复变函数（全套课件）

1、复变函数第一节 复数及其代数运算一、复数的概念二、复数的代数运算三、小结与思考一、复数的概念1. 虚数单位:2.复数: 两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等. 复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0.说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的大小, 如果不全是实数, 就不能比较大小, 也就是说, 复数不能比较大小.二、复数的代数运算1. 两复数的和:2. 两复数的积:3. 两复数的商:4. 共轭复数: 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数.例1解5. 共轭复数的性质:以上各式证明略.例2解例3 解三、小结与思考 本课学习了复数的有关概念、性质及其运算. 重点掌握

2、复数的运算, 它是本节课的重点.思考题复数为什么不能比较大小？思考题答案由此可见, 在复数中无法定义大小关系.放映结束，按Esc退出.第二节 复数的几何表示一、复平面二、复球面三、小结与思考一、复平面1. 复平面的定义2. 复数的模(或绝对值)显然下列各式成立3. 复数的辐角说明辐角不确定.辐角主值的定义:4. 利用平行四边形法求复数的和差 两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致.5. 复数和差的模的性质利用直角坐标与极坐标的关系复数可以表示成复数的三角表示式再利用欧拉公式复数可以表示成复数的指数表示式欧拉介绍6.复数的三角表示和指数表示例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:解

3、故三角表示式为指数表示式为故三角表示式为指数表示式为例2解所以它的复数形式的参数方程为例3求下列方程所表示的曲线:解化简后得二、复球面1. 南极、北极的定义 球面上的点, 除去北极 N 外, 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用球面上的点来表示复数.我们规定: 复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应, 记作. 因而球面上的北极 N 就是复数无穷大的几何表示. 球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应, 这样的球面称为复球面.2. 复球面的定义3. 扩充复平面的定义包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, 或简称复平面.对于

4、复数来说, 实部,虚部,辐角等概念均无意义, 它的模规定为正无穷大.复球面的优越处:能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.三、小结与思考 学习的主要内容有复数的模、辐角;复数的各种表示法. 并且介绍了复平面、复球面和扩充复平面. 注意：为了用球面上的点来表示复数，引入了无穷远点无穷远点与无穷大这个复数相对应, 所谓无穷大是指模为正无穷大（辐角无意义）的唯一的一个复数，不要与实数中的无穷大或正、负无穷大混为一谈思考题是否任意复数都有辐角?思考题答案否.它的模为零而辐角不确定.放映结束，按Esc退出.Leonhard EulerBorn: 15 April 1707 in Basel, Swit

5、zerlandDied: 18 Sept 1783 in St Petersburg, Russia欧拉资料第三节 复数的乘幂与方根一、乘积与商二、幂与根三、小结与思考一、乘积与商定理一 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.证从几何上看, 两复数对应的向量分别为两复数相乘就是把模数相乘, 辐角相加.例1解例2解如图所示, 说明由于辐角的多值性, 两端都是无穷多个数构成的两个数集.对于左端的任一值, 右端必有值与它相对应.例如，由此可将结论推广到 n 个复数相乘的情况:定理二 两个复数的商的模等于它们的模的商; 两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差

6、.证按照商的定义, 证毕二、幂与根1. n次幂:推导过程如下:从几何上看, 例3解即例4解即三、小结与思考 应熟练掌握复数乘积与商的运算. 在各种形式中以三角形式、指数形式最为方便:放映结束，按Esc退出.Abraham de Moivre棣莫佛资料Born: 26 May 1667 in Vitry (near Paris), FranceDied: 27 Nov 1754 in London, England第四节 区 域一、区域的概念二、单连通域与多连通域三、典型例题四、小结与思考一、区域的概念1. 邻域:说明2.去心邻域:说明3.内点:4.开集: 如果 G 内每一点都是它的内点,那末G

7、 称为开集.5.区域: 如果平面点集D满足以下两个条件,则称它为一个区域.(1) D是一个开集；(2) D是连通的,就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来.6.边界点、边界: 设D是复平面内的一个区域,如果点 P 不属于D, 但在 P 的任意小的邻域内总有D中的点,这样的 P 点我们称为D的边界点.D的所有边界点组成D的边界.说明 (1) 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的. (2) 区域D与它的边界一起构成闭区域 以上基本概念的图示区域邻域边界点边界7.有界区域和无界区域:(1) 圆环域:课堂练习判断下列区域是否有界?(2) 上半平面:(3) 角形域:(4) 带

8、形域:答案(1)有界; (2) (3) (4)无界.二、单连通域与多连通域1. 连续曲线:平面曲线的复数表示:2. 光滑曲线: 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线.3. 简单曲线: 没有重点的曲线 C 称为简单曲线(或若尔当曲线).换句话说, 简单曲线自身不相交. 简单闭曲线的性质: 任意一条简单闭曲线 C 将复平面唯一地分成三个互不相交的点集.内部外部边界课堂练习判断下列曲线是否为简单曲线?答案简单闭简单不闭不简单闭不简单不闭4. 单连通域与多连通域的定义: 复平面上的一个区域B, 如果在其中任作一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于B, 就称为单连通域. 一个区域如果不是单

9、连通域, 就称为多连通域.单连通域多连通域三、典型例题例1 指明下列不等式所确定的区域, 是有界的还是无界的,单连通的还是多连通的.解无界的单连通域(如图).是角形域,无界的单连通域(如图).无界的多连通域. 表示到1, 1的距离之和为定值4的点的轨迹, 是椭圆,有界的单连通域.例2解 满足下列条件的点集是什么, 如果是区域, 指出是单连通域还是多连通域?是一条平行于实轴的直线, 不是区域.单连通域.是多连通域.不是区域.四、小结与思考应理解区域的有关概念:邻域、去心邻域、内点、开集、边界点、边界、区域、有界区域、无界区域理解单连通域与多连通域.放映结束，按Esc退出.第五节 复变函数一、复变

10、函数的定义二、映射的概念三、典型例题四、小结与思考一、复变函数的定义1.复变函数的定义:2.单(多)值函数的定义:3.定义集合和函数值集合:4. 复变函数与自变量之间的关系:例如,二、映射的概念1. 引入:2.映射的定义:3. 两个特殊的映射:且是全同图形.根据复数的乘法公式可知,(如下页图) 将第一图中两块阴影部分映射成第二图中同一个长方形.4. 反函数的定义:根据反函数的定义,当反函数为单值函数时, 今后不再区别函数与映射.解三、典型例题例1还是线段.例1解例1解仍是扇形域.例2解所以象的参数方程为四、小结与思考 复变函数以及映射的概念是本章的一个重点.注意：复变函数与一元实变函数的定义完

11、全一样,只要将后者定义中的“实数”换为“复数”就行了.思考题“函数”、“映射”、“变换”等名词有无区别？思考题答案 在复变函数中, 对“函数”、“映射”、“变换”等名词的使用, 没有本质上的区别. 只是函数一般是就数的对应而言, 而映射与变换一般是就点的对应而言的.放映结束，按Esc退出.第六节 复变函数的极限和连续性一、函数的极限二、函数的连续性三、小结与思考一、函数的极限1.函数极限的定义:注意:2. 极限计算的定理定理一证根据极限的定义(1) 必要性.(2) 充分性.证毕说明定理二与实变函数的极限运算法则类似.例1证 (一)根据定理一可知,证 (二)例2证根据定理一可知,二、函数的连续性

12、1. 连续的定义:定理三例如,定理四特殊的:(1) 有理整函数(多项式)(2) 有理分式函数在复平面内使分母不为零的点也是连续的.例3证三、小结与思考 通过本课的学习, 熟悉复变函数的极限、连续性的运算法则与性质. 注意:复变函数极限的定义与一元实变函数极限的定义虽然在形式上相同, 但在实质上有很大的差异, 它较之后者的要求苛刻得多.思考题思考题答案没有关系.极限值都是相同的.放映结束，按Esc退出.第一节 解析函数的概念一、复变函数的导数与微分二、解析函数的概念三、小结与思考一、复变函数的导数与微分1.导数的定义:在定义中应注意:例1 解例2 解例3 解2.可导与连续: 函数 f (z) 在

13、 z0 处可导则在 z0 处一定连续, 但函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导.证证毕3.求导法则: 由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来, 且证明方法也是相同的.求导公式与法则:4.微分的概念: 复变函数微分的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致.定义特别地, 二、解析函数的概念1. 解析函数的定义2. 奇点的定义根据定义可知:函数在区域内解析与在区域内可导是等价的.但是,函数在一点处解析与在一点处可导是不等价的概念. 即函数

14、在一点处可导, 不一定在该点处解析.函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多.例4 解由本节例1和例3知:例5解例6解定理以上定理的证明, 可利用求导法则.根据定理可知:(1) 所有多项式在复平面内是处处解析的.三、小结与思考 理解复变函数导数与微分以及解析函数的概念; 掌握连续、可导、解析之间的关系以及求导方法. 注意: 复变函数的导数定义与一元实变函数的导数定义在形式上完全一样, 它们的一些求导公式与求导法则也一样, 然而复变函数极限存在要求与z 趋于零的方式无关, 这表明它在一点可导的条件比实变函数严格得多.思考题思考题答案反之不对.放映结束，按Esc退出.第二节 函数解析的充要条件

15、 一、主要定理二、典型例题三、小结与思考一、主要定理定理一柯西介绍黎曼介绍证(1) 必要性.(2) 充分性.由于证毕解析函数的判定方法:二、典型例题例1 判定下列函数在何处可导, 在何处解析:解不满足柯西黎曼方程,四个偏导数均连续指数函数四个偏导数均连续例2 证例3 解例4 证例5解课堂练习答案例6证例7证根据隐函数求导法则,根据柯西黎曼方程得例8证三、小结与思考 在本课中我们得到了一个重要结论函数解析的充要条件:掌握并能灵活应用柯西黎曼方程.思考题思考题答案放映结束，按Esc退出.Augustin-Louis CauchyBorn: 21 Aug 1789 in Paris, FranceD

16、ied: 23 May 1857 in Sceaux (near Paris), France柯西资料 Riemann黎曼资料Born: 17 Sept 1826 in Breselenz, Hanover (now Germany)Died: 20 July 1866 in Selasca, Italy第三节 初等函数一、指数函数二、对数函数三、乘幂 ab 与幂函数四、三角函数和双曲函数五、反三角函数和反双曲函数六、小结与思考一、指数函数1.指数函数的定义:指数函数的定义等价于关系式:2. 加法定理证例1 解例2 解求出下列复数的辐角主值:例3 解二、对数函数1. 定义其余各值为特殊地, 例

17、4 解注意: 在实变函数中, 负数无对数, 而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广.例5解例6解2. 性质证 (3)证毕三、乘幂 与幂函数1. 乘幂的定义注意:特殊情况: 例7解答案课堂练习例8解2. 幂函数的解析性它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,四、三角函数和双曲函数1. 三角函数的定义将两式相加与相减, 得现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况.例9解有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数.(注意：这是与实变函数完全不同的)其他复变数三角函数的定义例12解2. 双曲

18、函数的定义它们的导数分别为并有如下公式:它们都是以 为周期的周期函数,五、反三角函数和反双曲函数1. 反三角函数的定义两端取对数得 同样可以定义反正弦函数和反正切函数, 重复以上步骤, 可以得到它们的表达式:2. 反双曲函数的定义例14解六、小结与思考 复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广, 它既保持了后者的某些基本性质, 又有一些与后者不同的特性. 如: 1. 指数函数具有周期性2. 负数无对数的结论不再成立3. 三角正弦与余弦不再具有有界性4. 双曲正弦与余弦都是周期函数思考题 实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同?思考题答案 两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是

19、类似的, 而且导数的形式、加法定理、正余弦函数的平方和等公式也有相同的形式. 最大的区别是, 实变三角函数中, 正余弦函数都是有界函数, 但在复变三角函数中, 放映结束，按Esc退出.第一节 复变函数积分的概念一、积分的定义二、积分存在的条件及其计算法三、积分的性质四、小结与思考一、积分的定义1.有向曲线: 设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线, 如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向), 那么我们就把C理解为带有方向的曲线, 称为有向曲线.如果A到B作为曲线C的正向,那么B到A就是曲线C的负向,简单闭曲线正向的定义: 简单闭曲线C的正向是指当曲线上的点P顺此方向前进时,

20、邻近P点的曲线的内部始终位于P点的左方. 与之相反的方向就是曲线的负方向.关于曲线方向的说明: 在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作为起点, 另一个作为终点, 除特殊声明外, 正方向总是指从起点到终点的方向.2.积分的定义:(关于定义的说明:二、积分存在的条件及其计算法1. 存在的条件证正方向为参数增加的方向,根据线积分的存在定理,当 n 无限增大而弧段长度的最大值趋于零时, 在形式上可以看成是公式2. 积分的计算法在今后讨论的积分中, 总假定被积函数是连续的, 曲线 C 是按段光滑的.例1 解直线方程为这两个积分都与路线C 无关例2 解(1) 积分路径的参数方程为y=x(2) 积分路径的参

21、数方程为y=xy=x(3) 积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为1到1+i直线段的参数方程为例3 解积分路径的参数方程为例4 解积分路径的参数方程为重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.三、积分的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质.估值不等式性质(4)的证明两端取极限得证毕例5解根据估值不等式知四、小结与思考 本课我们学习了积分的定义、存在条件以及计算和性质. 应注意复变函数的积分有跟微积分学中的线积分完全相似的性质. 本课中重点掌握复积分的一般方法.思考题思考题答案即为一元实函数的定积分.放映结束，按Esc退出.第二节 柯西古萨基本定理一、问题的提出二、基本定理三、典

22、型例题四、小结与思考一、问题的提出观察上节例1, 此时积分与路线无关. 观察上节例4, 观察上节例5, 由于不满足柯西黎曼方程, 故而在复平面内处处不解析. 由以上讨论可知, 积分是否与路线有关, 可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性.二、基本定理柯西古萨基本定理定理中的 C 可以不是简单曲线.此定理也称为柯西积分定理.柯西介绍古萨介绍关于定理的说明:(1) 如果曲线 C 是区域 B 的边界, (2) 如果曲线 C 是区域 B 的边界, 定理仍成立.三、典型例题例1解根据柯西古萨定理, 有例2证由柯西古萨定理, 由柯西古萨定理, 由上节例4可知, 例3解根据柯西古萨定理得四、小结与思考 通

23、过本课学习, 重点掌握柯西古萨基本定理:并注意定理成立的条件.思考题应用柯西古萨定理应注意什么?思考题答案(1) 注意定理的条件“单连通域”.(2) 注意定理的不能反过来用.放映结束，按Esc退出.Augustin-Louis CauchyBorn: 21 Aug 1789 in Paris, FranceDied: 23 May 1857 in Sceaux (near Paris), France柯西资料 GoursatBorn: 21 May 1858 in Lanzac, Lot, FranceDied: 25 Nov 1936 in Paris, France古萨资料第三节 基本定理

24、的推广一、问题的提出二、复合闭路定理三、典型例题复合闭路定理四、小结与思考一、问题的提出根据本章第一节例4可知, 由此希望将基本定理推广到多连域中.二、复合闭路定理1. 闭路变形原理得 解析函数沿闭曲线的积分, 不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.闭路变形原理说明: 在变形过程中曲线不经过函数 f(z) 的不解析的点.2. 复合闭路定理那末三、典型例题例1解依题意知, 根据复合闭路定理,例2 解圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合定理,例3解由复合闭路定理, 此结论非常重要, 用起来很方便, 因为不必是圆, a也不必是圆的圆心, 只要a在简单闭曲线内即可.例4解由上例可知四、小结与

25、思考 本课所讲述的复合闭路定理与闭路变形原理是复积分中的重要定理, 掌握并能灵活应用它是本章的难点.常用结论:思考题 复合闭路定理在积分计算中有什么用? 要注意什么问题?思考题答案 利用复合闭路定理是计算沿闭曲线积分的最主要方法.使用复合闭路定理时, 要注意曲线的方向.放映结束，按Esc退出.第四节 原函数与不定积分一、主要定理和定义二、典型例题三、小结与思考一、主要定理和定义定理一由定理一可知: 解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关, (如下页图)1. 两个主要定理:定理二证利用导数的定义来证.由于积分与路线无关,由积分的估值性质, 此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似

26、.证毕2. 原函数的定义:原函数之间的关系:证那末它就有无穷多个原函数, 根据以上讨论可知:证毕3. 不定积分的定义:定理三(类似于牛顿-莱布尼兹公式)证根据柯西-古萨基本定理,证毕说明: 有了以上定理, 复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算.二、典型例题例1解由牛顿-莱布尼兹公式知,例2解(使用了微积分学中的“凑微分”法)例3解由牛顿-莱布尼兹公式知,例3另解此方法使用了微积分中“分部积分法”例4解利用分部积分法可得课堂练习答案例5解例6解所以积分与路线无关,根据牛莱公式:三、小结与思考 本课介绍了原函数、不定积分的定义以及牛顿莱布尼兹公式. 在学习中应注意与高等数学中相关内容

27、相结合, 更好的理解本课内容.思考题 解析函数在单连通域内积分的牛顿莱布尼兹公式与实函数定积分的牛顿莱布尼兹公式有何异同?思考题答案两者的提法和结果是类似的.两者对函数的要求差异很大.放映结束，按Esc退出.第五节 柯西积分公式 一、问题的提出二、柯西积分公式三、典型例题四、小结与思考一、问题的提出根据闭路变形原理知, 该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变, 求这个值.二、柯西积分公式定理证上不等式表明, 只要 R 足够小, 左端积分的模就可以任意小,根据闭路变形原理知, 左端积分的值与 R 无关, 所以只有在对所有的 R 积分值为零时才有可能.证毕柯西积分公式柯西介绍关于柯西积分公式的说明:

28、(1) 把函数在C内部任一点的值用它在边界上的值表示. (这是解析函数的又一特征)(2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法, 而且给出了解析函数的一个积分表达式.(这是研究解析函数的有力工具)(3) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.三、典型例题例1解由柯西积分公式例2解由柯西积分公式例3解由柯西积分公式例解根据柯西积分公式知,例5解例5解由闭路复合定理, 得例5解例6解根据柯西积分公式知,比较两式得课堂练习答案四、小结与思考 柯西积分公式是复积分计算中的重要公式, 它的证明基于柯西古萨基本定理, 它的重要性在于: 一个解析函数在区域内部的值可以用它在边界上的值

29、通过积分表示, 所以它是研究解析函数的重要工具.柯西积分公式:思考题 柯西积分公式是对有界区域而言的, 能否推广到无界区域中?思考题答案可以.其中积分方向应是顺时针方向.放映结束，按Esc退出.Augustin-Louis CauchyBorn: 21 Aug 1789 in Paris, FranceDied: 23 May 1857 in Sceaux (near Paris), France柯西资料第六节 高阶导数一、问题的提出二、主要定理三、典型例题四、小结与思考一、问题的提出问题:(1) 解析函数是否有高阶导数? (2) 若有高阶导数, 其定义和求法是否与实变函数相同?回答:(1)

30、解析函数有各高阶导数. (2) 高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示, 这与实变函数完全不同.解析函数高阶导数的定义是什么?二、主要定理定理证根据导数的定义,从柯西积分公式得再利用以上方法求极限至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数.依次类推, 利用数学归纳法可证证毕高阶导数公式的作用: 不在于通过积分来求导, 而在于通过求导来求积分.三、典型例题例1解根据复合闭路定理例2解例3解由柯西古萨基本定理得由柯西积分公式得课堂练习答案例4解根据复合闭路定理和高阶导数公式,例5(Morera定理)证依题意可知参照本章第四节定理二, 可证明因为解析函数的导数仍为解析函数,例6证不等式

31、即证.四、小结与思考 高阶导数公式是复积分的重要公式. 它表明了解析函数的导数仍然是解析函数这一异常重要的结论, 同时表明了解析函数与实变函数的本质区别.高阶导数公式思考题 解析函数的高阶导数公式说明解析函数的导数与实函数的导数有何不同?思考题答案这一点与实变量函数有本质的区别.放映结束，按Esc退出.第七节 解析函数与调和函数的关系 一、调和函数的定义二、解析函数与调和函数的关系三、小结与思考一、调和函数的定义定义 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中有很重要的应用.拉普拉斯二、解析函数与调和函数的关系1. 两者的关系定理 任何在区域 D 内解析的函数,它的实部和虚部都是 D 内的调和

32、函数.证根据解析函数高阶导数定理, 证毕2. 共轭调和函数的定义 区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.3. 偏积分法 如果已知一个调和函数 u, 那末就可以利用柯西黎曼方程求得它的共轭调和函数 v, 从而构成一个解析函数u+vi. 这种方法称为偏积分法.解例1 得一个解析函数这个函数可以化为答案课堂练习例2 解所求解析函数为4. 不定积分法不定积分法的实施过程:将上两式积分, 得例3解根据调和函数的定义可得所求解析函数为用不定积分法求解例1中的解析函数 例4解例5 解用不定积分法求解例2中的解析函数 例6 解两边同时求导数所以上面两式分别相加减可得三、小结与思考 本节我们学习了调和函

33、数的概念、解析函数与调和函数的关系以及共轭调和函数的概念.应注意的是: 1. 任意两个调和函数u与v所构成的函数u+iv不一定是解析函数. 2. 满足柯西黎曼方程ux= vy, vx= uy,的v称为u的共轭调和函数, u与v注意的是地位不能颠倒.放映结束，按Esc退出.拉普拉斯资料Pierre-Simon LaplaceBorn: 23 March 1749 in Beaumont-en-Auge, Normandy, FranceDied: 5 March 1827 in Paris, France一、复数列的极限二、级数的概念第一节 复数项级数三、典型例题四、小结与思考一、复数列的极限1

34、.定义记作2.复数列收敛的条件那末对于任意给定的就能找到一个正数N,证从而有所以同理反之, 如果从而有定理一说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列的敛散性.证毕课堂练习:下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限.二、级数的概念1.定义表达式称为复数项无穷级数.其最前面 n 项的和称为级数的部分和.部分和收敛与发散说明: 与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散性的基本方法是:2.复数项级数收敛的条件证因为定理二说明 复数项级数的审敛问题实数项级数的审敛问题(定理二)解所以原级数发散. 课堂练习必要条件重要结论:不满足必要条件,所以原级数发散.启示: 判别级数的敛散性时, 可先考察?级数

35、发散;应进一步判断.3. 绝对收敛与条件收敛注意 应用正项级数的审敛法则判定.定理三证由于而根据实数项级数的比较准则, 知由定理二可得证毕非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.说明如果 收敛, 那末称级数 为绝对收敛.定义所以综上:下列数列是否收敛, 如果收敛, 求出其极限.而解 三、典型例题例1解 所以数列发散.例2 解 级数满足必要条件, 但例3故原级数收敛, 且为绝对收敛.因为所以由正项级数的比值判别法知:解故原级数收敛.所以原级数非绝对收敛.例4解四、小结与思考 通过本课的学习, 应了解复数列的极限概念; 熟悉复数列收敛及复数项级数收敛与绝对收敛的充要条件;理解复数项级数收敛、发散、绝

36、对收敛与条件收敛的概念与性质. 思考题思考题答案否.放映结束，按Esc退出.第二节 幂级数一、幂级数的概念二、幂级数的敛散性三、幂级数的运算和性质四、典型例题五、小结与思考一、幂级数的概念1.复变函数项级数定义其中各项在区域 D内有定义.表达式称为复变函数项级数, 记作 称为这级数的部分和. 级数最前面n项的和和函数称为该级数在区域D上的和函数.如果级数在D内处处收敛, 那末它的和一定2. 幂级数当或函数项级数的特殊情形或这种级数称为幂级数.二、幂级数的敛散性1.收敛定理(阿贝尔Abel定理)如果级数在收敛,那末对的级数必绝对收敛,如果在级数发散, 那末对满足的级数必发散.满足阿贝尔介绍证由收

37、敛的必要条件, 有因而存在正数M, 使对所有的n, 而由正项级数的比较判别法知:收敛.另一部分的证明请课后完成.证毕2. 收敛圆与收敛半径对于一个幂级数, 其收敛半径的情况有三种:(1) 对所有的正实数都收敛.由阿贝尔定理知:级数在复平面内处处绝对收敛.例如, 级数对任意固定的z, 从某个n开始, 总有于是有故该级数对任意的z均收敛.(2) 对所有的正实数除 z=0 外都发散.此时, 级数在复平面内除原点外处处发散.(3) 既存在使级数发散的正实数, 也存在使级数收敛的正实数.例如,级数通项不趋于零, 如图:故级数发散.收敛圆收敛半径幂级数的收敛范围是以原点为中心的圆域.答案: 幂级数的收敛范

38、围是何区域?问题1: 在收敛圆周上是收敛还是发散, 不能作出一般的结论, 要对具体级数进行具体分析.注意问题2: 幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?例如, 级数:收敛圆周上无收敛点;在收敛圆周上处处收敛.3. 收敛半径的求法方法1: 比值法(定理二):那末收敛半径证由于收敛.据阿贝尔定理,根据上节定理三,所以收敛半径为证毕即假设不成立 .如果:即注意:存在且不为零 .定理中极限(极限不存在),即答案课堂练习 试求幂级数的收敛半径.方法2: 根值法(定理三)那末收敛半径说明:(与比值法相同)如果三、幂级数的运算和性质1.幂级数的有理运算2. 幂级数的代换(复合)运算如果当时,又设在内解析且满足那末

39、当时,说明: 此代换运算常应用于将函数展开成幂级数.定理四设幂级数的收敛半径为那末(2)在收敛圆内的导数可将其幂级数逐项求导得到, 是收敛圆内的解析函数 .(1)3. 复变幂级数在收敛圆内的性质(3)在收敛圆内可以逐项积分, 简言之: 在收敛圆内, 幂级数的和函数解析; 幂级数可逐项求导, 逐项积分.(常用于求和函数)即四、典型例题例1 求幂级数的收敛范围与和函数.解级数的部分和为级数收敛,级数发散.且有收敛范围为一单位圆域由阿贝尔定理知:在此圆域内, 级数绝对收敛, 收敛半径为1,例2求下列幂级数的收敛半径:(1)(并讨论在收敛圆周上的情形)(2)(并讨论时的情形)或解(1)因为所以收敛半径

40、即原级数在圆内收敛, 在圆外发散, 收敛的级数 所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.在圆周上,级数说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点, 也有 级数的发散点.原级数成为交错级数, 收敛.发散.原级数成为调和级数，(2)故收敛半径例3求幂级数 的收敛半径:解解所以例4求 的收敛半径.例5把函数表成形如的幂级数, 其中是不相等的复常数 .解把函数写成如下的形式:代数变形 , 使其分母中出现凑出级数收敛,且其和为例6 求级数的收敛半径与和函数.解利用逐项积分,得:所以例7 求级数的收敛半径与和函数.解例8 计算解五、小结与思考 这节课我们学习了幂级数的概念和阿贝尔定理等内容，应掌握幂级数收敛半径的求法和

41、幂级数的运算性质.思考题幂级数在收敛圆周上的敛散性如何断定?由于在收敛圆周上确定, 可以依复数项级数敛散性讨论.思考题答案放映结束，按Esc退出.阿贝尔资料Born: 5 Aug 1802 in Frindoe (near Stavanger), NorwayDied: 6 April 1829 in Froland, NorwayNiels Abel第三节 泰勒级数二、泰勒定理三、将函数展开成泰勒级数一、问题的引入四、典型例题五、小结与思考一、问题的引入问题: 任一个解析函数能否用幂级数来表达？.内任意点如图:.K.由柯西积分公式 , 有其中 K 取正方向.则由高阶导数公式, 上式又可写成其

42、中可知在K内令则在K上连续, 即存在一个正常数M,在内成立,从而在K内 圆周的半径可以任意增大,只要内成立.在的泰勒展开式,在泰勒级数如果到的边界上各点的最短距离为那末在的泰勒展开式在内成立因为凡满足的必能使由上讨论得重要定理泰勒展开定理在的泰勒级数的收敛半径至少等于，但二、泰勒定理其中泰勒级数泰勒展开式定理设在区域内解析,为 内的一为到的边界上各点的最短距离, 那末点,时,成立,当泰勒介绍说明:1.复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱得多; (想一想, 为什么?)4.任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的. (为什么?)因为解析，可以保证无限次可各阶导数的连续性; 所以复变函数展为泰勒级

43、数的实用范围就要比实变函数广阔的多.注意问题：利用泰勒级数可以将函数展开为幂级数，展开式是否唯一？三、将函数展开成泰勒级数常用方法: 直接法和间接法.1.直接法:由泰勒展开定理计算系数例如，故有仿照上例 , 2. 间接展开法 : 借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 积分等)和其它数学技巧 (代换等) , 求函数的泰勒展开式.间接法的优点: 不需要求各阶导数与收敛半径 , 因而比直接展开更为简洁 , 使用范围也更为广泛 .例如， 附: 常见函数的泰勒展开式例1解四、典型例题上式两边逐项求导,例2分析如图,即 将展开式两端沿 C 逐项积分, 得解例3

44、 解例4 解例5解例6解即微分方程对微分方程逐次求导得:五、小结与思考 通过本课的学习, 应理解泰勒展开定理,熟记五个基本函数的泰勒展开式,掌握将函数展开成泰勒级数的方法, 能比较熟练的把一些解析函数展开成泰勒级数.奇、偶函数的泰勒级数有什么特点?思考题 奇函数的泰勒级数只含 z 的奇次幂项, 偶函数的泰勒级数只含 z 的偶次幂项.思考题答案放映结束，按Esc退出.泰勒资料Born: 18 Aug 1685 in Edmonton, Middlesex, EnglandDied: 29 Dec 1731 in Somerset House, London, EnglandBrook Taylo

45、r第四节 洛朗级数二、洛朗级数的概念三、函数的洛朗展开式一、问题的引入五、小结与思考四、典型例题一、问题的引入问题:负幂项部分正幂项部分主要部分解析部分同时收敛收敛收敛半径收敛域收敛半径收敛域两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分R结论:.常见的特殊圆环域:.例如，都不解析,但在圆环域及内都是解析的.而2. 问题:在圆环域内解析的函数是否一定能展开成级数?所以即内可以展开成级数.也可以展开成级数：二、洛朗级数的概念定理C为圆环域内绕 的任一正向简单闭曲线. 为洛朗系数.说明:函数在圆环域内的洛朗展开式在圆环域内的洛朗(Laurent)级数. 1) 2) 某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂

46、项的级数是唯一的， 这就是 f (z) 的洛朗级数. 定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数的一般方法.三、函数的洛朗展开式常用方法 : 1. 直接法 2. 间接法 1. 直接展开法利用定理公式计算系数然后写出缺点: 计算往往很麻烦.根据正、负幂项组成的的级数的唯一性, 可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开 .优点 : 简捷 , 快速 .2. 间接展开法四、典型例题例1解由定理知:其中故由柯西古萨基本定理知:由高阶导数公式知:另解本例中圆环域的中心 z = 0 既是各负幂项的奇点,例2 内是处处解析的,试把 f (z) 在这些区域内展开成洛朗级数.解oxy112oxy由且仍有2oxy

47、由此时仍有注意:奇点但却不是函数的奇点 .本例中圆环域的中心是各负幂项的说明:1. 函数在以为中心的圆环域内的洛朗级数中尽管含有的负幂项, 而且又是这些项的奇点, 但是可能是函数的奇点,也可能的奇点.不是2. 给定了函数与复平面内的一点以后,函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式 (包括泰勒展开式作为它的特例).回答：不矛盾 .朗展开式是唯一的)问题：这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾?(唯一性 : 指函数在某一个给定的圆环域内的洛解 例3例4解 例5内的洛朗展开式. 解 五、小结与思考 在这节课中, 我们学习了洛朗展开定理和函数展开成洛朗级数的方法. 将函数展开成洛朗级数是本节的重点和难点

48、.洛朗级数与泰勒级数有何关系?思考题 洛朗级数是一个双边幂级数, 其解析部分是一个普通幂级数; 思考题答案是一般与特殊的关系. 洛朗级数的收敛区域是圆环域放映结束，按Esc退出.第一节 孤立奇点一、孤立奇点的概念二、函数的零点与极点的关系三、函数在无穷远点的性态四、小结与思考一、孤立奇点的概念定义 如果函数在 不解析, 但在的某一去心邻域内处处解析, 则称为的孤立奇点.例1是函数的孤立奇点.是函数的孤立奇点.注意: 孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤立奇点.例2 指出函数在点的奇点特性.解即在的不论怎样小的去心邻域内, 的奇点存在, 函数的奇点为总有不是孤立奇点.所以孤立奇点的分类依据在其

49、孤立奇点的去心邻域内的洛朗级数的情况分为三类:1可去奇点1可去奇点; 2极点; 3本性奇点.如果洛朗级数中不含 的负幂项, 那末孤立奇点 称为 的可去奇点.1) 定义其和函数为在解析的函数.说明: (1)(2) 无论在是否有定义, 补充定义则函数在解析. 2) 可去奇点的判定(1) 由定义判断:的洛朗级数无负在如果幂项则为的可去奇点.(2) 判断极限若极限存在且为有限值,则为的可去奇点.如果补充定义:时,那末在解析.例3 中不含负幂项,是的可去奇点 . 例4 说明为的可去奇点.解 所以为的可去奇点.无负幂项另解 的可去奇点.为2. 极点 其中关于的最高幂为即级极点.那末孤立奇点称为函数的或写成

50、1) 定义 如果洛朗级数中只有有限多个的负幂项, 说明:1.2.特点:(1)(2)的极点 , 则为函数如果例5 有理分式函数是二级极点, 是一级极点.2)极点的判定方法的负幂项为有的洛朗展开式中含有限项.在点 的某去心邻域内其中 在 的邻域内解析, 且 (1) 由定义判别(2) 由定义的等价形式判别(3) 利用极限判断 .课堂练习求的奇点, 如果是极点, 指出它的级数.答案本性奇点3.如果洛朗级数中含有无穷多个那末孤立奇点称为的本性奇点.的负幂项,例如，含有无穷多个z的负幂项 特点: 在本性奇点的邻域内不存在且不为同时不存在.综上所述:孤立奇点可去奇点m级极点本性奇点洛朗级数特点存在且为有限值

51、不存在且不为无负幂项含无穷多个负幂项含有限个负幂项关于的最高幂为二、函数的零点与极点的关系1.零点的定义不恒等于零的解析函数如果能表示成其中在解析且m为某一正整数,那末称为的 m 级零点.例6注意: 不恒等于零的解析函数的零点是孤立的.2.零点的判定零点的充要条件是证 (必要性)由定义:设的泰勒展开式为:如果在解析, 那末为的级如果为的级零点其中展开式的前m项系数都为零 ,由泰勒级数的系数公式知:并且充分性证明略 .(1)由于知是的一级零点 .课堂练习是五级零点,是二级零点.知是的一级零点.解 (2)由于答案例7 求以下函数的零点及级数:(1)(2)的零点及级数 .求3.零点与极点的关系定理如

52、果是的 m 级极点, 那末就是的 m 级零点. 反过来也成立.证如果是的 m 级极点, 则有当 时 ,函数在解析且由于只要令 那末的 m 级零点. 就是反之如果 的 m 级零点, 是那末当 时,解析且所以是的 m 级极点.说明 此定理为判断函数的极点提供了一个较为简便的方法.例8 函数有些什么奇点, 如果是极点, 指出它的级.解 函数的奇点是使的点,这些奇点是是孤立奇点.的一级极点.即解 解析且所以不是二级极点, 而是一级极点.是的几级极点?思考例9 问是的二级极点吗?注意: 不能以函数的表面形式作出结论 .三、函数在无穷远点的性态1. 定义如果函数在无穷远点的去心邻域内解析, 则称点为的孤立

53、奇点.Rxyo令变换规定此变换将:映射为扩充 z 平面扩充 t 平面映射为映射为映射为结论: 在去心邻域内对函数的研究在去心邻域内对函数的研究因为 在去心邻域内是解析的,所以是的孤立奇点.规定: m级奇点或本性奇点 .的可去奇点、m级奇点或本性奇点,如果 t=0 是是的可去奇点、 那末就称点1)不含正幂项;2)含有有限多的正幂项且为最高正幂;3)含有无穷多的正幂项;那末是的1)可去奇点 ;2) m 级极点;3)本性奇点 .判别法1 (利用洛朗级数的特点)2.判别方法:在内的洛朗级数中:如果例10 (1)函数在圆环域内的洛朗展开式为:不含正幂项所以是的可去奇点 .(2)函数含有正幂项且 z 为最

54、高正幂项,所以是的 m级极点.(3)函数的展开式:含有无穷多的正幂项所以是的本性奇点.课堂练习的奇点及其类型.说出函数答案判别法2 : (利用极限特点)如果极限1)存在且为有限值 ; 2)无穷大; 3)不存在且不为无穷大 ;那末是的1)可去奇点 ;2)m级极点 ;3)本性奇点 .例11 函数在扩充复平面内有些什么类型的奇点? 如果是极点, 指出它的级.解 函数除点外, 所以这些点都是的一级零点,故这些点中除1, -1, 2外, 都是的三级极点.内解析 .在所以那末是的可去奇点. 因为不是的孤立奇点.所以四、小结与思考 理解孤立奇点的概念及其分类; 掌握可去奇点、极点与本性奇点的特征; 熟悉零点

55、与极点的关系.思考题思考题答案放映结束，按Esc退出.第二节 留 数一、留数的引入二、利用留数求积分三、在无穷远点的留数四、典型例题五、小结与思考一、留数的引入设为的一个孤立奇点;内的洛朗级数:在.的某去心邻域邻域内包含的任一条正向简单闭曲线0(高阶导数公式)0 (柯西-古萨基本定理)定义 记作的一个孤立奇点, 则沿内包含的任意一条简单闭曲线 C 的积分的值除后所得的数称为以如果二、利用留数求积分说明:2. 留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求被积函数在C内各孤立奇点处的留数.1.留数定理在区域 D内除有限个孤外处处解析, C 是 D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线, 那末立奇点函数证证毕两边同时除以 且.如图2.留数的计算方法(1) 如果为的可去奇点, 如果 为 的一级极点, 那末规则1成洛朗级数求(2) 如果为的本性奇点, (3) 如果为的极点, 则有如下计算规则展开则需将如果 为 的