则的值等于_.三.解答题17 计算：(1) (2) 18.已知：19. 把下列无限循环小数化成分数：（1） （2） （3）20细心观察右图，认真分析各式，然后解答问题：； ； ，；（1）请用含n(n为正整数)的等式表示上述变化规律；（2）观察总结得出结论：三角形两条直角边与斜边的关系，用一句话概括为： ；（3）利用上面的结论及规律，请作出等于的长度；（4）你能计算出的值吗？【答案与解析】一.选择题1. 【答案】B；【解析】B答案表明，故.2. 【答案】A；3【答案】C；【解析】由原式得： 所以，因为，,所以.4.【答案】D；.5. 【答案】C；【解析】可以取特殊值验证.6. 【答案】D；7. 【答案】D；【解析】2.868向右移动1位，23.6应向右移动3位得23600，考虑到符号，23600.8. 【答案】A；【解析】，9的算术平方根是3，故选A.二.填空题9. 【答案】（1），（4），（5），（7）；10.【答案】2；【解析】两个非负数互为相反数则只能均为0，于是可求2.11.【答案】；【解析】正数的平方根有2个，实数有一个与它符号相同的立方根.12.【答案】0.04858 【解析】23.6向左移动4位，4.858向左移动2位得0.04858.13.【答案】