考研资料概率论与数理统计考研辅导串讲(可编辑)

1、一主要内容及要求 二重要公式与结论 三典型例题分析与解答 一主要内容及要求 二重要公式与结论 三典型例题分析与解答一主要内容及要求 二重要公式与结论 三典型例题分析与解答 一主要内容及要求 二重要公式与结论 三典型例题分析与解答 一主要内容及要求 二重要公式与结论 三典型例题分析与解答 第六章 历年考研真题 1 2 3 第五章 数理统计初步 第三章 随机变量的数字特征 例3设XY在以点011011为顶点的三 角形区域G上服从均匀分布UXY求DU 分析个求二维随机变量或叫两个随 机变量的函数UXY的方差问题 因为已知联合密度故最简单的做法是直接用函数期望公式计算 为了比较还另给出了这是一两种解法

2、 解法一 三角形区域 于是XY的联合密度为 第三章 随机变量的数字特征 解法二 三角形区域 于是XY的联合密度为 第三章 随机变量的数字特征 以f1x表示X的概率密度则 同理可得 第三章 随机变量的数字特征 现在求X和Y的协方差 于是 第三章 随机变量的数字特征 解法三 三角形区域于是XY的联合密度为 以fu表示UXY的概率密度则 当u2时显然有 fu0 当1u2时有 第三章 随机变量的数字特征 由随机变量之和的概率密度公式有 故随机变量U的概率密度为 第三章 随机变量的数字特征 例4设XY在上服从均匀分布ZY-X2求EZ和DZ 解法一 正方形区域 于是XY的联合密度为 第三章 随机变量的数字

3、特征 解法二 正方形区域 于是XY的联合密度为 第三章 随机变量的数字特征 因此XY相互独立且都服从01上均匀分布 第三章随机变量的数字特征 解法三 正方形区域 于是XY的联合密度为 因此XY相互独立且都服从01上均匀分布 第三章 随机变量的数字特征 例5设 分析 解由题设 第三章 随机变量的数字特征 于是 第三章 随机变量的数字特征某流水作业线上生产的每个产品为不合 格的概率是p当生产出k个不合格品时即停工检 修一次试求在两次检修之间所生产的产品总数的 数学期望和方差 例6 解设X表示两次检修之间所生产的产品数 Xi表示生产出第i-1个不合格品后至出现第i个不合 格品时所生产的产品数则有 第

4、三章随机变量的数字特征 第三章 随机变量的数字特征 第三章 随机变量的数字特征 第三章 随机变量的数字特征 1掌握大数定律的定义 第四章大数定律和中心极限定理2掌握独立同分布的中心极限定理和德莫佛-拉普拉斯定理并会用这两个定理求概率 第四章 大数定律和中心极限定理1 切比雪夫不等式的一般形式 设X的r阶绝对矩存在r0则对有特别有 第四章 大数定律和中心极限定理 2 近似计算公式1当n很大p很小np不太大时 二项概率有下 列近似公式即Poisson定理 2当X1X2 Xn满足中心极限定理的条件 n很大时有下列近似公式 第四章 大数定律和中心极限定理某车间有200台车床它们独立地工作着开工率为06

5、开工时耗电各为1千瓦问供电所至少要供给这个车间多少电力才能以999的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产 解率保证这个车间不会因供电不足而影响生产 由题意有 例1第四章 大数定律和中心极限定理 即供给141千瓦电就能以999的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产 例2设随机变量X的 则由切 比雪夫不等式有 解第四章 大数定律和中心极限定理 现有一批种子其中良设至少要供给这个车间r千瓦电才能以999的概种占16今任取6000粒问能以099的概率保证在这6000粒种子中良种所占的比例与16的差不超过多少相应的良种粒数在哪个范围内 例3解 由德莫佛-拉普拉斯定理 第四章大数定律和中心极限定理

6、 故近似地有 第四章大数定律和中心极限定理 良种粒数X的范围为 第四章大数定律和中心极限定理例4独立同分布 解 由辛钦大数定律取1有 又显然有 第四章中心极限定理 1掌握统计量的概念会判断哪些样本的函数是统计量2掌握正态总体的样本均值和样本方差的定义及其分布 3要会熟练运用矩法和极大似然法求估计量 矩法求估计量的步骤 第五章 数理统计初步 极大似然法求估计量的步骤一般情况下 4要掌握估计量的评选标准 1无偏性 2有效性 3一致性 第五章 数理统计初步 5要会正态总体未知参数的区间估计大数定律和设为总体X的分布中的未知参数X1X2Xn 为取自X的样本若存在两个统计量 使得对给定的0 1有则称 为

7、的置信度为1-的置信区间 分别称为置信下限和置信上限 第五章设检验的步骤数理统计初步 6要会根据样本进行正态总体的假设检验 假1 由实际问题提出原假设H0与备择假设H123 根据4 由样选取适当的统计量并在H0为真的条件下确 定该统计量的分布问题要求确定显著性水平一般题目 中会给定从而得到拒绝域本观测值计算统计量的观测值看是否 属于拒绝域从而对H0作出判断 第五章数理统计初步 7要熟悉假设检验与区间估计的联系 因此由假设检验0的接受域即可得到的 区间估计反之亦然但二者对统计结果解释不同 第五章数理统计初步9掌握二维离散型随机变量分布率的定义会求二维离散10掌握二维连续型随机变量概率密度的性质会

8、型随机变量的分布率运用概率密度求二维连续型随机变量取值落在平面某一区域上的概率 第二章随机变量及其分布 11掌握二维均匀分布的定义及性质 D x y G 12会求边缘分布率和边缘概率密度 第二章随机变量及其分布 13掌握随机变量独立性的充分必要条件 第二章续型随机变量的极值分布 14掌握正态分布的性质 第二章布 1 特别地 第二章 随机变量及其分布 2 注 若X1X2不相互独立则k1X1k2X2不一定服 从正态分布 3X与Y相互独立且分别服从ab与cd上的均匀 分布 第二章 随机变量及其分布 4 第二章 随机变量及其分布 例1设X为随机变量若矩阵 的特征值全为实数的概率为05则 1 X服从03

9、上的均匀分布 3 X服从参数为1的指数分布 4 XN12第二章 随机变量及其分布 分析 由题设 故应选4 例2设XY相互独立 且均服从正态分布 第二章 随机变量及其分布 分析 由题设 即a-b1故应选2 例3设 分布函数为Fx 则对 任意实数x有分析 第二章 随机变量及其分布 注 若XY服从密度为fxy的分随机变量及其分布 15会求二维离散型随机变量和连随机变量及其分布则 例4设XY为相互独立同分布的连续型随机 变量证明 证 设X的分布函数为Fx 概率密度为fx 由题设可设Y的分布函数为Fy概率密度为fy则 XY的联合概率密度为 fxyfxfy 故 第二章量及其分布 例5设XY相互独立其中 而

10、Y服从参数为1的指数分布则PX-Y0 分析 解 第二章 随机变量及其分布 注 先求出ZgXY的值域cd则 第二章随机变量及其分布 第二章随机变随机变量及其分布 例6设XY在区域 上服从均匀分布求ZXY2的概率密度 分析ZXY2的值域为016 将00022022代入确定 解 XY的联合概率密度为 第二章随机变量及其分布 第二章函数为 第二章 随机变量及其分布 例7设X在满足PX01Y为任一随机变量则 X与Y相互独立分析 X与Y相互独立第二章 随机变量及其分布 证 第二章 随机变量及其分布 总之对于任意xy恒有 即X与Y相互独立注 讨论随机变量X与Y的相互独立性通常转化 分布函数来讨论 例8设二维

11、随机变量随机变量及其分布 故分布函数为 从而概率密度XYN00110 则 解 由二维正态分布的性质可知 XN01 YN01 且X与Y相互独立故 第二章 随机变量及其分布 1熟练掌握期望定义和性质 第三章 随机变量的数字特征 2会求随机变量函数的数学期望 设 Y g X g x 是连续函数第三章 随机变量的数字特征 3熟练掌握方差的定义和性质 4熟记两点分布二项分布泊松分布均匀分布正态分布指数分布的期望值和方差值 第三随机变量的数字特征 5掌握协方差和相关系数的定义不相关的定义及独立与不相关的关系 COVXY EX EX Y-EY EXY EXEY 称 XY不相关 若XY独立则 X Y 不相关

12、反之不然 第三章 随机变量的数字特征 1 或 2 或 3 特别地若XY的概率密度fxy仅在D上非零 则 第三章随机变量的数字特征 第三章 随机变量的数字特征 例1章设某一机器加工一种产品的次品率为01 检验员每天检验4次每次随机抽取5件产品进行检 验若发现次品1多于件就要调整机器求一天中调 整机器次数Y的概率分布及Y2的数学期望EY2 分析 令A机器需要调整若pPA则 设X取出的5件产品中的次品数则 第三章其分布率为 第三章随机变量的数字特征 于是 即YB40082随机变量的数字特征 例2设AB相互独立且PAPBcom 试求 解 由题设易知 又AB相互独立 相互独立 第三章量的数字特征 从而易求得 故XY的联合分布率为 第三章 随机变量的数字特征 2 由1易求得XY的概率分布为 第三章 随机变量的数字特征 3 由题设易知XY的概率分布分别为 又由1易求得XY的概率分布为 第三章 随机变量随机变的数字特