控制工程基础第04章

1、4.4 利用根轨迹分析系统性能利用根轨迹，可以定性分析当系统某一参数变化时系统动态性能的变化趋势，在给定该参数值时可以确定相应的闭环极点，再加上闭环零点，可得到相应零、极点形式的闭环传递函数。本节讨论如何利用根轨迹分析、估算系统性能，同时分析附加开环零、极点对根轨迹及系统性能的影响。4.4.1 利用闭环主导极点估算系统的性能指标如果高阶系统闭环极点满足具有闭环主导极点的分布规律，就可以忽略非主导极点及偶极子的影响，把高阶系统简化为阶数较低的系统，近似估算系统性能指标。例4-10 已知单位反馈系统的开环传递函数为试用根轨迹法确定系统在稳定欠阻尼状态下的开环增益的范围，并计算阻尼比的值以及相应的闭

2、环极点，估算此时系统的动态性能指标。解 将开环传递函数写成零、极点形式，得式中，为根轨迹增益。 将开环零、极点在s平面上标出； ，有三条根轨迹分支，三条根轨迹均趋向于无穷远处； 实轴上的根轨迹区段为：，； 渐近线： 分离点： 整理得 解得 显然分离点为 ，由幅值条件可求得分离点处的值： 与虚轴的交点：闭环特征方程式为 令 解得 系统根轨迹如图4-16所示。 从根轨迹图上可以看出稳定欠阻尼状态的根轨迹增益的范围为，相应开环增益范围为。为了确定满足阻尼比条件时系统的3个闭环极点，首先做出的等阻尼线OA，它与负实轴夹角为如图4-16所示。等阻尼线OA与根轨迹的交点即为相应的闭环极点，可设相应两个复数

3、闭环极点分别为闭环特征方程式为 比较系数有 解得 故时的值以及相应的闭环极点为 ，在所求得的3个闭环极点中，至虚轴的距离与（或）至虚轴的距离之比为（倍）可见，、是系统的主导闭环极点。于是，可由、所构成的二阶系统来估算原三阶系统的动态性能指标。原系统闭环增益为1，因此相应的二阶系统闭环传递函数为将代入公式得 s原系统为型系统，系统的静态速度误差系数计算为系统在单位斜坡信号作用下的稳态误差为例4-11控制系统结构图如图4-17(a)所示，试绘制系统根轨迹，并确定时系统的开环增益值及对应的闭环传递函数。解 开环传递函数为 根据法则，系统有2条根轨迹分支，均趋于无穷远处。 实轴上的根轨迹： 分离点：

4、解之得 系统根轨迹如图4-18所示。 当时，。作直线与根轨迹交点坐标为 闭环传递函数为 注意：本题中由于开环传递函数中出现了零、极点对消现象，两条根轨迹反映的只是随根轨迹增益变化的两个闭环特征根。这时应导出，补回由于零、极点对消而丢失的闭环零、极点，然后再计算系统动态性能指标。4.4.2 开环零、极点分布对系统性能的影响开环零、极点的分布决定着系统根轨迹的形状。如果系统的性能不尽人意，可以通过调整控制器的结构和参数，改变相应的开环零、极点的分布，调整根轨迹的形状，改善系统的性能。增加开环零点对根轨迹的影响例4-12 三个单位反馈系统的开环传递函数分别为 试分别绘制三个系统的根轨迹。解 三个系统

5、的零、极点分布及根轨迹分别如图4-19(a), (b), (c)所示。 从图4-19中可以看出，增加一个开环零点使系统的根轨迹向左偏移。提高了系统的稳定度，有利于改善系统的动态性能，而且，开环负实零点离虚轴越近，这种作用越显著；若增加的开环零点和某个极点重合或距离很近时，构成偶极子，则二者作用相互抵消。因此，可以通过加入开环零点的方法，抵消有损于系统性能的极点。增加开环极点对根轨迹的影响例4-13 三个单位反馈系统的开环传递函数分别为，试分别绘制三个系统的根轨迹。解 三个系统的零、极点分布及根轨迹分别如图4-20(a)，(b)， (c)所示。从图4-20中可以看出，增加一个开环极点使系统的根轨迹向右偏移。这样，降低了系统的稳定度，不利于改善系统的动态性能，而且，开环负实极点离虚轴越近，这种作用越显著。例4-14 三个系统的开环传递函数分别为 试分别绘制三个系统的根轨迹。解 三个系统的零、极点分布及根轨迹分别如图4-21(a),，(b)， (c)所示。从图4-21（b）中可以看出，当 时，增加的开环零点靠近虚轴，起主导作用。此时，零点矢量幅角大于极点矢量幅角，即（）。这对零、极点为原开环传递函数附加超前角，相当于附加开环零点的作用，使根轨迹向左偏移，改