三角函数公式大全及其推导方法

1、 16/16三角函数公式大全及其推导方法 三角函数公式大全及其推导 1. 三角函数的定义 由此，我们定义： 如Figure I, 在ABC 中 sin ( ) cos () tan ()11 cot () tan 11 sec () cos 11 csc () sin b c a c b a a b b a c a a c c b b c = = = =对边 的正弦值：斜边邻边的余弦值：斜边对边的正切值：邻边 邻边 的余切值：对边斜边 的正割值：邻边 斜边 的余割值：对边 备注：当用一个字母或希腊字母表示角时，可略写符号，但用三个子母表示时，不能省略。在本文中，我们只研究sin 、cos 、t

2、an 。 2. 额外的定义 222222sin (sin )cos (cos )tan (tan )= A c b C a B Figure I 3. 简便计算公式 22sin cos cos(90)cos sin sin(90) 111 tan tan tan(90)sin cos 1b A c c A b b a a A b = =-=-= -+= 证明： 222 22 22222901sin sin 1 sin cos 1ABC ABC a b c a b c c B A ?=+=+=+=+= 在中, 证完 222 222sin tan cos sin cos 1tan 1cos cos

3、 cos b b c a a c = +=+= 4. 任意三角形的面积公式 如Figure II , C a b h d e Figure II 1 21 sin 21 sin ()2 ABC S ah ab C ac B ?=两边和其夹角正弦的乘积 5. 余弦定理：任意三角形一角的余弦等于两邻边的平方和减对边的平方之差与两邻边积的两倍之比。 证明： 如Figure II, 222 22 22222222222222222 (cos )(sin )2cos cos sin =2cos (cos sin )2cos cos 22b d h a c B c B a ac B c B c B a a

4、c B c B B a c ac B b a c a c b B ac ac =+=-+=-+-+=+-?= - 证完 6. 海伦公式 证明： 如Figure II , 1 sin 2 1 2 1 21212ABC S ab C ?= = = 2 ABC a b c s S ?=+=设： 7. 正弦定理 如 Figure III , c 为ABC 外接圆的直径, sin 2 sin a A c a c r r ABC A = =? （为的外接圆半径） 同理： , sin sin 2sin sin sin b c c c B C a b c r A B C = = = Figure III 8.

5、 加法定理 (1) 两角差的余弦 如 Figure IV , AOC BOC AOB =- 令AO=BO=r 点A 的横坐标为cos A x r = 点A 的纵坐标为sin A y r = 点B 的横坐标为cos B x r = 点B 的纵坐标为sin B y r = ()() ()() ()()2 2 22 2 222222222222222222222sin sin cos cos sin sin 2sin sin cos cos 2cos cos sin sin 2sin sin cos cos 2cos cos sin cos sin cos 2sin sin 2cos cos 112

6、s A B A B AB y y x x r r r r r r r r r r r r r =-+-=-+-=+-+-=+-+-=+-=+-()()()22in sin cos cos 22sin sin cos cos 21sin sin cos cos r r +?=-+?=-+? ? Figure IV 由余弦公式可得： ()()()()2222222222cos 2cos 22cos 22cos 21cos AB AC BC AC BC ACB r r r r r r r r =+-?=+?-=+-=-?=-? 综上得：()cos sin sin cos cos -=+ (2) 两角

7、和的余弦 ()()()() cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos cos cos sin sin +=-? =-+-=-+=- (3) 两角和的正弦 ()()()()()sin cos 90cos 90sin 90sin cos 90cos cos sin sin cos +=?-+? =?-? =?-+?-=+ (4) 两角差的正弦 ()()()() sin sin cos sin sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin -=+-? =-+-=-+=- (5) 两角和的正切 ()()() sin tan cos

8、 cos sin sin cos cos cos sin sin cos sin sin cos cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin 1cos cos tan tan 1tan tan += += -+= + = - += - (6) 两角差的正切 ()()() ()tan tan tan tan 1tan tan tan tan 1tan tan -=+-? +-= + 9. 两倍角公式 ()() ()() ()()() 22222222 2222sin 2sin sin cos sin cos 2sin cos cos 2cos cos cos

9、sin sin cos sin 12sin 2cos 1 sin 2tan 2cos 22sin cos cos sin 2sin cos cos cos sin cos 2sin cos sin 1cos 2tan 1ta =+=+=+=-=-=-=-= =-=-=- = -2n 10. 积化和差公式 ()()()()1 sin cos 2sin cos 21 sin cos sin cos cos sin cos sin 21sin sin 2 = =+-=+-? ()()()()() ()()()1 cos cos 2cos cos 21 cos cos cos cos sin sin

10、sin sin 21cos cos 21 sin sin 2sin sin 21 sin sin sin sin cos cos cos cos 21cos cos 2= =+-=+-? ?=+-=+-? ? 11. 和差化积公式 (1) 设：A=+, B=-, ()() ()() sin sin sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin 2sin cos 2sin cos 222sin cos 22sin sin sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin 2cos si A B A B A B A B +=+-=+-

11、=+-+-?= ? ? ? +-?= ? ? ? -=+-=+-+=n 2cos sin 222cos sin 22A B A B +-+-+?= ? ? ? +-?= ? ? ? (2) 设：cos sin = = 22cos sin 1+= ( )() sin sin cos cos sin sin cos sin sin b a +=+=+ 12. 其他常用公式 ()()()()()()()()()()()()()()000sin 360sin cos 360cos tan 360tan sin 90cos cos 90sin 1tan 90tan sin 90cos cos 90sin

12、 1tan 90tan sin 90cos cos 90sin 1tan 90tan sin 180sin cos 180cos n n n +?=+?=+?=?-=?-=?-=?+=?+=-?+=-?=-?=-?=-?-=?-=-()()()()()()()()tan 180tan sin 180sin cos 180cos tan 180tan sin sin cos cos tan tan tan 2190 1cos 1cos 11sin 1sin 1n ?-=-?=-?=-?=-=-=-=-+?-?-?不存在 在计算机中，三角函数的算法是这样的，其中x 用弧度计算 ()()135721

13、 02460sin 1!3!5!7!21!cos 0!2!4!6!2! n n n n x x x x x x n x x x x x x n +=-+-+=+=-+-+= 推导公式：(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R(其中，R为外接圆半径) 由正弦定理有 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 所以 a=2R*sinA b=2R*sinB c=2R*sinC 加起来a+b+c=2R*(sinA+sinB+sinC)带入 (a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R*(sinA+sinB+sinC)/(sinA+sinB+sinC)=2R 两角和公式 si

14、n(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA 对数的性质及推导 用表示乘方，用log(a)(b)表示以a为底，b的对数

15、 *表示乘号，/表示除号 定义式： 若an=b(a0且a1) 则n=log(a)(b) 基本性质： 1.a(log(a)(b)=b 2.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); 3.log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N); 4.log(a)(Mn)=nlog(a)(M) 推导 1.这个就不用推了吧，直接由定义式可得(把定义式中的n=log(a)(b)带入an=b) 2. MN=M*N 由基本性质1(换掉M和N) alog(a)(MN)=alog(a)(M)*alog(a)(N) 由指数的性质 alog(a)(MN)=alog(a)(M)+log(a

16、)(N) 又因为指数函数是单调函数，所以 log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N) 3.与2类似处理 MN=M/N 由基本性质1(换掉M和N) alog(a)(M/N)=alog(a)(M)/alog(a)(N) 由指数的性质 alog(a)(M/N)=alog(a)(M)-log(a)(N) 又因为指数函数是单调函数，所以 4.与2类似处理 Mn=Mn 由基本性质1(换掉M) alog(a)(Mn)=alog(a)(M)n 由指数的性质 alog(a)(Mn)=alog(a)(M)*n 又因为指数函数是单调函数，所以 log(a)(Mn)=nlog(a)(M) 其他性质：

17、 性质一：换底公式 log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a) 推导如下 N=alog(a)(N) a=blog(b)(a) 综合两式可得 N=blog(b)(a)log(a)(N)=blog(a)(N)*log(b)(a) 又因为N=blog(b)(N) 所以 blog(b)(N)=blog(a)(N)*log(b)(a) 所以 log(b)(N)=log(a)(N)*log(b)(a)这步不明白或有疑问看上面的 所以log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a) 性质二：（不知道什么名字） 推导如下 由换底公式lnx是log(e)(x),e称作自然对数的底 lo

18、g(an)(bm)=ln(an)/ln(bn) 由基本性质4可得 log(an)(bm)=n*ln(a)/m*ln(b)=(m/n)*ln(a)/ln(b) 再由换底公式 log(an)(bm)=m/n*log(a)(b) （性质及推导完） 公式三: log(a)(b)=1/log(b)(a) 证明如下: 由换底公式log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a)取以b为底的对数,log(b)(b)=1 =1/log(b)(a) 还可变形得: log(a)(b)*log(b)(a)=1 平方关系： sin2()+cos2()=1 tan2()+1=sec2() cot2()+1=cs

19、c2() 商的关系： tan=sin/coscot=cos/sin 倒数关系： tancot=1 sincsc=1 cossec=1 万能公式： sin=2tan(/2)/1+tan2(/2) cos=1-tan2(/2)/1+tan2(/2) tan=2tan(/2)/1-tan2(/2) 常用的诱导公式有以下几组： 公式一： 设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2k）sin cos（2k）cos tan（2k）tan cot（2k）cot 公式二： 设为任意角，+的三角函数值与的三角函数值之间的关系：sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）co

20、t 公式三： 任意角与-的三角函数值之间的关系： sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式四： 利用公式二和公式三可以得到-与的三角函数值之间的关系：sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2-与的三角函数值之间的关系：sin（2）sin cos（2）cos tan（2）tan cot（2）cot 公式六： /2及3/2与的三角函数值之间的关系： sin（/2）cos cos（/2）sin tan（/2）cot cot（/2）tan sin（/2）cos cos（/2）sin tan（/2）

21、cot cot（/2）tan sin（3/2）cos cos（3/2）sin tan（3/2）cot cot（3/2）tan sin（3/2）cos cos（3/2）sin tan（3/2）cot cot（3/2）tan (以上kZ) 一般的最常用公式有: Sin(A+B)=SinA*CosB+SinB*CosA Sin(A-B)=SinA*CosB-SinB*CosA Cos(A+B)=CosA*CosB-SinA*SinB Cos(A-B)=CosA*CosB+SinA*SinB Tan(A+B)=(TanA+TanB)/(1-TanA*TanB) Tan(A-B)=(TanA-TanB)

22、/(1+TanA*TanB) 平方关系： sin2()+cos2()=1 tan2()+1=sec2() cot2()+1=csc2() 积的关系： sin=tan*cos cos=cot*sin tan=sin*sec cot=cos*csc sec=tan*csc csc=sec*cot 倒数关系： tancot=1 sincsc=1 cossec=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, 三角函数恒等变形公式 两角和与差的三角函数： cos(+)=coscos-sinsin cos(-)=coscos+sinsin s

23、in()=sincoscossin tan(+)=(tan+tan)/(1-tantan) tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan) 辅助角公式： Asin+Bcos=(A2+B2)(1/2)sin(+t)，其中 sint=B/(A2+B2)(1/2) cost=A/(A2+B2)(1/2) 倍角公式： sin(2)=2sincos=2/(tan+cot) cos(2)=cos2()-sin2()=2cos2()-1=1-2sin2() tan(2)=2tan/1-tan2() 三倍角公式： sin(3)=3sin-4sin3() cos(3)=4cos3()-3cos 半角公式

24、： sin(/2)=(1-cos)/2) cos(/2)=(1+cos)/2) tan(/2)=(1-cos)/(1+cos)=sin/(1+cos)=(1-cos)/sin降幂公式 sin2()=(1-cos(2)/2=versin(2)/2 cos2()=(1+cos(2)/2=vercos(2)/2 tan2()=(1-cos(2)/(1+cos(2) 万能公式： sin=2tan(/2)/1+tan2(/2) cos=1-tan2(/2)/1+tan2(/2) tan=2tan(/2)/1-tan2(/2) 积化和差公式： sincos=(1/2)sin(+)+sin(-) cossi

25、n=(1/2)sin(+)-sin(-) coscos=(1/2)cos(+)+cos(-) sinsin=-(1/2)cos(+)-cos(-) 和差化积公式： sin+sin=2sin(+)/2cos(-)/2 sin-sin=2cos(+)/2sin(-)/2 cos+cos=2cos(+)/2cos(-)/2 cos-cos=-2sin(+)/2sin(-)/2 其他： sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)+sin+2*( n-1)/n=0 cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)+cos+2*( n-1)/n=0

26、以及 sin2()+sin2(-2/3)+sin2(+2/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 部分高等内容 高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)： sinx=e(ix)-e(-ix)/(2i) cosx=e(ix)+e(-ix)/2 tanx=e(ix)-e(-ix)/ie(ix)+ie(-ix) 泰勒展开有无穷级数，ez=exp(z)1z/1！z2/2！z3/3！z4/4！zn/n！ 此时三角函数定义域已推广至整个复数集。 三角函数作为微分方程的解： 对于微分方程组y=-y;y=y，有通解Q,可证明 Q=Asinx+Bcosx，

27、因此也可以从此出发定义三角函数。 补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。 特殊三角函数值 a030456090 sina01/22/23/21 cosa13/22/21/20 tana03/313None cotaNone313/30 三角函数的计算 幂级数 c0+c1x+c2x2+.+cnxn+.=cnxn(n=0.) c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+.+cn(x-a)n+.=cn(x-a)n(n=0.) 它们的各项都是正整数幂的幂函数,其中c0,c1,c2,http:/./doc/65eeec3ab9f3f90f7

28、7c61bd8.html .及a都是常数,这种级数称为幂级数. 泰勒展开式(幂级数展开法): f(x)=f(a)+f(a)/1!*(x-a)+f(a)/2!*(x-a)2+.f(n)(a)/n!*(x-a)n+. 实用幂级数： ex=1+x+x2/2!+x3/3!+.+xn/n!+. ln(1+x)=x-x2/3+x3/3-.(-1)k-1*xk/k+.(|x|1) sinx=x-x3/3!+x5/5!-.(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+.(-x) cosx=1-x2/2!+x4/4!-.(-1)k*x2k/(2k)!+.(-x) arcsinx=x+1/2*x3/3+1*3/(2

29、*4)*x5/5+.(|x|1) arccosx=-(x+1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5+.)(|x|1) arctanx=x-x3/3+x5/5-.(x1) sinhx=x+x3/3!+x5/5!+.(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+.(-x) coshx=1+x2/2!+x4/4!+.(-1)k*x2k/(2k)!+.(-x) arcsinhx=x-1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5-.(|x|1) arctanhx=x+x3/3+x5/5+.(|x|1) 傅立叶级数(三角级数) f(x)=a0/2+(n=0.)(ancosnx+bnsinnx) a0

30、=1/(.-)(f(x)dx an=1/(.-)(f(x)cosnx)dx bn=1/(.-)(f(x)sinnx)dx 注意：正切也可以表示为“Tg”如：TanA=TgA Sin2a=2SinaCosa Cos2a=Cosa2-Sina2 =1-2Sina2 =2Cosa2-1 Tan2a=2Tana/1-Tana2 众所周知,在数学和物理中,三角函数是一个重要的工具,以下是一些推导公式,希望对大家有作用 平方关系： sin2()+cos2()=1 cos2a=(1+cos2a)/2 tan2()+1=sec2() sin2a=(1-cos2a)/2 cot2()+1=csc2() 积的关系

31、： sin=tan*cos cos=cot*sin tan=sin*sec cot=cos*csc sec=tan*csc csc=sec*cot 倒数关系： tancot=1 sincsc=1 cossec=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, 三角函数恒等变形公式 两角和与差的三角函数： cos(+)=coscos-sinsin cos(-)=coscos+sinsin sin()=sincoscossin tan(+)=(tan+tan)/(1-tantan) tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan)

32、 三角和的三角函数： sin(+)=sincoscos+cossincos+coscossin-sinsinsin cos(+)=coscoscos-cossinsin-sincossin-sinsincos tan(+)=(tan+tan+tan-tantantan)/(1-tantan-tantan-tantan)辅助角公式： Asin+Bcos=(A2+B2)(1/2)sin(+t)，其中 sint=B/(A2+B2)(1/2) cost=A/(A2+B2)(1/2) tant=B/A Asin+Bcos=(A2+B2)(1/2)cos(-t)，tant=A/B 倍角公式： sin(2)

33、=2sincos=2/(tan+cot) cos(2)=cos2()-sin2()=2cos2()-1=1-2sin2() tan(2)=2tan/*1-tan2()+ 三倍角公式： sin(3)=3sin-4sin3() cos(3)=4cos3()-3cos 半角公式： sin(/2)=(1-cos)/2) cos(/2)=(1+cos)/2) tan(/2)=(1-cos)/(1+cos)=sin/(1+cos)=(1-cos)/sin降幂公式 sin2()=(1-cos(2)/2=versin(2)/2 cos2()=(1+cos(2)/2=covers(2)/2 tan2()=(1-

34、cos(2)/(1+cos(2) 万能公式： sin=2tan(/2)/*1+tan2(/2)+ cos=*1-tan2(/2)+/*1+tan2(/2)+ tan=2tan(/2)/*1-tan2(/2)+ 积化和差公式： sincos=(1/2)*sin(+)+sin(-)+ cossin=(1/2)*sin(+)-sin(-)+ coscos=(1/2)*cos(+)+cos(-)+ si nsin=-(1/2)*cos(+)-cos(-)+ 和差化积公式： sin+sin=2sin*(+)/2+cos*(-)/2+ sin-sin=2cos*(+)/2+sin*(-)/2+ cos+cos=2cos*(+)/2+cos*(-)/2+ cos-cos=-2sin*(+)/2+sin*(-)/2+ 推导公式 tan+cot=2/sin2 tan-cot=-2cot2 1+cos2=2cos2 1-cos2=2sin2 1+sin=(sin/2+cos/2)2 其他： sin+sin(+2