高中 高二 数学 直线的两点式方程 教学设计

1、.2.2直线的两点式方程(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第二章)深圳市盐田高级中学 张成宇一、教学目标1探索并掌握直线的两点式方程；2根据直线位置的不同几何要素，确定直线方程的不同形式二、教学重难点重点：直线的两点式和截距式方程难点：直线的两点式方程的建立三、教学过程1直线的两点式方程的建立1.1温故知新，引发思考我们知道确定直线位置的基本几何要素有两类：（1）直线上一点和方向（斜率）；（2）两点确定一条直线我们已经探索了过点，斜率为的直线的点斜式方程为特例：直线的斜截式方程问题1：（1）已知直线经过两点，（其中，），因为两点确定一条直线，所以直线是唯一确定的即是说，对于直线上的任

2、意一点，它的坐标与点，的坐标之间具有唯一确定的关系这一关系是什么？【预设答案】方案一：用点，的坐标可以唯一确定直线的方程，点的坐标是方程的解；方案二：由点与点，三点中任意两点确定的直线的斜率相等【设计意图】通过方案一可以引导学生理解“直线上任意点的坐标都是直线方程的解”，从而领悟到“表示直线上任意点的坐标满足的关系，也就是确定直线的方程”方案二可以直线建立点的坐标满足的关系式，两种方案中斜率均处于核心地位1.2尝试探究，建立方程探究活动：以小组为单位在方案一和方案二中选取一种方案探究点的坐标与点，的坐标之间的关系，然后以组为单位汇报探究的过程和分享探究成果【活动预设】让学生自主设计探究思路，规

3、划探究步骤，经历数学探究过程，规范探究成果，从而积累数学活动经验【设计意图】不同的方案将得到不果的探究成果，根据所得关系式的不同，进而引导学生思考，如何统一结论，规范探究成果问题2：如何用统一的形式表示所得结果，谈谈你的想法？【活动预设】（1）从得到的关系式的形式上，分析其异同点；（2）化异为同，使得结果的结构特点更明确，形式更美【设计意图】引导学生对所得成果，进一步分析，找出其区别与联系，并在此基础上进行优化，积累数学活动经验问题3：在探究过程中，你认为关键步骤是什么，谈谈你的体会？【活动预设】引导学生发现两种方案中，斜率均处于核心地位斜率公式是联系直线上任意点与两已知点桥梁，是化“两点”为

4、“一点和方向”的关键，体会所得直线方程与点斜式方程的关系【设计意图】引导学生体会斜率在建立直线方程的过程中处于核心地位，以斜率公式为桥梁，将问题“两点确定一条直线”转化为“一点和斜率唯一确定一条直线”，体会直线的两点式方程是点斜式方程的一个“变式”或推论课堂新授：已知直线经过两点，其中，则直线的方程为我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式（two-point form）问题4：请分析直线的两点式方程的结构特点、适用条件，以及它与直线的点斜式方程的关系【预设答案】（1）直线方程的结构特点： eq oac(,1)运算：两边均是分式形式； eq oac(,2)数量：左边均是纵坐标（），右边均是横坐

5、标（）； eq oac(,3)下标：上下、左右下标序号一致； eq oac(,4)两边分子之比与分母之比相等，且都等于直线的斜率所以直线的两点式方程具有结构美、对称美、有序美、运算美等特点（2）适用条件，由，的条件，可知当直线与坐标轴不垂直（或平行）时，才可以写出直线的两点式方程（3）直线的两点式方程可以看作是直线的点斜式方程的“变式”或推论【设计意图】引导学生认识直线的两点式方程的本质与结构特点，了解它与直线的点斜式方程之间的关系，发现感受数学之美1.3操作确认，创新应用问题5：直线方程的斜截式是点斜式的特例，类比探索直线的两点式方程的特例，并对你的结果进行优化和评析【预设答案】当直线的两点

6、是它分别与轴，轴的交点时，两点式可改写成更简洁美观的形式（截距式）【设计意图】引导学生根据已有活动经验，利用特殊化的方法，类比斜截式的探索过程，自主探索直线的斜截式方程，对方程进行结构优化，并对方程结构特点进行评析，感受方程之美培养学生的探索意识和创新精神，提升数学学科核心素养课堂新授：已知直线与轴的交点为，与轴的交点为，其中，则直线的方程为我们把它叫做直线的截距式方程，简称截距式（intercept form）其中是直线在轴上的截距，类似的叫做直线在轴上的截距1.4典型例题，灵活应用例4已知的三个顶点，求边所在直线的方程，以及这条边上的中线所在直线的方程【思路分析】（1）直接写出所在直线的两

7、点式方程，然后化简；（2）先确定边中点的坐标，然后写出中线所在直线的两点式方程，化简【追问】你是否还有其他方案求解？【预设答案】先求斜率，再写出所在直线的斜截式方程，中线所在直线的点斜式方程，然后化简【设计意图】例4主要是两点式方程的综合应用既需要根据两点的坐标建立两点式方程，也需要确定线段中点坐标，由边的中点与对应顶点坐标建立三角形中线的方程引导学生理解和感受用坐标和方程量化点和直线，从而把图形的几何特征转化为代数表达变式若求边所在直线的方程，你能设计几种不同的方案？【预设答案】（1）斜截式；（2）两点式；（3）截距式【设计意图】引导学生理解根据确定直线的几何要素不同可以建立不同形式的直线方

8、程，但这些方程形异而质同，从而为进一步学习直线方程的一般式做铺垫1.5反思总结，理解升华思考：直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，各有什么几何意义？它们本质是什么？它们之间存在怎样的联系？谈谈你的理解和认识【预设答案】（1）直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，都具有明确的几何意义，都涉及确定直线位置的两个基本要素：两点或一点与斜率；（2）它们形式不同，但本质一致，都是对直线（几何图形）的定量（代数）刻画，并且在对直线的定量刻画中，斜率均处于核心地位；（3）点斜式方程是所有形式方程的基础，其他所有形式的方程都是点斜式方程在一定条件下的变式或推论；（4）所有不同形式的直线方程都有不同的适用条件，且都不能刻画斜率不存在的直线【设计意图】梳理直线方程的不同形式，理解其区别与内在联