数学论文：在图形计算公式教学中发展学生的空间观念

1、数学论文：在图形计算公式教学中发展学生的空间观念一、在公式推导过程中发展学生的空间观念图形计算公式教学一般按照直观感知、操作确认、推导公式、测量计算的步骤逐步加以展开。在实际教学中，教师一般是先创设测量情境，让学生利用度量单位和已有的知识经验解决问题，从而在新旧图形之间或不同维度测量属性之间建立联系；然后组织学生通过数学实验操作，在更大的范围内确认这种联系的存在。在此基础上，再根据建立的关系推导出相应的计算公式。这样的教学体现了活动性、直观性、严谨性。除此之外，在教学中，我们也可以先让学生通过观察特殊图形，提出具体图形的周长、面积或体积计算方法，再引导他们通过想象将计算方法由特殊图形推广到一般

2、图形。这样的学习过程不仅能让学生理解图形计算公式背后的数学逻辑，而且可以发展他们的空间观念。比如，教学苏教版教材六年级上册“长方体和正方体的体积”一课时，笔者为学生提供了若干个1立方厘米的小正方体，先让他们用这些小正方体搭一个长、宽、高分别是4厘米、3厘米、2厘米的长方体，再观察搭出的长方体，说说这个长方体的体积可以怎么求，为什么可以用432来计算。接着，将这个长方体的高变为3厘米，长和宽不变，要求学生说说现在这个长方体的体积怎样计算，为什么可以这样计算。随后，引导学生展开想象：“如果这个长方体的长和宽不变，将高依次变为4厘米、5厘米这个长方体的体积可以怎样计算？为什么可以这样计算？”学生通过

3、想象，逐步归纳出：当长方体的长、宽、高分别是4厘米、3厘米、a厘米时，可以用43a来计算它的体积（如下表）。接下来，要求学生采用同样的方法想象：宽和高不变，长依次发生变化，长方体的体积可以怎样计算？为什么可以这样计算？长和高不变，宽依次发生变化，长方体的体积可以怎样计算？为什么可以这样计算？学生在连续三次想象的基础上，很自然就能归纳出长方体的体积计算公式，也就是V=abh。回顾上述教学过程，笔者首先引导学生通过观察，发现一个特殊长方体（长4厘米、宽3厘米、高2厘米）的体积计算方法，并根据测量的本质和体积的意义，理解相关计算方法的道理。此时的操作、观察活动能为后续的想象提供基础。接着，采用控制变

4、量的方法，引导学生通过想象顺次推出长和宽不变、或宽和高不变、或长和高不变时，长方体的体积各可以怎样计算，以及为什么可以这样计算，从而归纳出长方体的体积计算公式。学生经历这样的学习过程，不仅顺利推导出长方体体积计算公式，理解体积计算公式背后的数学道理，而且在观察和想象中培养了空间观念。学生经常参与这样的探索学习过程，一旦在脑中形成图、式相互转化的表象，就能形成有效的空间想象。二、在公式应用过程中发展学生的空间观念应用公式解决实际问题或数学问题，是图形计算公式教学的重要环节。学生应用公式解决问题，不仅能进一步理解与掌握相关的公式，形成必要的能力，而且能够体会到学习图形计算公式的价值。在图形计算公式

5、的教学中，不少教师将公式的应用过程简化为把字母表示的数代入字母公式求值。这样的做法，不仅弱化了学生对图形计算公式的价值体验，而且丧失了培养学生空间观念的机会。在应用公式的环节，我们不仅要让学生正向运用公式解决问题、形成能力，而且要引导他们根据给定的周长、面积或体积逆向思考符合要求的图形或实物可能是什么样的，以促使他们在想象中进一步发展空间观念。比如，教学苏教版教材三年级下册“长方形和正方形的面积”一课时，笔者在练习中设计了这样的问题：一个长方形的面积是12平方厘米，你能想象出这个长方形的样子吗？请在方格纸中画出来。（每个小方格表示1平方厘米）学生根据面积的意义想到这个长方形可以是由12个1平方

6、厘米的小正方形拼成的，进而提出这12个小正方形可能正好拼成1排，也可能拼成2排、每排6个，还可能拼成3排、每排4个，并根据想象的结果画出3个不同的长方形（如下图）。也有学生直接逆向运用长方形的面积计算公式，根据“长宽=12（平方厘米）”列举出长方形的长和宽分别可能是12厘米和1厘米、6厘米和2厘米、4厘米和3厘米，同样也画出了3个不同的长方形。在此基础上，笔者继续启发学生思考：“如果一枚长方形邮票的面积是12平方厘米，它可能是什么样的？一块长方体橡皮，如果最大面的面积是12平方厘米，这个面可能是什么样的？”学生将画在方格纸上的三个长方形与实际物体进行联系，逐步确定这枚长方形邮票的长和宽应该分别

7、是4厘米和3厘米，这块橡皮最大面的长和宽可能分别是4厘米和3厘米或6厘米和2厘米。在上述练习中，笔者呈现的问题具有一定的开放性，解决问题的思路也由顺向变为逆向。学生解决这样的问题，不是简单地运用公式机械进行计算，而是借助面积单位模型逆向运用公式在头脑中想象多种可能的情况，进而将想象出的长方形用图形加以表征。在学生画出不同形状的长方形之后，笔者启发学生思考面积是12平方厘米的长方形邮票和长方体橡皮分别可能是什么样的，看似有重复之嫌，实则精心设计。因为根据积说出长和宽分别是多少，更多地是枚举思考的过程，而根据给定的面积说出实物的形状，更多地需要依赖相关的面积表象。这样的练习，不仅有助于学生进一步巩

8、固对长方形面积计算公式的理解，而且有助于他们强化对面积实际大小的感知，发展了空间观念。三、在公式复习过程中发展学生的空间观念图形计算公式教学不仅要重视公式本身的探究及应用，而且要重视相关公式的复习与整理。通过复习整理，不仅可以让学生将图形计算公式纳入相应的知识结构之中，形成知识体系，而且能够使他们在不同图形计算公式之间建立相应的关联，感悟内隐的数学思想方法，从而对图形计算公式产生更为深刻的理解。在图形计算公式的复习中，笔者注重引导学生通过静态的观察与动态的想象等学习活动，发现同类图形计算公式之间的共性以及不同维度图形计算公式之间的联系，从而发展他们的空间观念。比如，在教学苏教版教材六年级下册“

9、总复习”单元中“立体图形的表面积和体积”一课时，笔者先出示四个平面图形（正方形、长方形、三角形和圆），让学生想象：怎样通过这些平面图形得到我们学过的立体图形？有的学生想到用多个平面图形围成立体图形（见图1），有的学生想到通过旋转长方形（或正方形）、三角形得到圆柱和圆锥（见图2），还有的学生想到将长方形、正方形和圆沿着垂直方向平移得到长方体、正方体和圆柱（见图3），等等。图1图2 图3在此基础上，引导学生基于用平面图形围成立体图形的过程，复习立体图形的表面积计算公式；基于平面图形旋转或平移得到立体图形的过程，复习立体图形的体积计算公式及推导过程。进而引导学生在不同的表面积计算公式之间进行关联，得

10、到统一的柱体表面积计算公式“侧面积+底面积2”；在不同的体积计算公式之间进行关联，得到统一的柱体体积计算公式“底面积高”。最后，进一步启发学生思考：“为什么长方体、正方体和圆柱的体积都可以用“底面积高”来计算？”有的学生根据这三个立体图形的形成过程进行联想：因为这三个立体图形都可以看成是由一个平面图形沿垂直方向平移得到的，原来的平面图形就是立体图形的底，平移的距离就是立体图形的高，所以这三个立体图形的体积都可以用“底面积高”来计算。受此启发，又有学生想到平面图形沿垂直方向平移得到立体图形的过程中，平面图形一周边线的运动轨迹就是立体图形的侧面，所以这三个立体图形的侧面积都可以用“底面周长高”来计算。还有学生甚至想到，如果将三角形、梯形等平面图形沿垂直方向平移，得到的立体图形的体积和表面积也可以用同样的方法计算。上述教学过程没有简单地回顾立体图形的表面积和体积计算公式，而是从“怎样通过这些平面图形得到我们学过的立体图形”入手，引导学生通过想象在二维平面图形和三维立体图形之间进行转换，引出相应的图形计算公式。通过这样的复习，学生不仅深刻理解了立体图形的表面积和体积计算公式的内涵，获得新的发现，即如：由于长方体、正方体和圆柱都可以看成是平面图形沿垂直方向