机器人机构学-第二章

1、第二章 串联机构拓扑结构特征与综合串联机构的结构组成及符号表示串联机构的自由度公式机构运动输出的特征矩阵螺旋理论的基本知识串联机构的综合方法2.1串串联机构构的结构构特征2.1.1串联联机构的的结构组组成及符符号表示示1.运动动副基本本类型2.1串串联机构构的结构构特征2.连杆杆参数与与坐标系系坐标轴的的定义（zi-轴线方方向,xii-1轴轴到i轴轴的公垂垂线,yi-右手准准则）参数定义义（杆长长ai,轴长di,转角i, 扭角角i,2.1串串联机构构的结构构特征连杆参数数的特殊殊配置类类型两运动轴轴线重合合，即，但但两运动副副轴线平平行，即即可可以以任取，两运动副副轴线相相交于一一点，即即，两

2、运动副副轴线垂垂直，即即三个移动动副平行行于同一一平面，即。2.1串串联机构构的结构构特征3.串联联机构及及结构组组成的符符号表示示对由P副副（移动动副），R副（转动副副）与H副（螺螺旋副），构成成的串联联机构（亦称单单开链（Single OpenedChain）简简记为SOC），其结结构组成成可用符符号表示示。为此此，约定定（1）同同一构件件上两运运动副轴轴线为任任意方位位配置，两者之之间用“-”表表示，如如R-R,R-P,R-H,P-P等。（2）同同一构件件上两运运动副轴轴线重合合，两者者之间用用“”表示，如RR,RP,RH,PP等。（3）同同一构件件上两运运动副轴轴线平行行，两者者之间用

3、用“”表示示，如RR,RP,RH等。（4）同同一构件件上两运运动副轴轴线相交交于一点点，两者者共用“”表表示，如如等。（5）若若干个副副平行于于同一平平面，用用“（PPP）”表示示（6）同同一构件件上两运运动副轴轴线垂直直，两者者之间用用“”表示，如RR,RP,RH等，特特别说明明当RPR且且RR时时，记为为R（P）R；当RPR且且RR时时，记为为R（P）R。如C副（圆柱副副）为，U副副（万向向节）为为，S副副（球副副）为2.1串串联机构构的结构构特征2.1.2串串联机构构的活动动度公式式其中F机构活活动度m机构构运动副副数fi第i个个运动副副自由度度数2.1串串联机构构的结构构特征2.1.3

4、串联机构构运动输输出特征征矩阵1.串联联机构的的位移输输出是末末端构件件的位置置与方向向（位姿姿），为为机构运运动输入入的函数数。记为为位位移输输出矩阵阵即串联机构构运动输输出特征征矩阵在串联机机构的运运动输出出矩阵中中，我们们约定1）当式式（2-2）的的某元素素为常量量时，该该元素用用：“”表表示之；相应在在式（2-3）的对应应元素用用“0”表示之之。2）当式式（2-2）的的某元素素为非独独立元素素时，该该元素用用“该该元素”表示示之；但但不再记记；相应应在式（2-3）的对对应元素素亦用“该元元素”表示之之；但不不再记；3）当式式（2-2）的的某元素素为非独独立元素素时，该该元素记记法同式式

5、（2-2），但不再再记为；相应在在式（2-3）的对应应元素记记法同式式（2-3），但不再再记。4）机构构位移输输出特征征矩阵与与速度输输出特征征矩阵仍仍分别记记为Ms与,并并统称为为机构运运动输出出特征矩矩阵，简简称为输输出特征征矩阵。串联机构构运动输输出特征征矩阵例：图2-3串联机构构运动输输出特征征矩阵例：图2-4串联机构构运动输输出特征征矩阵若式（2-2），（2-3）诸元素素皆为独独立运动动输出时时，其位位移、速速度输出出特征矩矩阵分别别为机构运动动输出特特征矩阵阵的矢量量形式为为串联机构构运动输输出特征征矩阵例：图2-5a例:图2-5b串联机构构运动输输出特征征矩阵2.串联联机构运运动

6、输出出特征矩矩阵类型型2.2螺螺旋理理论2.2.1螺螺旋定义设设S与S0为三维实实空间两两矢量（图2-6），且满足足（简简称搬迁迁公式），则S与S0构成一个个螺旋，记作（2-5）式中，为为Clifford算符符，有若以r表表示沿S的单位位矢量，表示参考考系原点点O到r上任一一点的矢矢径，则则式中：-螺旋的的幅值；h-螺旋的的节距螺旋对应应于两个个矢量代代表的六六个分量量，是一一个六维维向量它可以表表示两个个刚体的的相对运运动和相相互作用用力S为刚体体1的角角速度，So为为刚体2与刚体体1重合合点相对对于刚体体1的的速度。则若S为刚体2对刚体体1的作作用力，So为为刚体2对刚体体1的作作用力矩矩

7、。则为了表示示方便常常用以下下表示方方法若S和S0在参考坐坐标系中中表示为为对于纯转转动或纯纯力h=0，对于移移动或纯纯力偶，h=为了便于于运算记记为又由式（2-3）可知知2.2.2螺螺旋运算算1.加法法设有两螺螺旋，两螺旋的的加法为为：螺旋的加加法满足足交换律律与结合合律。2.数乘乘设有螺旋旋螺旋的数数乘为螺旋的数数乘满足足分配律律与结合合律。3单位螺螺旋螺旋的的单位螺螺旋 2.2.3螺旋旋系及其其基本定定理1定义定义1设一非空空螺旋集集合，若若对任意意一个数数为螺旋系系。定 义2由的任意线线性组合合形成的的螺旋系系的展成螺螺旋系，记作 定 义3在在螺旋系系S中，若存在在个线性独独立的螺螺旋

8、，且S中中所有螺螺旋均是是这个螺螺旋的线线性组合合，则称称这个螺旋为为螺旋系系S的一一个基，螺旋系系一个基基的螺旋旋数目称为该螺螺旋系的的秩，记记作order(s)定 义4若若螺旋系系S的一一个非空空子集Si在螺旋加加法与数数乘下封封闭，则则Si为S的一一个子螺螺旋系。定义5Si, Sj是螺旋系系的两个子子螺旋系系的并为：两子螺旋旋系的交交为： 2 螺旋旋系串联联定理串联定理理：设刚刚体n由由个螺旋系系依次串串联到刚刚体0上上（图2-8），则刚刚体n与与刚体0之间的的相对运运动螺旋旋系为：2-12即，若有有，由由式（2-9）可知知3单单回路运运动链的的运动螺螺旋方程程故两构件件的相对对运动螺螺

9、旋。由由式（2-13）可知知，必有有2-14式（2-14）称为单单闭链运运动螺旋旋方程螺旋系并并联定理理并联定理理：设刚刚体n由由个螺旋系系并联到到刚体0上（图图2-9），则则刚体n与刚体体0之间间的相对对运动螺螺旋系为为：2-15螺旋系串串、并联联定理描描述了刚刚体之间间两种基基本联接接方式的的螺旋系系与各子子螺旋系系间的关关系2.2.4螺螺旋系的的线性相相关性1.螺旋旋系秩的的判定设有个螺旋，若存在在不全为为零的数数 ，使使,则这个螺旋线线线性相相关；否否则，这这个螺旋线线性无关关。设螺螺旋的Pliucker坐标标为，则个螺螺旋线线线性相关关可用下下列矩阵阵的秩判判定。(三维空空间中最最多

10、有6个线性性无关的的螺旋，二维空空间中最最多有三三个线性性无关的的螺旋）2.坐标标系与螺螺旋系相相关性分析表明明：螺旋旋系的相相关性与与坐标系系的选择择无关。因此，从坐标标系的选选择应方方便相关关性判定定。2.3串串联机构构运动输输出特征征方程2.3.1运动动副运动动输出特特征矩阵阵1.移动动副输出出特征矩矩阵在坐标系系O-xyz中中，构件件2与构构件1之之间的运运动螺旋旋矩阵为为2.转动动副输出出特征矩矩阵对图2-11之之R副，在坐标标系0-xyz中，构构件2与与构件1之间的的运动螺螺旋矩阵阵为3 螺旋旋副输出出特征矩矩阵2.3.2串联联机构运运动输出出特征方方程机构运动动过程的的相关性性判

11、定准准则相互平行行的两平平移必相相关，只只对应一一个独立立平移输输出。平行于同同一平面面的三个个平移必必相关，只对应应平行于于该平面面的两个个独立平平移输出出。但应应考虑到到平移的的三种形形式：P副平移移、R(H)副副的转动动衍生平平移和H副的轴轴向平移移。不平行于于同一平平面的四四个平移移必相关关，只对对应不平平行于该该平面的的三个独独立平移移输出。但应考考虑到平平移的三三种形式式：P副副平移、R(H)副的的转动衍衍生平移移和H副副的轴向向平移。相互平行行（重合合）的两两转动必必相关，只对应应一个独独立转动动输出。不同方向向的四个个转动必必相关，只对应应不平行行于同一一平面的的三个独独立转动

12、动输出。顺便说明明：若要要判定与与机构运运动位置置有关的的瞬时运运动相关关性，需需补充更更多的瞬瞬时运动动相关性性判据，因机构构拓扑结结构设计计只涉及及运动过过程相关关性，不不涉及瞬瞬时运动动相关性性问题，这里不不再重复复。式2-23中运运动相关关性判断断1）相应应于串联联机构输输出特征征矩阵的的某独立立运动输输出元素素，式（2-23）的的n个运运动副输输出特征征矩阵的的相同位位置n个个元素中中，至少少有一个个为独立立运动输输出元素素。2）相应应于串联联机构输输出矩阵阵的某常常量元素素，式（2-23）的的n个运运动副输输出特征征矩阵的的相同位位置n个个元素应应皆为常常量。3）串联联机构输输出特

13、征征矩阵有有6个元元素，每每一元素素对应一一个标量量方程。由特性性1易知知，Ms的s个独立元元素对应应的s个方程必必含有互互不相关关的运动动副独立立输出元元素，故故s个方程之之间互不不相关；又由特特性2易易知：Ms的的（6-s）个非独独立输出出元素对对应的（6-s）个方程程中，皆皆为运动动副的非非独立输输出元素素，即（6-s）个方程程与上述述个互不不相关方方程之间间皆存在在相关性性。因此此，的独独立输出出元素s亦是串联联机构运运动输出出特征方方程的秩秩s（简称为为串联机机构或单单开链的的秩），且有2-24式中-的的独立转转动输出出数-的独立立平移输输出数运动输出出特征矩矩阵运算算确定Ms的主要

14、要步骤Step1串联联机构结结构组成成的符号号表示Step2建立立坐标系系应使尽可可能多R副（H副）轴轴线通过过坐标系系原点，并注意意使运动动副轴线线平行于于坐标轴轴。Step3自机机架始，依次串串联机构构的各运运动副输输出特征征矩阵，并代入入运动输输出特征征方程。（式（2-23）。Step4自机机架始，依次标标定各运运动副输输出特征征矩阵的的独立输输出与非非独立输输出基于运动动相关性性，独立立运动输输出的标标定原则则为第i个运运动副为为P副时时（1）若若副平移移与第1（i-1）个运动动副的独独立平移移不相关关，则取取其为独独立输出出，记作作。（2）若若副平移移与第1（i-1）个运动动副的独独

15、立平移移相关，则为非非独立输输出，记记作；该该副输出出特征矩矩阵称称为无标标定矩阵阵，即不不含独立立输出的的特征矩矩阵。当第i个个运动副副为R副副时（1）若若副转动动副平移移与第1（i-1）个运动动副的独独立转动动不相关关，则取取其为独独立输出出，记作作，其转转动衍生平移移为非独独立输出出，记作作。（2）若若副转动动副平移移与第1（i-1）个运动动副的独独立转动动相关，该转动动为非独独立输出出，记作作；若其其转动衍生平平移与第第1（i-1）个运运动副的的独立平平移不相相关，则则取该衍衍生平移移为独立立输出，记作；否则，为非非独立输输出，记记作。（3）若若副的转转动与衍衍生平移移皆为非非独立输输

16、出，则则副输出出特征矩矩阵称为为无标定定矩阵。当第i个个运动副副为H副副时（1）若若副转动动副与第第1（i-1）个运运动副的的独立转转动不相相关，则则取其为为独立输输出，记记作，其其轴向平平移与转转动衍生生平移皆皆为非独独立输出出，记作作。（2）若若副转动动副与第第1（i-1）个运运动副的的独立转转动相关关，取轴轴向平移移为独立立输出，记作，而其转转动与转转动衍生生平移皆皆为非独独立输出出，分别别记为与与。（3）若若副转动动与轴向向平移皆皆为非独独立输出出，取转转动衍生生平移为为独立输输出，记记作；转转动与轴轴向平移移皆为非非独立输输出，分分别记作作与。（4）若若副的转转动、轴轴向平移移与转动

17、动衍生平平移皆为为非独立立输出，则副输输出特征征矩阵称称为无标标定矩阵阵。总之，标标定运动动副的独独立输出出是判定定相关性性的过程程，并将将运动副副输出特特征矩阵阵分为两两类：含含独立输输出的标标定矩阵阵和不含含独立输输出的无无标定矩矩阵。Step5确定定的独立立运动输输出基于已标标定运动动副输出出特征矩矩阵，可可得到的的独立运运动输出出类型：所有标定定运动副副输出特特征矩阵阵的独立立平移数数为的平平移维数数，其平平移方向向为所有有独立平平移的合合成。所有标定定运动副副输出特特征矩阵阵的独立立转动为为和独立立转动维维数，其其转动方方向为所所有独立立转动的的合成。Step6确定定的非独独立运动动

18、输出由Ms的的独立运运动输出出特性，易判定定非独立立输出是是常量或或非独立立变量。若是常常量，则则判定其其方位。Step7确定定串联机机构的秩秩，即s242举例例例1图2-13a所示示6R串串联机构构的结构构组成为为,依次次标定各各运动副副输出特特征矩阵阵的独立立输出，并代入入式（2-23），得得到例2图2-13b所示示 6R串联机机构的结结构组成成为，依依次标定定各运动动副输出出特征矩矩阵的独独立输出出，并代代入式（2-23），得到图2-14所示5H串联机构构组成为为依次标定定各运动动副输出出特征矩矩阵的独独立输出出，并代代入式（2-23），得到到运动副轴轴线配置置与输出出特征1.运动动副轴

19、线线恒重合合运动副轴轴线配置置与输出出特征2.运动动副轴线线恒平行行运动副轴轴线配置置与输出出特征3.运动动副轴线线恒共点点运动副轴轴线配置置与输出出特征4.运动动副轴线线恒共面面运动副轴轴线配置置与输出出特征5.运动动副轴线线恒垂直直2.5串串联机机构的拓拓扑综合合基于运动动输出特特征方程程（式（2-23）与不同同尺度类类型的输输出特性性，可进进行串联联机构的的拓朴综综合。即即已知单单开链的的秩s与活动度度F，求求单开链链的结构构组成（运动副副类型与与数目以以及运动动副轴线线方位的的配置类类型等）。本节讨论论只含R和P副副、且非非独立输输出皆为为常量的的单开链链拓朴结结构综合合，并分分为两类

20、类：f=s的非冗余余度单开开链拓朴朴结构综综合；fs的冗余度度单开链链拓朴结结构综合合。串联机构构的拓扑扑综合步步骤已知条件件：单开开链的秩秩与活动动度FStep1选选定单单开链的的运动输输出特征征矩阵由确定单单开链独独立转动动输出数数与独立立平移输输出数。Step2确定定运动副副类型与与数目R副数目目mR与与P副数数目mP应满足足F=mR+mP；mR的最最小值为为sr；mP的最最大值为为sp；由上述约约束条件件，可得得到运动动副类型型与数目目的多种种组合方方案。Step3确定定运动副副轴线方方位的配配置类型型轴线方位位配置基基本原则则：当mRsr且sr=1或2时，mR个R副应按按sr个方向线

21、线恒平行行（或重重合），以免出出现不需需要的独独立转动动输出。当mRsp时，应配配置若干干R副轴轴线恒共共点，以以免出现现不需要要的独立立衍生平平移输出出。当需要R副衍生生平移且且其方向向垂直于于R副轴轴线，应应配置若若干R副副轴线相相互平行行。当需要R副衍生生平移且且其方向向垂直于于R副轴轴线的矢矢径时，应配置置若干R副轴线线交于一一点，但但交点不不是坐标标系原点点。若mPsp=2，应应配置所所有P副副平行于于同一平平面。若需R副副衍生的的两个平平移与P副平移移共面（或R副副转动衍衍生的一一个平移移与两个个P副的的平移共共面），应配置置P副垂垂直于R副轴线线。Step4检验验运动输输出特征征

22、矩阵Ms对Step3得得到的单单开链拓拓朴结构构，确定定其运动动输出特特征矩阵阵，以检检验是否否满足选选定的Ms。若相应应于Ms的F=s+1的单开链链结构中中，包含含相应于于其他Ms*的的F*=s*+1的子单开开链，则则予以删删除。Step5绘出出机构简简图例1已知串联联机构秩秩s=3（sr=1，sp=2）、活动度度F=s=3及F=s+1=4，试试综合其其结构类类型。Step1选定定Step2确定定运动副副组合方方案对F=3，运动动副组合合方案：3R、2R1P与1R2P。对F=4，运动动副组合合方案：4R、3R1P、2R2P与1R3P。Step3确定定运动副副轴线方方位的配配置类型型对F=3的

23、3R、2R1P与与1R2P运动动副组合合方案，R副之之间只能能是恒平平行配置置，即其其结构组组成分别别为、与与。对F=4的4R、3R1P、2R2P与1R3P组合方方案，R副只能能为恒平平行配置置，即其其结构组组成分别别为、Step4检验验运动输输出特征征矩阵易知，Step3得到到的7种种单开链链都满足足选定的的。但应应注意到到：中，包含子子单开链链，该子子链的且且，应予予删除，但其他他单开链链结构类类型无此此特点。一般地地，该特特点可表表述为：相应于于输出特特征矩阵阵的F=的单开开链结构构中，若若包含相相应于其其他输出出特征矩矩阵的的的子单开开链，则则该类单单开链应应予删除除。Step5绘出出

24、机构简简图F=4的的串联机机构简图图如图2-20所示。F=3机构简简图从略略。、例2 已知串联联机构秩秩s=4（sr=sp=2）、活动度度F=s=4及F=s+1=5，试试综合其其结构类类型。Step1选定定Step2确定定运动副副组合方方案对F=4，运动动副组合合方案：4R、3R1P与2R2P。对F=5，运动动副组合合方案：5R、4R1P、3R2P与2R3P。Step3确定定运动副副轴线方方位的配配置类型型对F=4的4R、3R1P与与2R2P运动动副组合合方案，R副应应配置在在两不同同方向，其相应应单开链链结构组组成分别别为、与与。对F=5的5R、4R1P、3R2P与2R3P组合方方案，R副应

25、配配置在两两不同方方向，其其相应单单开链结结构组成成分别为为、与与Step4检检验运动动输出特特征矩阵阵由运动输输出特征征方程（式（2-23），易知，Step3得得到的7种单开开链的皆皆满足要要求。但但F=5的前3个单开开链分别别含有的的的子单单开链：、与；F=5的第4个单开开链含有有的的子子单开链链，皆应应删除之之。例3已知串联联机构秩秩s=5（sr=2，sp=3）及及活动度度F=s=5与F=s+1=6，试试综合其其结构类类型Step1选定定Step2确定定运动副副组合方方案对F=5，运动动副组合合方案：5R、4R1P、3R2P与2R3P。对F=6，运动动副组合合方案：6R、5R1P、4R2P、3R3P与与2R4P。Step3确定定运动副副轴线方方位的配配置类型型因=2，所有R副应配配置在两两不同方方向，并并考虑到到转动衍衍生平移移和P副副平移，应有3个独立立平移输输出。对F=5，相对对于4种种运动副副组合方方案的单单开链结结构组成成分别为为：、与。对F=6，相应应于其前前3种运运动副组组合方案案的单开开链结构构组成分分别为：、与、与。Step4检验验运动输输出特征征矩