邱枝枝《用字母表示数》教学实践记录

1、用字母表示数教学实践不确定（未知）情况可用字母表示.表征对象从确定到不确定任务一.我示南下同中币的枚flt内有，枚硬币 内育 （ ，枚希( 收硬币（如上图）出示问题情境，学生尝试表达，然后依次呈现出一些典型表征方式。师：（提出关键问题）老师看了同学们的作业后，发现前两幅图大家表示一致: 3和5,而第三幅存钱罐的表示却不同，这是为什么？生：前面的硬币个数确定，是3和5；存钱罐里的是未知、不确定的。师：看来同学们都认为前两幅图的硬币个数是确定的，可用数表示；而存钱罐的 硬币个数无法确定，是未知的，所以大家的表示方法就各不相同。.聚焦未知表征的比照师：（提出关键问题）存钱罐里用“8” “未知”“x”

2、这三种方法，你欣赏哪一种，为 什么？生：我喜欢第二种，“8”只表示了一种，而用文字写的意思很明白。生：我选第三种，“8”表示一种，但还有很多可能，用文字写较麻烦，字母较为 简单。生：我也选第三种，“8”是确定的，而存钱罐里的钱是未知的、不确定的，字 母可以表示多种情况，又简洁。师：通过讨论可知，确定的情况用数表示，不确定的情况可用字母表示。反思:用字母表示未知量,人教版教材没这个环节，之所以安排，是因为历史发生原 理指出，学生应经历“记数f未知f一类”这三个步骤。更为重要的是，从记数 到未知的过渡，其关键是表示的对象发生变化，即从“确定”到“不确定”，随之表 示的意义也发生变化。确定情况用数来

3、表示，学生已积累较为丰富的经验，但 对“不确定情况怎么表示？为什么用字母表示比拟好？ ”等问题知之甚少。实践中 用两个比照，让学生思辨其内在原理。比照一：通过圈内确定的硬币数与存钱罐内不确定的硬币数比照。不确定情况下,再用“具体的数”表示，就有其缺乏之 处，即具体数只能表示出一种具体情况，所以要选用其他的方 法；比照二：“未 知表征”形式的比照。通过比拟发现，具体数、文字、字母三种典型的表征方式， 每一种都有其优缺点，其中字母因为简洁、又具有不确定性，用来表示未知、不确定情况为合理。不确定情况为合理。字母表示一个集合中的任意情况.具体与抽象的比照师：刚才大家认为，存钱罐里的1元硬币数是未知的、

4、多种情况的，所以用字母 来表示，x可以是0个，也能是1个、2个.，最多是200个。（指这个 存钱罐最多放的1元硬币数）那用1与x表示存钱罐里的硬币数有什么不同 呢？生：1只能表示一种情况，X能表示存钱罐里所有可能硬币数中的任意一种情 况，如0200中的任意一个数。.特殊与一般的比照小红的每依/岁爸爸的穹3/多a+32 a+ 32= 1+32 a*32= 2*32 a+32= 3*32 32= 4+32a+32（如上图）师：4与a都可表示小红的年龄，4与a有什么不同？生：4只表示一年的年龄，a表示任何一年的年龄，也就是从出生到死亡的任 何一个年龄。师：4+32与a+32都可表示爸 爸的年龄，这两

5、个又有什么区别？生：4+32只表示爸爸36岁一年的年龄，a+32那么可以表示32岁以上的任 何一年年龄。反思：从字母表示数意义的“未知量”阶段过渡到“一类量”阶段，其主要的问题是表示“对象”的意义发生“质变”“对象”的意义发生“质变”“对象”的意义发生“质变”,即从特定量（特殊）到变:般）。数只能表示一个特定的情况，字母不仅能表示特定一种情况,还能表示一个集合中任意一 个值的量。这是两者的本质区别，也是字母表示数的优势所在，即能一般化的“对象”的意义发生“质变”,即从特定量（特殊）到变:般）。数只能表示表示一类量。它是从算术思维过渡到代数思维“质”的飞跃的重要标志。在教学 中，让学生经历两次具

6、体数”与“字母”的比照思辨，从而理解字母是表示一个 集合中的任意一个数。实践中，学生对字母表示未知量“X”意义的理解处在不同 的水平层次。经过比照、思辨、交流等数学活动，促使学生对字母表示数的意 义理解从低水平层次向高水平层次转变，较为深刻的理解字母表示变量的意义， 也进一步体会到字母表示数的优越性。也为用字母式表示具体情境中的数量关 系（变量），及辩论“4+ 32”与“a+ 32”的不同，铺垫了理解的基础。字母式既表示关系又表示数.重构“二”意义，感悟“式”表示数爸爸比小红大32岁小红的年龄/岁爸爸的年龄/岁 TOC o 1-5 h z 11+32=3322+32=3433+32=35（如上

7、图）师：这些算式中表示的是什么意思？生：小红年龄+32等于爸爸的年龄。师：左边的1+32与右边爸爸的年龄33是相等的。那“1+32”算式可以表示爸 爸的岁数吗？生：可以表示，因为左右相等。师：那你喜欢用1+32还是喜欢用33来表示爸爸的年龄呢？生：我喜欢33,因为它很清晰。生：1+32,能看出爸爸的年 龄，还知道比小红大32。.迁移比拟，感悟“字母式”表示数小红的年龄贾老师的年龄aa+28a+28 比 a大 28。a比 a 128 小 28。（如上图）师：看数学信息，知道了什么？生：贾老师比小红大28岁。师：你是怎么知道的？生：a+28,是用小红年龄a加28得到的。师：这么说，a+28不仅表示

8、贾老师的年龄，还表示贾老师与小红年龄间的大 小关系。那刚才的a+32又表示了什么呢？生：a+32不仅表示了爸爸的年龄，还可看出爸爸比小红大32岁这个关系。师：根据刚才的经验，想一想“（a+32） +30”会是谁的年龄？生：爷爷岁数，a+32是爸爸年龄，爷爷比爸爸还要大30岁。生：只要比爸爸（a+32）大30岁的人都有可能。师：（a+32） +30表示了什么意思？生：表示比爸爸大30岁的岁数，又表示比爸爸大30岁的关系。反思:能理解字母式既能表示关系（过程），又能表示对象（结果）是理解字母表示一类量意义的重要的标志。在代数中，如字母 式a+32 ,既表示a与32相加这 一个过程操作，又表示为对象

9、、结构，即a+32的结果就是a+32o然而正是这 种既表示过程又表示对象的“二重性”特征，给学生造成了主要的理解障碍。它之 所以难，不仅仅是因为它本身具有的抽象性，还在于对它的建构，要抵抗已有 知识经验的强烈负迁移。因为“式”（如2+32 ）算术中，具有操作性的、表示 过程的，目的是求结果，学生潜意识中要把2+ 32计算为34 ;而在代数运算中 是结构性的，是形式变换，关注结构，注重关系，此时的“式”除了表达过程外， 更多是关系结构的形式化。为突破，先重构“二”意义，铺垫理解基础。Booth 提出“如果学生不能理解两个集合（假定分别含有5个和8个）物件的总数可 以写成5+8 ,那么要他们理解a+ b表示了两个集合（分别含有a个和b个）物 件的总数就更不可能了。”然要改造学生已有的经 验，要结合“二”意义重构一起 进行，因为“越”在算术中，代表运算得到结果，是具有方向性、程序性的。而在代数中，“二”代表一种等价关系，因此“二”左右两边需有同样的大小，没有 方向性，具有结构性。先认识到33与1垣32是等价的，都能表示爸爸的年龄， 且1+32还能看出与小红的关系，有了这样的理解基础，迁移到a+ 32表示爸 爸的年龄就简单多了。为突破，再类比推理，思辨说理中加深理解。从a+