《大学物理》6刚体-课件

1、第三章 刚体的定轴转动3.1 刚体的运动 3.2 刚体定轴转动定律 3.3 转动惯量的计算 3.4 刚体定轴转动定律的应用 3.5 转动中的功和能 3.6 刚体的角动量和角动量守恒定律卡尔文森号第三章 刚体的定轴转动3.1 刚体的运动 3.2 刚体定轴刚体：在任何情况下都不发生变形的物体。 刚体运动的基本形式：平动：刚体中任意两点的连线在运动中始终 保持彼此平行。3.1 刚体运动的描述 oooo转动：刚体围绕某一固定直线作圆周运动。刚体质点间的相对运动只能是绕某一轴转动（rotation）的结果。 刚体的一般运动 = 转动 + 平动 一、刚体的平动刚体：在任何情况下都不发生变形的物体。 刚体运

2、动的定轴转动：刚体绕一 固定不动轴转动。转动平面Mr参考方向X00v转动平面：垂直于转动轴所作的平面二、刚体的定轴转动定轴转动：刚体绕一 固定不动轴转动。转动平面Mr参考方向X角速度矢量转动平面Mr参考方向X00vvr角速度矢量转动平面Mr参考方向X00vvr旋转加速度向轴加速度MrX00v 定轴转动： 退化为代数量，刚体上任意点都绕同一轴作圆周运动，且， 都相同。旋转加速度向轴加速度MrX00v 定轴转动： Msin=Fr 一、力矩3.2 刚体定轴转动定律 1. 力在转动平面内=F rtFrdMFtMrF Msin=Fr 一、力矩3.2 刚体定轴转动定律 只能引起轴的2. 力不在转动平面内F

3、M=rF=12rF)(+Fr转动平面变形，对转动无贡献。F1rF+=21rrFFF21 在定轴动问题中，如不加说明，所指的力 矩是指力在转动平面内的分力对转轴的力矩。 只能引起轴的2. 力不在转动平面内FM=rF=12rF) 3. 多个力作用的情形F1F2F3r3r2r1123 3. 多个力作用的情形F1F2F3r3r2r1100二、转动定律rimii对m质点应用牛顿第二定律：iF外力if内力Fiifii 00二、转动定律rimii对m质点应用牛顿第二定律：i00rimi对运动状态（转动）改变没有影响刚体上各点都有这样的运动方程，应把所有方程迭加才是刚体整体运动规律，但应切向力分别作用于各个质

4、点上，且方向各不相同，因而求代数和没有意义令：00rimi对运动状态（转动）刚体上各点都有这样的运动方转动定律：讨论： 4. J 和转轴有关，同一个物体对不同转轴的转动惯量不同。 3. J 和质量分布有关。 2. M 的符号：使刚体向规定的转动正方向加速的力矩为正。惯性大小的量度。M=Jddt=J转动惯量是转动1. M 一定，J转动定律：讨论： 4. J 和转轴有关，同一个物体对不同转3.3 转动惯量的计算 J由质量对轴的分布决定。dmrmrJ=m2c5. 回转半径：假想将物体的质量集中在半径为 rc 的细圆环上，而保持转动惯量不变，称这圆环半径为物体的回转半径。即任何物体的转动惯量为：3.3

5、 转动惯量的计算 J由质量对轴的分布决定。dmrmrJ例：如图系统的转动惯量，轻杆质量忽略R1R2m2m1R2R1m1m2例：如图系统的转动惯量，轻杆质量忽略R1R2m2m1R2R1 例 均质细圆环的转动惯量。=mR2J2=Rdm2=RdmRm00(1)、(2)、XYRrdmdm=m/(2R)Rd dJ=r dm2 例 均质细圆环的转动惯量。=mR2J2=Rdm2 例 质量为m，半径为R 的均质圆盘的转动惯量。R=m2dJ2=rdmm22R1=RmdSrdrdrdrddm=dS=3rdrd=J0rdrR302 d方法一、 例 质量为m，半径为R 的均质圆盘的R=m2d方法二、dm=2rdrR=

6、m2dJ2=rdm32rdrm22R1Rm=J0rdr2R3rdJR思考球体、锥体绕轴转动的转动惯量方法二、dm=2rdrR=m2dJ2=rdm32 例 质量为m,长度为 L 的均质细杆的转动惯量。dmdmdJ2=xLm=dxxdxL2=mJ00L112Lm22=xmLL0dx13Lm=2=JCxdxCAml2l2 例 质量为m,长度为 L 的均质细杆的转动惯量。dmd1. 对同一轴J具有可叠加性Jmrziii=D2J =Ji 2. 平行轴定理Jmroiii=D2平行CdmJCJomOCr iii+D2()OCxJJm dc=+2 计算 J 的几条规律1. 对同一轴J具有可叠加性Jmrziii

7、=D2J =J 3. 对薄平板刚体的正交轴定理Jmrzii=D2 例：已知圆盘JmR z=122求对圆盘的一条直径的Jx （或 J y）。由JJJJJJJmRzyxxyxy=+=142即 JJJxy=+ y rix z yi xi mi yx z R C mimxmyiiii=+DD22 3. 对薄平板刚体的正交轴定理Jmrzii=D2 例. 计算钟摆的转动惯量。（已知：摆锤质量为m，半径为r，摆杆质量也为m，长度为2r）ro解：摆杆转动惯量：摆锤转动惯量：例. 计算钟摆的转动惯量。（已知：摆锤质量为m，半径为r，摆已知：R =0.2m，m =1kg，vo=0， h =1.5m，绳轮无相对滑动

8、，绳不可伸长，下落时间 t =3s。求：轮对O轴J=？3.4 转动定律应用举例 定轴ORthmv0=0绳TGRNmgT = - T ma对轮：TRJ= (1), 对 ：m mgTma-= (2) 解：动力学关系： 已知：R =0.2m，m =1kg，vo=0， h运动学关系：=aR(3)hat=122(4)(1)(4)联立解得：JgthmR=-()2221=- =(.).9832151102114222kgm分析：单位对；1.、一定，合理；2.hmJt若，得，正确。30122.Jhgt=TRJ= (1) mgTma-= (2) 运动学关系：=aR(3)hat=122(4)(1)(4) 例： 飞

9、轮的质量为60kg，直径为0.50m，转速为1000rmin，现要求在 5s内使其制动，求制动力 F ,假定闸瓦与飞轮之间的摩擦系数= 0.4，飞轮的质量全部分布在轮的外周上。尺寸如图所示。 Fd闸瓦0.5m0.75m 例： 飞轮的质量为60kg，直径为0.50m，Fd闸瓦0=3.75kg.m20t=100060n=202=104.7 r/s5t=0fNFNfl1l2RJm2=60(0.25)2 解：104.720.9 r/s250t=0l1+=()Fl2Nl10=RJfm=NRl1=Fl1+l2mRJ=314Nm=NRJ=3.75kg.m20t=100060n=202=J122mrTgm22

10、=m2a1ma1TT2+m1TT2rr=1T1mgmmm12rTT12m2T22gmagm1T11maa=r 例 在图示的装置中求 ： Ta,12滑轮可视作均质圆盘。TJ=J122mrTgm22=m2a1ma1TT2+m1TT2a2mmmmmg1212=+()(Tmg21122=22+()mmm1mm+g122=2T)(m1mm+mmm222)mmmmg22211=+()mra2mmmmmg1212=+()(Tmg21122=22 例 在图示的装置中，质量为m和2m、半径为r和2r的两均匀圆盘，同轴地粘在一起，可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对转轴的转动惯量9mr2/2，大小圆盘

11、边缘都绕有绳子，绳子下端挂有一质量为m的重物，求盘的角加速度大小。 2rr2mmmmT1T2 例 在图示的装置中，质量为m和2m、半径为r和2r 例：如图所示，两物体1和2的质量分别为m1与m2，滑轮的转动惯量为J,半径为 r 。 （1）如物体2与桌面间的摩擦系数为，求系统的加速度 a 及绳中的张力 T2 与 T2（设绳子与滑轮间无相对滑动）； （2）如物体2与桌面间为光滑接触，求系统的加速度 a 及绳中的张力 T1与 T2。m22T1Tm1 例：如图所示，两物体1和2的质量分别m22T1Tm1fm=Ngm2m=1T=ma1gm12T=ma2fa=r+=r2+m2mgm1m2J()r2+m1m

12、2J1T+=r2+m1mgm2m1J()r2+m1m2J2TmNgf2Tm2m22T1Tagm11Tm10N=gm2Jr=1T2Trr2+a=gm2mgm1m1m2J解得：解：(1)fm=Ngm2m=1T=ma1gm12T=ma2fa=r+gm1r2+m1m2Ja=+=r2gm1m2J()r2+m1m2J1T=gm2m1r2+m1m2J2T(2)m= 0gm1r2+m1m2Ja=+=r2gm1m2J()r2+=（）LL22mg 例 一均质细杆可绕一水平轴旋转，开始时处于水平位置，然后让它自由下落。求：MJ=J=M解：=（）LL22mg 例 一均质细杆可绕一水Re例：质量为 m ,半径为 R的均

13、质圆盘，初始时有 0，盘与桌面间的摩擦系数为 ，问经多长时间圆盘才停止转动？此时圆盘转过的角度?解：由 t考虑 r r+dr 环dM=r d frdr Re例：质量为 m ,半径为 R的均质圆盘，初始时有 0，例： 弧形闸门更省力OR据试验重心距绞链处为 0.7R对O的总转动惯量为设：弧形门叶以切向加速度at= 0.1g 转动例： 弧形闸门更省力OR据试验重心距绞链处为 0.7R设：如以同样加速度提升同样重量的平面闸门如以同样加速度提升同样重量的平面闸门 一、力矩的功M=d对于恒力矩：功率:dAF=.dsFdscosardsFd00a3.5 定轴转动中的功能关系 Fr=dt 一、力矩的功M=d

14、对于恒力矩：功率:dAF=.ds二、动能定理 刚体定轴转动力矩的功等于刚体动能的增量二、动能定理 刚体定轴转动力矩的功等于刚体动能的增量三. 定轴转动的功能原理质点系功能原理对刚体仍成立：W外+W内非=（Ek2+Ep2） （Ek1+Ep1）刚体重力势能：Ep=mghc=mghiiDmgmhmii=DChchimiEp=0若dW外+ dW内非=0， 则Ek +Ep =常量。 三. 定轴转动的功能原理质点系功能原理对刚体仍成立：W外+W=（）解：=Lmg12sin2=A01J2=Lgsin3）LL22mg 例 一均质细杆可绕一水平轴旋转，开始时处于水平位置，然后让它自由下落。求：d=Lmg0cos

15、12=dAM=LmgMcos2=（）解：=Lmg12sin2=A01J2=Lg例. 一质量为M，半径R的圆盘，盘上绕由细绳，一端挂有质量为m的物体。问物体由静止下落高度h时，其速度为多大？mgmMm解：解得：T例. 一质量为M，半径R的圆盘，盘上绕由细绳，一端挂有质量为例10. 长为 l 的均质细直杆OA，一端悬于O点铅直下垂，如图所示。一单摆也悬于O点，摆线长也为l，摆球质量为m。现将单摆拉到水平位置后由静止释放，摆球在 A 处与直杆作完全弹性碰撞后恰好静止。试求： 细直杆的质量M；碰撞后细直杆摆动的最大角度。（忽略一切阻力）解 按角动量守恒定律 系统的动能守恒例10. 长为 l 的均质细直

16、杆OA，一端悬于O点铅直下解得系统的机械能守恒，有解得系统的机械能守恒，有例例：一脉冲星质量为1.5l030kg，半径为 20km。自旋转速为 2.1 r/s，并且以1.010-15 r/s 的变化率减慢。问它的转动动能以多大的变化率减小？如果这一变化率保持不变，这个脉冲星经过多长时间就会停止自旋？设脉冲星可看作匀质球体。ERJkd52=tddtd2dtd解：=1.981025 J/s=t=kEEkdtd2J2Ekdtd=1.9810251.051015 s212.41038 (4.2)2=例例：一脉冲星质量为1.5l030kg，半径为 20km。例：如图，弹簧的劲度系数为 k =2.0N/m

17、，轮子的转动惯量为 0.5kg.m2 ，轮子半径 r =30cm。当质量为60kg的物体落下40cm时的速率是多大？假设开始时物体静止而弹簧无伸长。例：如图，弹簧的劲度系数为 k =2.0gxmk2+=xr2vJ22m2609.80.4 +=2(0.4)2 600.5(0.3)2=7.18=v2.68 m/s解：由功能定理gxmk221+xm221vJ221=若要求加速度（角加速度）如何进行运算？gxmk2+=xr2vJ22m2609.80.4 +O3.6刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律对点：一、对轴的角动量ririmiRiviLimi对O点的角动量为Li对于既有刚体又有质点的系统O3

18、.6刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律对点：一、二、角动量原理质点系的角动量原理mm12f1f2F1F2.为质点系的角动量原理等式左、右两边相加二、角动量原理质点系的角动量原理mm12f1f2F1F2二、角动量守恒 若刚体由几部分组成，且都绕同一轴转动， 当Mz=0时，Jconst.iziw=2Lm2m1u例：设m1与m2作弹性碰撞，求碰后棒的角速度和小球的回弹速度v二、角动量守恒 若刚体由几部分组成，且都绕同一轴转动，2Lm2m1um1gNN系统对轴角动量守恒：系统机械能守恒：联立方程（1）、（2）求解可得2Lm2m1um1gNN系统对轴角动量守恒：系统机械能守恒 例 人和转盘的转J2

19、rr10,rr12mmI01求：双臂收缩为初始转速为的质量,m动惯量为械能变为哑铃时的由角速度及机增量。 例 人和转盘的转J2rr10,rr12mm非保守内力作正功 ，机械能增加rr12mmJ01J=1()0+212mrJ=21(0+)Ek22222rmJ1)10+2(2212rmJJJ=20+(1(0002111+)221J22mmrr2rm22JJ=0+)(11222(0+)2rm22mr由角动量守恒J20+22)(rm2非保守内力作正功 ，机械能增加rr12mmJ01J=1( 例 一质量为M长度为L的均质细杆可绕一水平轴自由转动。开始时杆子处于铅垂状态。现有一质量为m的橡皮泥以速度v 和

20、杆子发生完全非弹性碰撞并且和杆子粘在一起。 试求： 1. 碰撞后系统的角速度； 2. 碰撞后杆子能上摆的最大角度。）Lv4mM3L 例 一质量为M长度为L的均质细杆可试求：） 碰撞过程角动量守恒,得：mv34L=mMJJ)(+MM3JL2=1mm34JL2=)(mv4916LLL22=+133mML916+13mM4mvL3 上摆过程机械能守恒，得：J22()+1mJM=+cos)(43mgL1=max3LL4vmMcos2(MLg1)M34916L222)(+1m4MLgg(3mm+119163M)mvarc cos2 碰撞过程角动量守恒,得：mv34L=mMJJ)(+MJJ=1122JJ+

21、12)(由角动量守恒得：JJJ=+12211J21+)(1JJ222+11122(JJ12222)J=+2(JJJ122)11201221JJ摩擦力矩作负功，有机械能损失。 例 两摩擦轮对接。若对接前两轮的角12、速度;速度分别为2.对接过程中的机械能损失。求：1.对接后共同的角Ek=JJ=1122JJ+12)(由角动量守恒得：JJaAOvl0R+=()aRJmvl20cos+m+()Rl例*：OA为一均质木棒，R为一木球，两者固定在一起，可绕水平的O轴转动。它们对O轴总的转动惯量为J，一子弹以角射入木球 R，并嵌入在球心。 求：子弹嵌入后，两者共同的角速度。 a+()aRmvl0cosJ2+

22、m+()Rl=解：由角动量守恒得aAOvl0R+=()aRJmvl20cos+m+()例*：在自由旋转的水平圆盘边上，站一质量为 m的人。圆盘的半径为，转动惯量为J ，角速度为。如果这人由盘边走到盘心，求角速度的变化及此系统动能的变化。 例*：在自由旋转的水平圆盘边上，站一+=J2RmJEk=EkEk=2RmJ21=J+J()2Rm2J22=21J+J2Rm2()2Rm解：系统角动量守恒+=J()2RmJ(1)21=+J()2Rm2J2(2)21=J2Ek+=J2RmJEk=EkEk=2Rm例如图示已知：M=2m，h，q=60求：碰撞后瞬间盘的w0=？ P转到x轴时盘的w=? a=?解：m下落：mghmv=122vgh=2(1)例如图示已知：M=2m